Appunti di Analisi matematica 1

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Author: munarisamuele

Revisionato il 23/05/2026

di munarisamuele

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Gli appunti spaziano dalle sommatorie al calcolo integrale, integrati con esempi di applicazioni semplici ma chiari, enunciazioni di teoremi con relative dimostrazioni spiegate passo passo.Sono …

Esame Analisi matematica 1

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Corli Andrea

Università Università degli Studi di Ferrara

A.A. 2018-2019

121 pagine

Appunto

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Estratto del documento

ANALISI MATEMATICA 1

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Notazioni

N naturali: {0, 1, 2, ..., n}

Z interi: {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}

Q razionali: {..., 0, 1/3, 6/5, 6/3, ...}

IR reali

Sommatrice

Data n numeri reali a₁, a₂, a₃, ..., a_n si indica la loro somma con il Simbolo di sommatrice.

–––––––––– Σ k =ind – k

Es:

– 10K=1 = ¹⁄₁ ⁄ ¹⁄₂ ⁄ ¹⁄₃ … ⁄/ ¹⁄₁₀
a_k: emsp;1/k - a
- 3 Σ 3K=2 2+ 3 ⁄ n

Proprietà della sommatrice

A n Σ (c⋅a_k) = c⋅Σa_k, c∈IR
C⋅a₁+C⋅a₂+C⋅a₃ ... c (a₁+a₂+a₃)
Σ (a_k+b_k) = Σ a_k+Σ b_k

(a₁+b₁) + (a₂+b₂) + ... + (a_n+b_n)(a₁+...+a_n) + (b₁+...+bn)

In particolare, dalla (1), se a_k=1 per ogni k:

Σ c = c⋅Σ 1 = n⋅c

a+a+a...+1

Es: 1) Calcoliamo la somma di una sommatoria

∑_k=1ⁿ k = n (n+1) / 2 in particolare se n = 100

1+2+...+100 = 100⋅101/2 = 5050

Dimostrazione: ∑_k=1ⁿ k = [1+2+3+...+(n-1)+n] = [1+2+3+...+(n-1)]+n

1+n

2 + (n-1)

3 + (n-2)

n + 1

Notare che ∑_k=1ⁿ 1 / k(k+1) = ∑_k=1ⁿ (1/k - 1/(k+1)) = (1/1)-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)+...+ (1/n)-(1/n+1) = 1 - 1/(n+1) = n/n+1

Progressioni geometriche

Si dice che n numeri reali: a₁, a₂, ..., a_n sono in progressione geometrica se il rapporto tra ogni termine e il precedente è costante

a₂/a₁ = a₃/a₂ = ... = a_n/a_n-1 = q q è detta ragione della progressione

Pertanto:

a₂=a₁q

a₃=a₁q²

a_n=a₁q^n-1

I termini della progressione geometrica sono a₁, a₁q, ..., a₁q^n-1

Qual è la somma dei primi n di una prog. geom?

Devo calcolare a₁ + a₁q + a₁q² + ... + a₁q^n-1 = a₁(1+q+q²+...+q^n-1)

Calcolo allora ∑_k=0^n-1 q^k = 1+q+q²+...+q^n-1

Se q ≠ 1 ho (1-qⁿ)/(1-q) n ≥ 1

Proposizione:

Se q ≠ 1 allora _∑ⁿ^k=0 q^k = x-n+1

Dimostrazione:

Calcolo (x-q) _∑ q^k = x + xq + xq² + ... - qⁿx = x¹-qⁿ+1

Esempi:

_∑^∞^k=0 = n = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Poiché 1/2 = (1/2)^k cioè q = 1/2, n = ∞

= [1 - (1/2)ⁿ] x = ∞=...=∞=∞=∞=∞=∞ = 1/2

= (1/2)^∞ - 1

_∑¹⁰^k=1 3 - x^K = _∑ (3ⁿ

Proprietà: _∑¹⁰^k=1 1/3^K

3 _∑¹⁰ (1/3)^K

[([a-(1/3)^x] x [a-(1/3)^x]

_∑⁵^k=0 (-x) _∑ (z^K

= _∑^∞^k=0 (-3)^k = (-1/3) = 1/(1/3)

Fattoriali

Sia n ∈ N

Il fattoriale di n: _∑^∞ è il prodotto dei numeri che ci sono prima di n

n = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ... (n-1) ∙ n

Osservazione:

n! dà il numero dei modi in cui si possono ordinare n oggetti.

Numeri razionali

Si sono le frazioni: m/n, m, n ∈ ℤ, n≠0

Rappresentazione decimale

Ogni numero razionale è univocamente determinato da un allineamento decimale limitato o illimitato periodico.

Ad. decimale: 5/4 = 1,25; 1/2 = 0,5

1/3 = 0,3333… = 0,3

-5/6 = 0,-83

la divisione di due numeri interi non dà mai un allineamento con

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