Analisi II - Serie

Problemi che conducono alle serie numeriche e serie di funzioni

Problema 1: Somma di infiniti numeri

Si può dare un senso matematico alla nozione intuitiva di "somma di infiniti numeri"?

Oss. Se consideriamo la somma 1+1+1+1+..., intuitivamente questa è infinito, ma se si considera s = (+1) + (-1) + (+1) + (-1)... qui non è chiaro cosa si stia facendo, perché a seconda di come associamo i termini si hanno risultati diversi.

Ad esempio:

• s = [(+1) + (-1)] + [(+1) + (-1)] + ... = 0
• s = [1 + (+1) + (+1) + ...] + (-1) + (-1) + (-1)...

Quindi, come fare?

Oss. Se prendo un'asta di lunghezza L = 2 è chiaro che se tale segmentazione prosegue all'infinito si ha:

Quindi ci dev'essere un modo per esprimere in termini precisi questo concetto intuitivo che, però, elimini i paradossi del tipo +1-1+1-1...?

Formula di Taylor

Un secondo fatto importante deriva dalla formula di Taylor. Considero il caso x = 0 per semplicità: f(x) si approssima con

Ma se si definisce in modo opportuno il fatto di considerare infiniti termini sotto condizioni

Avremo che: Questo consente di approssimare f bene quanto si vuole. Ad esempio: Con beneficio anche per il calcolo integrale. Ad esempio si potrebbe calcolare integrali del tipo:

Utilizzando i passaggi, per il momento, solo formali. Quindi problema di calcolare somma infinita.

Serie di numeri

Ricordiamo che una successione di numeri reali o complessi è una funzione da La indichiamo con {a }

Def. Sia {a } una successione e

Definisco somma parziale della serie la successione così costruita:

Serie convergente e divergente

• Se (1) finito, tale limite s si dice somma della serie, e si indica: serie convergente.
• Se (2) si dice che la serie s diverge e scrivo:
• Se (3) il limite lim s dico che la serie è indeterminata/oscillante.

Esempi

• (1) Supponiamo che s.
• (2)
• (3) Indeterminata/oscillante

Calcolare la somma di una serie non è così semplice. Vediamo un caso elementare. La serie geometrica:

Osserviamo che per q=1 si ha Supponiamo ora q=1 e osserviamo che Quindi, poiché q=1 Per il calcolo del limite distinguiamo i vari casi:

Quindi per |q|=1 e q=1 oscilla. Riassumendo...

Serie di Mengoli

Dimostrazione:

Criterio di Cauchy (per le successioni)

La successione s converge ad un limite finito se e solo se Riscriviamo il criterio di Cauchy per le serie:

Criterio di Cauchy (per le serie)

Condizione necessaria e sufficiente affinché sia convergente è che

Corollario

Nel caso q=0 => |a |< Quindi condizione necessaria, ma NON sufficiente, per la convergenza della serie è che Questo non è chiaramente sufficiente come mostra il caso della serie armonica.

Lemma

La serie armonica è divergente. Dimostrazione: Quindi il criterio di Cauchy è violato perché Quindi la serie armonica diverge.

Criterio del confronto

Siano e due serie con termini positivi (o nulli) (a 0, b 0) Supponiamo che Allora:

• 1) Se a diverge b diverge
• 2) Se b converge a converge

Teorema

Il teorema precedente e il comportamento della serie geometrica q consentono l’applicazione del criterio del confronto per studiare l’eventuale convergenza di alcune serie a termini positivi.

Criterio del confronto asintotico

Siano a e b due serie a termini positivi e supponiamo che Allora le due serie hanno lo stesso carattere.

Criterio del rapporto

Sia a una serie a termini positivi. Definiamo:

• (I) Se 0 < L < 1, la serie converge
• (II) Se L>1, la serie diverge
• Se L=1 nulla si può dire (caso dubbio)

Dimostrazione: Supponiamo che Allora vuol dire che E quindi Quindi la condizione necessaria a ->0 per n -> è violata. Quindi la serie NON converge.

Oss. Il caso dubbio. Le due serie: Quindi per L=1 il criterio non dice nulla.

Criterio della radice

Sia a una serie a termini non negativi. Definizamo Dimostrazione: Il caso dubbio L=1 si può verificare con le due serie precedenti L = L =1, nuovamente. Con il criterio della radice dimostrare che i due casi: Dimostrazione: Quindi in entrambi i casi non si può stabilire la convergenza o divergenza della serie con questo metodo.

Convergenza assoluta di una serie

Sia a una serie con coeffici...