Analisi Matematica 1

Maggiore e Minore

_Ac = [0 ∞) ∃_c ∃_k ≥ ∃_k

_Ac ∩ [0 c₀], ∃_k ≤ ≤ ∃_k

A Si Dice Aperto

∀ x₀ ∈ _A ∃ _ε > 0

B(x₀, ε) ⊆ _A (Intorno di Ogni Proprio Punto)

Unicità del Limite

• ∃ x_n, y_n ∈ ℝ
• lim x_n -> l₁
• lim y_n -> l₂

Per Assurdo

• l₁ ≠ l₂
• ε = | l₁ - l₂ | / 3

Teorema Carabinieri

{x_n} ⊂ ℝ     {b_n} ⊂ ℝ     {a_n} ⊂ ℝ

a_n ≤ x_n ≤ b_n

{a_n} e {b_n} convergenti a l ∈ ℝ

Sia ∃ x = lim x_n, detto anche

lim x_n = lim a_n = lim b_n = l

Punto di Accumulazione

(x_o) ∈ E^m

x_o si dice di accumulazione per E ⇔ ∀ᵉ ∃ B(x_o,ᵉ) ∩ E \ {x_o} ≠ ∅.

Può essere anche di aderenza ma non il contrario.

Insieme Compatto

{x_n} ⊂ X

lim_m x_nm = l_c ^def= lim(x_nm) = o → l ∃ V di o ∋ d(x_nm,l) < ᵉ

k ⊂ X

k compatto ^def⇔ ∃ {x_nj} ∈ {x_n} lim x_nj = l ∈ k

OSS:

f(k): compattato in γ > 3

chiuso

Il compattato λ = sup f(K)

TEOREMA DEGLI ZERI:

f: [a, b] → ℝ continua

f(a) ∘ 0

f(b) ∘ 0

∃ ξ ∈ (a, b): f(ξ) = 0

DIM

c₀ ∈ ]a, b[

b₀: = b c₀: f 0 con x := 0 STOP

NON DECRE

NON CRESCE

Cauchy

y ∈ f(a,b) ➔ ℝ

∃ g(x) = 0

f(x) · g(x) ≥ 0

∃ x ∈ (a,b), f₀ = f₁ = f₂

f₀g₂ = g₀g₂

ψ(x) = b₀x + b₁gx

ψx = f₀ + f₂ gx

∃x∈(a,b)

Rolle: ∃ ψ(x) = f(w) + λ g(w) = 0

f'(ü) / g'(ü)

Lagrange

Applico Cauchy con g(x), f(x)

Integrali Riemann

Consideriamo le f a scalino

Sf = ∑ Ψ_i λ_i ϕ(x_i) Ψ(x) ∀x∈ℝ

Sf = ∑ ϕ_i λ_i ϕ(x_i), ϕ Ψ(x) ∀x∈ℝ

Integrabili le f a scalino

A∫_a^b ϕ(x) dx ≤ Sf

A∫_a^b ψ(x) dx ≥ Sf

ψ(x) = ∑_i=1^k μ_i λ_i χ_{[ξ̲i, o̲i]}

ζ(x) = ∑_i=1^k λ_i ζ_{[ξ̲i, o̲i]}

→ ∑ ∫_i=1^k ψ(x) dx - ∫ ϕ(x) dx = ρ[ζ(x) - ϕ(x)] dx = ∑_i=1^k (μ_i, λ_i)(b_i z̲)

A̲ e B̲ sono separato (x∈A̲ ψ e A̲ + > x∈∀) come sup A̲ϕint A̲ B̲

se sono continue integrabili per Riemann

Serie

Sintesi parziale di successioni, presentate sotto forma generale di:

_n=0∑_∞a_n

Detto S_n = _k=0∑_na_k degli Σ_k=0

Una serie si dice convergente

Se _n→∞lim S_n = S

Più precisamente _n=0∑_∞ a_n = S ⇔ _n→∞lim a_n = 0

Dim

_n→∞ lim S_n = S → _n→∞lim (S_n+1) = S

(S_n+1) = S_n + a_n+1

_n→∞lim (S_n+1 - S_n) = _n→∞lim S_n = S

Serie Geometrica

S_n = _k=0∑_n a^k

S_n = ^{1 - an+1}/_1-a con |a| < 1

a = 1

aⁿ

∫ x lndx

Serie Armonica

_k=1∑_∞ 1/k

S_n = 1 + ¹/₂ + ¹/₃ + ¹/_n

S_2k = k varie ¹/₂

_k=1∑_n 1/k~ln S_n → ∞ → _n→∞lim S_n = ±∞

(→) _k=1∑_n

WEIERSTRASS

(X_d, d) SM (R_e, SM) f: X → R continua

K ⊆ X compatto

allora ∃ x₁, x₂ ∈ K : m = f(x₁) = inf(f), M = f(x₂) = sup(f)

SIM

f(K) contenuta in (R_e, d_e)

perc. chiuso e bdd compatto

su una c continua

{1}₁ ≤ f(K) ∀ λ₀ ∈ N ∃ x₀ ∈ K : f(x₀) = λ₀

∀ x ∈ K

x₁ ≥ f(x), x₁ - x

lim x₀ → x

lim y₀ - f(t) = b_y∈g₁, y₂ ∉ f(K)

LIM E Z

lim f(x₁), lim (R_u)

lim x₀ → x₀

Pensiamo lim f(x) = ε = μ₂

∃ x₀ δ y _ε : |x - x₀| < x₀ ... f(x) ∉ |δ_ε

lim f(x_j) ...

............ ... ............ ...

∃ lim (f(x₂)), lim f _α∉ε ∃

Int.

f Caratteristica

χ_A(x) = {1 x ∈ A, x ∉ A; 0 altr.}

∫_ℝf(x)dx = Σ a_i∫ λ_n χ([a_i, b_i])

Riemann

f(x) limitata ⇒ f(x) ≥ 0 ∀ x, f assume

Considero int. A

A = scalino {S_j : ξ_i ∈ ℝ | μ([ξ, ν]) = 0∀ξ}

{[S_j : ξ_i ∈ ℝ | μ(ξ, ν) = 0, ∀ξ

Somma eu. integrali

A = Σ_i φ(ξ_i)Λξ = I … δ Σ_i f(ξ)Λξ = I

A = Σ_i φ(ξ_i)Λξ = I…

Considerato una funzione a scalino misurabile f una numerabile

A* = Σ_i λ_n χ([a_i, b_i])

A* = Σ_i μ χ([a_i, b_i])

ora le integrali e e … consideriamo le loro differenze mis che ψ(|f|) ≤ ψ(a)

∫(φ(ξ) – ψ(ξ))dξ = Σ (μ, λ)([b_i, a_i])

Se class A’ ⊂ A sono separati allora sup A’ è inf A’

Quante sono contigui o fanterabili secondo d Riemann