Maggiore e minore
Maggiore: AC ⊆(−∞, K] ⇒ ∃z≤K
Minore: AC⊆[K, +∞) ⇒ ∃z≥K
Concetti chiave
s.c. (Sopra e sotto conservazione): supA: minimo dei maggioranti. infA: massimo dei minoranti.
Proprietà degli insiemi
A: Si dice aperto se ∀ xo ∈ A ∃ ε > 0 : B (xo, ε) ∈ A
Chiuso: → il complemento di un aperto
Punto di aderenza
x: Punto di aderenza è un punto che appartiene alla chiusura in ogni piccolo.
Unicità del limite
∃l, m, x ∈ R: l = mn, l ∋ xn, l1, l2, l per assurdo l ≠ l2
ε : |l1 − l2| / 3 l1, l2 : 3ε
Ul : ∃N ∋ ∀n > N ⇒ |an − l1| < ε
U2 : n ∀ ⇒ l1 + εU1 ∩ max (U1, U2) ∃n < l − ε
cc (R − E) [equivalent notation/graph illustrations]
Definizioni di maggiorante e minorante
- Maggiore: AC = {x ∈ ℝ | ∀a ∈ A, x ≥ a}
- Minore: Ac = {x ∈ ℝ | ∀a ∈ A, x ≤ a}
SA: minimo dei maggioranti. mA: massimo dei minoranti.
Concetti di insiemi aperti e chiusi
A si dice aperto ⇔ ∀x0 ∈ A ∃ε > 0: B(x0, ε) ⊂ A
Chiuso ⇔ il complementare è un aperto.
Punto di aderenza E ⇔ punto che appartiene alla chiusura di ogni piccolo chiuso contenente E.
Unicità del limite
ℓn ∈ ℝ
⌊lim ℓn = ÷⌋
⌊lim ℓn = ℓ2, ℓ1 = ℓ2⌋
Per assurdo ε = |ℓ1 − ℓ2|/3
ℓ1, ℓ2: ℓ ∈ ℝ
∀u, ∃n n - ℓ1 ∀u, ∃m m - ℓ2 ∀u, max(u, v): ℓn - ℓ1 ℓm - ℓ1 ⊥
Teorema Carabinieri
- {an} ⊆ ℝ
- {bn} ⊆ ℝ
- {cn} ⊆ ℝ
∃n0 ∈ ℕ bn ≤ an ≤ cn
lim bn = lim cn = l → lim an = l
Sia ε >0, ∃n1 m, n 2 m, l-ε
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