Appunti di Analisi matematica 1

ANALISI MATEMATICA 1

Numeri irrazionali

es sono le frazioni: ^m/_n, m,n ∈ Z, n ≠ 0

Rappresentazione decimale

Ogni numero razionale è unicamente determinato da un allenamento decimale limitato di: limitato, periodico.

• Alc decimale → 5 = ¹/₂ → 0,5
• 3 = ³/₉ → 0,3
• ⁷/₈ → 0,8e

La divisione di due numeri interi, non da mai un allenamento con periodo 0.

Numeri razzi

Esistono numeri non razionali ? Sì

Proposizione

Sia d un numero tale che d² = 2, allora d non è razion (.)

^e₂ = ¹,2

Dimostrazione

Supponiamo per assurdo che esista d ∈ Q tale che d² = 2.

Allora d = ^m/_n con m,n ∈ Z n ≠ 0

S - Supponiamo che m ed n siano primi tra loro.

• d² 2 = ^m2/_n² = 2n² = pari, dunque m è pari e
• Allora anche m è pari cioè mese pari, da (6)c 4p⁹ 2n²
• n² = 2, allora 2 pari → n è pari. Contraddizione.

Definizione

• Un numero reale va qualsiasi allenamento decimale.
• B assieme numeri reali | i numeri irrazionali sono numeri non razionali: e.g. √2 e 4, 6, 4, 2,... m è 4, 6, 5,... ∈ ≠ 0, 2, 1, 2

Intervalli

• Se a, b ∈ R definiamo gli intervalli:
• [a, b) = {x ∈ R, a ≤ x < b}
• (a, b] = {x ∈ R, a < x ≤ b}
• [a, b] = {x ∈ R, a ≤ x ≤ b}
• (a, b) = {x ∈ R, a < x < b}

Inoltre

• [ x; a ∈ R x, a, x ≥ a, x ≤ b ] (-∞, + ∞) \ R
• (- ≠ i) {x ∈ R, x < [L]}
• ∈ [a, x]
• a

Definizione:

Una successione {a_n} è limitata se esistono m, M ∈ ℝ, m ≤ a_n ≤ M ∀n.

Limitata superiormente se esiste M

Limitata inferiormente se esiste m

Esempi

1. {a_n} = 1/n
   • è limitata? Sì: 0 ≤ 1/n ≤ 1
2. {a_n} = (-1)ⁿ
   • è limitata: -1 ≤ (-1)ⁿ ≤ 1
3. {a_n} = n - 3
   • non è limitata, max lim sup: +∞
4. {a_n} = n (-1)ⁿ

Definizione:

Una successione {a_n} soddisfa definitivamente una proprietà se esiste un numero naturale N tale che la proprietà sia verificata da tutti i termini a_n per n ≥ N.

Esempi

1. a_n = 1/n ≥ 0, è vero che a_n ≥ 0 per ogni n? No
• Ma è definitivamente ≥ 0, infatti a_n ≥ 0 è vero se n > 10 ∀ n
2. a_n = 1 - 1/n È vero che a_n ≤ 1 per ogni n? No
• Ma a_n ≤ 1 definitivamente, infatti a_n ≤ 1 per n ≥ 100
3. a_n = (-2)ⁿ - (-2)ⁿ è definitivo, ≥ 0 — FALSO

Successioni Convergenti

Definizione:

Una successione {a_n} è detta convergente se esiste un numero reale l per cui: vale che, per ogni ε > 0, esiste N tale che:

a_n - l < ε se n ≥ N

Osservazioni:

1. l = a_n - l < ε → ε - a_n < ε ↔ l = lim a_n
2. N dipenderà in generale da ε
3. a_n - l < ε se n ≥ N vuol dire che |a_n - l| < ε defint.
4. Il numero l è unico

Successioni Monotone

Definizione: Una succ. {a_n} è detta crescente se a_n < a_n+1 per ogni n, decrescente se a_n > a_n+1. Strettamente crescente se a_n < a_n+1 Strettamente decrescente se a_n > a_n+1

Queste successioni sono dette monotone

Esempi:

1. {a_n} = n³
2. {a_n} = 1/n (n+1 > n) ⇒ {a_n} è strettamente crescente
3. {a_n} = 1/n ⁿ⁺¹
4. Strettamente decrescente
5. {a_n = (-1)ⁿ} non è monotona
6. {a_n = sen (π/n)} non è monotona

Teorema:

Ogni successione monotona ha limite. Più precisamente:

• {a_n} crescente ⇒ lim a_n = sup {a_n, n ∈ N}
• {a_n} decrescente ⇒ lim a_n = inf {a_n, n ∈ N}

In altre parole, {a_n} monotona e limitata ⇒ convergente

{a_n}, " " non limit. ⇒ divergente

Osservazione:

Pretestato per una succ. se è monotona ⇒ ha limite

Ad esempio: a_n = (-1)ⁿ/n (lim a_n = 0, ma non monotona)

Proprietà dei Limiti Finiti

Proposizione: Siano {a_n} e {b_n} due succ., a_n → a, b_n → b, a, b ∈ ℝ Allora:

1. a) a_n + b_n → a+b
2. b) a_nb_n → ab
3. c) a_n/b_n → a/b se b ≠ 0 e b_n ≠ 0
4. d) αa_n → αa se a_n → a

Dimostrazione:

1. α + β Se a_n → a devo dimostrare che lim a_n + b_n → α + b

Esempio

lim _n→∞ (log_n)/n^k        0        F.l. 0

(log_n)/n^k        (log_n)/n^1/k        0/F=0        lim. fond. F=0

Successioni di tipo 0⁰, ∞⁰

Ricordiamo: a_n ≥ log_k n    In particolare: a_n = e    e    log_k a_n

La successione b_n log_k può dare luogo a una F.l. del tipo:

a_n → 0    log_k a_n → ∞    a_n = 0    sono F.l. (0⁰)

a_n → b_n → ∞    log_k a_n → 0    a_n = ∞    sono F.l. 1^∞

Esempio

lim _n→∞ a_n^1/n = 1

a_n^1/n =          log = 1/n log   n =            e^{1/log n}            e^-1/n

n log_k a_n = O

Il numero e

Studiamo la successione (x + 1/n)ⁿ = F.l. 1^∞

Esempio

Abbiamo un capitale C_n, investito al tasso annuale t. Dopo un anno:

C + Ct = C(1 + t) e t        (cerco t, 1/n c → Є → C(son + 1))

Se la rendita è pagata ogni mese:

C_n; 1 mese: C + Ct = C(1 + t/x)

2^o mese; C₂ = C_x + C_x2 = C_x(1 + t/x) = C(1 + t/x)²

12 mesi: C₁ = C(1 + t/x) = C_x(1 + t/x) = C(1 + t/x)²

Proposizione: una succ. con (x + 1/n)ⁿ e monotona crescente e limitata.

Se avendo monotona, essa ha limite F

Dunque, è convergente e si dimostra e = lim_n→∞ (1 + 1/n )ⁿ = e ≈ 2.71

Esempio

1) lim _n→∞ (1 + x/n)ⁿ = e

Considero

• (1 - 1/n)n
• (1 - 1/n)ⁿ
• 1     n
• (n - 1/n)ⁿ