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Esempi di serie e criterio di Cauchy

(1) supponiamo che s(2)(3) indeterminata / oscillante

Calcolare la somma di una serie non è così semplice.

Vediamo un caso elementare.

La serie geometrica:

Osserviamo che per q=1 si ha

Supponiamo ora q=1 e osserviamo che

Quindi, poiché q=1

Per il calcolo del limite distinguiamo i vari casi:

Quindi per |q|=1 e q=1 oscilla.

Riassumendo...

Es. Serie di mengoli:

Dimostrazione:

Criterio di Cauchy (per le successioni):

La successione s converge ad un limite finito se e solo se

Riscriviamo il criterio di Cauchy per le serie:

Criterio di Cauchy (per le serie):

Condizione necessaria e sufficiente affinché sia convergente è che

COROLLARIO:

Nel caso q=0 => |a |<

Quindi condizione necessaria, ma NON sufficiente, per la convergenza della serie è che

Questo non è chiaramente sufficiente come mostra il caso della serie armonica.

LEMMa:

La serie armonica è divergente.

Dimostrazione:

Quindi il criterio di Cauchy è violato perché

Quindi la serie...

armonica diverge.

Criterio del confronto:

Siano a e b due serie con termini positivi (o nulli) (a0, b0)

Supponiamo che

a ≤ b per ogni n ≥ N

Allora:

  1. se a diverge, b diverge
  2. se b converge, a converge

Teorema:

Il teorema precedente e il comportamento della serie geometrica q consentono l'applicazione del criterio del confronto per studiare l'eventuale convergenza di alcune serie a termini positivi.

Es. Stabilire il comportamento delle serie:

Criterio del confronto asintotico:

Siano a e b due serie a termini positivi e supponiamo che

an ≤ bn per ogni n ≥ N

Allora le due serie hanno lo stesso carattere.

Es.

Criterio del rapporto:

Sia a una serie a termini positivi.

Definiamo:

L = limn→∞ (an+1 / an)

Allora:

  1. se 0 ≤ L < 1, la serie converge
  2. se L > 1, la serie diverge

Se L = 1, nulla si può dire (caso dubbio)

Dimostrazione:

Supponiamo che

limn→∞ (an+1 / an) = L

Allora vuol dire che

limn→∞ (an+1 / an) - 1 = L - 1

E quindi

limn→∞ (an+1 - an) / an = L - 1

Quindi la condizione necessaria a → 0 per n → ∞ è violata.

Quindi la serie NON converge.

Oss. Il caso dubbio.

le due serie:

Quindi per L = 1 il criterio non dice nulla.

Criterio della radice:

Sia a una serie a termini positivi.

A una serie a termini non negativi definiamo:

Dimostrazione:

Il caso dubbio L=1 si può verificare con le due serie precedenti L =L =1,nuovamente.

Con il criterio della radice dimostrare che i due casi:

Dimostrazione:

Quindi in entrambi i casi non si può stabilire la convergenza o divergenza della serie con questo metodo.

Es. Stabilire il comportamento delle serie:

Es. Stabilire il comportamento delle serie:

Es. Stabilire il carattere della serie

CONVERGENZA ASSOLUTA DI UNA SERIE:

Sia a una serie con coefficienti in o in

Def. Consideriamo la serie dei moduli di a :

Se la serie è convergente, allora dico che la serie converge assolutamente.

Teo. Sia una serie con a

Se converge, allora converge.

Dimostrazione:

Segue dal criterio di Cauchy e dalla disuguaglianza triangolare.

PER IPOTESI: sappiamo che converge <=> (criterio di Cauchy)

Dobbiamo dimostrare che converge.

Osservo che, per la disuguaglianza triangolare:

Quindi se

Quindi, per il criterio di Cauchy:

Vediamo che non vale il

viceversa: Serie con termini di segno alterno: Sono del tipo: Criterio di Leibniz: Sia data la serie a_n. Se sono verificate le condizioni: 1) a_n è una successione decrescente; 2) \lim_{n \to \infty} a_n = 0. Allora la serie è convergente. Es. Stabilire che la serie \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} è convergente. Quindi la serie converge. Oss. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} converge, ma la serie dei moduli \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} diverge (serie armonica). Es. Stabilire se la serie \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n^2} converge. Ricordo che \ln n è monotona crescente. Criterio di condensazione: Sia a_n una successione non negativa e decrescente. Allora \sum_{n=1}^{\infty} a_n e \sum_{n=1}^{\infty} 2^n a_{2^n} hanno la stessa natura. Teo. Dimostrazione: Utilizziamo il criterio di condensazione. Osservo che \frac{\ln n}{n^2} è decrescente. Quindi con la sostituzione n \to 2^n passiamo alle condensate \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln 2^n}{(2^n)^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n \ln 2}{4^n}. Che è la serie geometrica per r = \frac{\ln 2}{4}. Teo. Dimostrazione: La serie \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n^2} ha termini positivi e decrescenti. Ora passiamo alle condensate: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n \ln 2}{4^n}. Riassumendo, le serie utili per il criterio del confronto sono: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n^2} e \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n \ln 2}{4^n}. Il problema di calcolare la somma di una serie assegnato l'errore. (I) serie di Leibniz: Supponiamo che \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n sia convergente con somma S. Osservo che: |S - S_n| \leq a_{n+1}. Es. Data la serie \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}. Quindi la somma approssimata è: . Vediamo come determinare...

L'errore di serie stimate con la serie geometrica.

Oss. Osserviamo che per la serie geometrica si ha la seguente eguaglianza:

Oss. Sia ora

Es. Determinare la somma della serie con un errore

SERIE DI FUNZIONI:

Partiamo con una considerazione:

Consideriamo la funzione:

Problema: estendere a successioni e serie le operzioni di analisi.

Succesioni di funzioni:

Sono funzioni

Indichiamo le successioni di funzioni con il simbolo

Sia una successione di funzioni per x [a,b].

Def. Dico che la successione converge puntualmente in x [a,b] se

Dove il limite è indicato con

Se {f } converge dico che la convergenza puntuale è sull'intervallo [a,b].

Es. Consideroosservo che, fissato x la successione di numeri

Quindi la successione converge puntualmente

Def. Una successione converge puntualmente in [a,b] con limitef:[a,b] -> se:

Def. Una successione converge uniformemente in [a,b] con limitef:[a,b] -> se:

Oss. Nella convergenza puntuale :

Nella convergenza uniforme: Non dipende dal punto x

Es.

Siaallora si ha convergenza puntuale (I) quindi c'è convergenza puntuale. (II) osserviamo che non c'è convergenza uniforme. Ricordo che la convergenza uniforme richiede cheMa in questo caso abbiamo cheQuindi si vede che è chiaro che N dipende dal punto x perché il termine non è < per n>N indipendente da xEs. Sia (I) allora puntualmente si ha (II) osserviamo che la convergenza è uniforme:Vediamo graficamente la differenza tra convergenza puntuale e convergenza uniforme. (I) per la convergenza uniforme:Cioè, fissato errore riesco a fissare N che vale approssima f(x) a meno di in tutti i punti dell'intervallo (II) per la convergenza puntuale:Se la successione converge puntualmente, ma non uniformemente, in [a,b] quando si fissa >0 che dipende dal punto t.c. solo per il punto xMa se tengo fisso N (x ) e mi sposto sul punto xCioè devo cambiare N (x ) e scegliere un nuovo N (x ) t.c.(Con la relazione N dipende da

Criterio di Cauchy di convergenza puntuale: Condizione necessaria e sufficiente affinché la successione f : [a,b] -> converga puntualmente in [a,b] è che

Criterio di convergenza uniforme: Condizione necessaria e sufficiente affinché f : [a,b] converga uniformemente in [a,b] è che

Quindi: convergenza uniforme < Convergenza puntuale

Teo. Siano:

  1. f : continua
  2. f uniformemente in [a,b].

Allora f è continua.

Es. sono banalmente continue

Quindi c'è la convergenza uniforme.

Si osserva che f(x) = 0, è continua.

Oss. Se si considera f(x) = x , x < 1, allora f(x) non convergono uniformemente in [0,1] perché f(x)

Sia {f(x)} una successione di funzioni, x

Def. Definiamo la successione delle somme parziali

Quando il limite esiste finito per x

Dico tale limite somma della serie di funzioni e indico il limite con

LEMMA: La successione s(x) converge uniformemente in x con 0 < R < 1 fissato.

Dimostrazione: Quindi, poi è abbiamo richiesto

0<R<1

Criterio di Cauchy per le serie (convergenza puntuale): converge puntualmente in [a,b] se e solo se

Criterio di Cauchy per le serie (convergenza uniforme): converge uniformemente in [a,b] se e solo se

Oss. Anche nel caso delle serie di funzioni si ha che condizione necessaria, ma non sufficiente, per la convergenza è che

Criterio di Weierstrass: Condizione sufficiente per la convergenza uniforme.

Sia f : [a,b] successione t.c.

  1. 2) sia convergente.

Allora converge uniformemente in

CONSEGUENZE della convergenza uniforme:

Teo. Siano {f } ([a,b]) e sia convergente uniforme in

Allora f

Teorema di integrazione per le serie:

Siano:

  1. f : (a,b) successione su (a,b) limitato
  2. f limitate e integrabili su (a,b)
  3. f converga uniformemente in (a,b).

Allora

Oss. L’ipotesi che (a,b) sia limitato non è eliminabile come mostra l’esempio seguente: e la convergenza è uniforme perché

SERIE DI FUNZIONI:

Applicazione teorema passaggio al limite sotto segno di integrale.

Es.

Calcolare l'integrale con un errore (I) osservo che il seno ha sviluppo:

(II) dimostro che la serie:

converge uniformemente con il criterio di Weierstrass:

per il criterio del rapporto (III) quindi posso applicare il teorema di integrazione per serie

(IV) calcolo la serie con poiché è una serie con termini di segno alterno, quindi

Per determinare n, si va per tentativi

Es. Calcolare per serie l'integrale (I) utilizzo lo sviluppo del seno:

(II) verifico che la serie converga uniformemente sull'intervallo [0,1] con il criterio di Weierstrass: per il criterio del rapporto

(III) applico il teorema di integrazione per serie:

Questa serie si può calcolare controllando l'errore.

Teorema di deviazione per serie:

Sia {f (x)} una successione di funzioni derivabili in (a,b) t.c.

1) la serie delle derivate converga uniformemente in (a,b)

2) la serie converga per almeno un punto x (a,b).

Allora la serie converge uniformemente in (a,b) e detta

Si ha

Es. Verificare che la

serie è derivabile termine a termine in (0,1). La serie delle derivate convergenti uniformemente infatti:

iii) prendo ad esempio x = e osservo che converge per il criterio del confronto. E la serie converge uniformemente in (0,1).

SERIE DI POTENZE:

Le serie di potenze sono serie in cui si studiano in modo naturale nel campo complesso, dove x -> z=x+iy

Quindi assumiamo:

1)

2)

E studiamo la convergenza di

Oss. Utilizzo il criterio della radice per studiare la convergenza assoluta della serie:

Quindi, osservando che la condizione di convergenza è

Il numero R è detto raggio di convergenza della serie di potenze, dove

i) Converge

ii) Diverge

iii) Serve uno studio più accurato

Convergenza uniforme della serie:

Teo. La serie a z converge uniformemente in

Dove R è il raggio di convergenza della serie.

Dimostrazione:

Segue immediatamente dal criterio di Weierstrass:

Quindi converge uniformemente.

Es. Disegnare nel piano complesso l'insieme di convergenza delle

Serie: Converge uniformemente per r < R

Riassumiamo nel seguente teorema le proprietà delle serie di potenze.

Teo. Data la serie di potenze ∑ an(x - c)n, allora si ha:

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Publisher
fedeicatunisi
A.A. 2021-2022
43 pagine
SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher fedeicatunisi di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica II e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano o del prof Colombo Fabrizio.