Analisi Matematica 2 - Guida pratica agli esercizi concernenti i Campi Vettoriali, Esercizi di Analisi Matematica II

Esercizi sulla circuitazione

Devo svolgere un integrale del tipo che descrive la circuitazione di un campo vettoriale.

Metodo 1

1. Verifico che γ è chiusa.
2. Parametro la curva se non lo è.
3. Valuto F(γ(t)).
4. Calcolo γ'(t).
5. Calcolo F(γ(t))·γ'(t).
6. Svolgo ∫_γF(γ(t))·γ'(t)dt.
7. Scrivo il risultato facendo attenzione al verso di percorrenza: Se è orario scrivo il risultato cambiato di segno, se è antiorario scrivo il risultato normale.

Metodo 2

Se con il metodo 1 esce un integrale troppo difficile, uso Gauss Green. Esso ci dice che a noi serve conoscere il membro a sinistra (un qualcosa proprio la nostra circuitazione), utilizziamo quindi l'uguaglianza e svolgiamo quello a destra.

Condizione 1: ∂D = γ deve essere una curva chiusa, semplice, regolare a tratti e positivamente orientata.

Esercizi sulla circolazione

Devo svolgere un integrale del tipo ∮_γ F⋅dℓ che descrive la circolazione di un campo vettoriale.

Metodo 1

1. Verifico che γ è chiusa.
2. Parametrizzo la curva se non lo è.
3. Valuto F(γ(t)).
4. Calcolo γ'(t).
5. Calcolo F(γ(t))γ'(t).
6. Svolgo ∫ F(γ(t))γ'(t)dt.
7. Scrivo il risultato facendo attenzione al verso di percorrenza: se è orario scrivo il risultato cambiato di segno, se è antiorario scrivo il risultato normale.

Metodo 2

Se con il metodo 1 esce un integrale troppo difficile, uso Gauss Green. Esso ci dice che ∮_∂D A(x,y)dx + B(x,y)dy = ∬_D (∂B/∂x - ∂A/∂y) dxdy. A noi serve conoscere il membro a sinistra (un integrale proprio la nostra "circolazione"). Utilizziamo quindi l'uguaglianza e svolgiamo quello a destra.

Condizione: ∂D=γ dev'essere una curva chiusa, semplice, regolare a tratti e positivamente orientata.

Condizione: Regolare Limitato Connesso D deve essere. Per farsi un'idea basta vedere la figura dietro.

Procedimento

1. Calcolo ∂B(x, y)/∂n e ∂A(x, y)/∂y.
2. Essendo un integrale doppio, devo scrivere un dominio normale rispetto ad x o y e svolgerlo.

Nota: La difficoltà sta nel definire D. Per trovare l'area di D, ovvero quando abbiamo il caso ∬_D 1 dn dy, dove 1 = ∂B(x, y)/∂x - ∂A(x, y)/∂y posso utilizzare le formule sotto riportate:

1. AREA(D) = ∬_D dn dy = ∫ dy_∂+D
2. AREA(D) = ∫ -y dx_∂+D
3. AREA(D) = 1/2 ∫ -y dx + x dy_∂+D

Metodo 3

Quando il metodo 1 e 2 falliscono miseramente, per difficoltà di calcolo o per la non verifica delle condizioni, conviene applicare Stokes, se possibile. Vediamo cosa ci dice:

Esplicitiamo meglio i termini: rot F = ∇ x F = (∂F₃/∂y - ∂F₂/∂z)i + (∂F₁/∂z - ∂F₃/∂x)j + (∂F₂/∂x - ∂F₁/∂y)k

N = ∂r(m,n)/∂n x ∂r(n,y)/∂y

Svolgimento (con curva parametrizzata)

Condizione 1: B dev'essere una superficie regolare orientabile, orientata con N e avente bordo ∂B orientato positivamente.

Condizione 2: ∂D dev'essere una curva regolare o l'unione di più curve regolari.

1. Individuo B, parametrizzo ∂B.
2. Calcolo N.
3. Calcolo il rot F.
4. Calcolo il prodotto scalare [rot F ⋅ N].
5. Svolgo ∫_B rot F ⋅ N dσ.

Esercizi sul lavoro

Devo svolgere un integrale del tipo: ∫_Γ Fdr = ∫_a^b F(r(t)) · r'(t)dt che descrive il lavoro totale compiuto da F per spostare il suo punto di applicazione da r(a) a r(b) lungo Γ.

Ragionamento da fare

Devo per prima cosa vedere se F è conservativo perché se così fosse risulterebbe: L_tot = U(B) - U(A).

Ricorda: dove U(B) è la funzione potenziale valutata a fine curva (nel punto finale) e U(A) è la funzione potenziale valutata a inizio curva (nel punto iniziale).

Nota: U è detto potenziale di F se si verifica che F = ∇U.

Per vedere se F è conservativo, ci sono 2 modi:

Modo 1

Verifico F = ∇U, vedo quindi se esiste U tale che →

Modo 2

Vedo se F è irrotazionale in Ω e se Ω è semplicemente connesso ∇∧F = 0 ∂f₂(x,y)/∂y = ∂f₁(x,y)/∂x → Se sono entrambe verificate, F è conservativo.

SE _F NON E' CONSERVATIVO SONO COSTRETTO A CALCOLARE L^TOT_γ = ∫_a^b F(Γ(t)) . Γ'(t) dt

Metodo 1

1. Parametrizzo la curva.
2. Calcolo F(Γ(t)) e Γ'(t).
3. Calcolo il prodotto scalare [F(Γ(t)). Γ'(t)].
4. Svolgo l’integrale, facendo attenzione al verso di percorrenza.

Ricapitolando

Altrimenti metodo 1=> _F conservativo, svolgo L^TOT = V(B) - V(A)

1. Mi serve V(x,y), dove sappiamo che ∂_x V(x,y) = f₁(x,y) e ∂_y V(x,y) = f₂(x,y).
2. Svolgo → V(x,y) = ∫ f₁(x,y) dx = f₁(x) + c(y) _a se è più facile integrare f₁(x,y).
3. Svolgo → V(x,y) = ∫ f₂(x,y) dy = f₁(y) + c(x) _b se svolgo _a, derivo rispetto ad _y V(x,y) (a).
4. Se svolgo _b, derivo rispetto ad _x V(x,y) (b).
5. _a => Pongo ∂_y V(x,y) = f₂(x,y) e trovo c(y).
6. _b => Pongo ∂_x V(x,y) = f₁(x,y) e trovo c(x).
7. O in _a o in _b ricavo finalmente V(x,y).
8. Valuto V(B) e V(A) e calcolo L^TOT_B→ punto finale del percorso Γ, _A→ punto iniziale.

C'è un terzo metodo meno frequente:

Metodo 3

Se la curva e il dominio soddisfano le condizioni di Gauss Green, allora: Calcolare il lavoro lungo una curva chiusa orientata positivamente, è uguale a calcolare: ∬_D [ ∂B(x,y)/∂x - ∂A(x,y)/∂y ] dx dy = ∮_∂D [A(x,y)dx + B(x,y)dy]=L_Tot^Inf

Esercizi sull’irrotazionalità di F

Metodo

Devo verificare che ∇xF=0.

In ℝ² basta verificare che [ ∂F₂/∂x = ∂F₁/∂y ].

In ℝ³ basta verificare che:

• [ ∂F₃/∂y = ∂F₂/∂z , ∂F₁/∂z = ∂F₃/∂x , ∂F₂/∂x = ∂F₃/∂y ].

Questi risultati si ricavano nello svolgere il prodotto vettoriale ∇xF nei rispettivi casi (ℝ² o ℝ³), nulla di più nulla di meno.

Nota: posso anche verificare che è conservativo, per asserire che è irrotazionale; ma ciò ha poco senso dal punto di vista dei calcoli, perché dovresti sempre controllare che sia irrotazionale ed è definito in un insieme connesso semplicemente. Perciò almeno che non si trovi ad occhio una funzione ∇φ(x,y) o ∇φ(x,y,t) : F = ∇φ (def. di conservativo), conviene seguire il procedimento sopra.

Esercizi sulla determinazione della conservatività di F

Metodo 1 (più conveniente)

Verifico che F sia irrotazionale (vedi pagina dietro) e verifico che l'insieme di definizione sia connesso semplicemente. ⇒ Concludo che è conservativo.

Metodo 2

Trovo una funzione scalare U(x,y) definita potenziale di F : F = ∇U ⇒ Concludo che è conservativo.

Esercizi sul calcolo del potenziale

Metodo

1. Verifico che è conservativo.
2. Se lo è allora ∃U (potenziale).

⇒ In ℝ²

1. Calcolo U(x,y) = ∫ F₁(x,y)dx = f(x) + c(y).
2. Derivo ∂U(x,y) / ∂y.
3. Trovo c'(y) ponendo ∂U(x,y) / ∂y = F₂(x,y).
4. Scrivo il potenziale U(x,y) = f(x) + c(y).

[Nota: Lo stesso procedimento si può fare integrando F₂(x,y) rispetto ad y e poi derivare il potenziale rispetto ad x e porlo uguale a F₁(x,y) per trovare c(x)]

⇒ In ℝ³

1. Calcolo U(x,y,z) = ∫ F₁(x,y,z)dx = f(x) + c₁(y,z) trovato in [•].
2. ⇒ ∂U(x,y,z) / ∂y = F₂(x,y,z) ⇒ Trovo c₁(y).
3. ⇒ ∂U(x,y,z) / ∂z = F₃(x,y,z) ⇒ Trovo c₂(z).
4. Scrivo U(x,y,z) = f(x) + c₁(y) + c₂(z).

[Nota: Posso procedere in modo diverso, ma sempre con la stessa logica]

Dire se una forma differenziale è esatta

ω = ƒ₁dx + ƒ₂dy + ƒ₃dz è esatta se ƒ:ω=df = ƒ_xdx + ƒ_ydy + ƒ_zdz.

Metodo

Devo dimostrare che la curva è chiusa e definita in un aperto semplicemente convesso. Concludo che è esatta.

Nota: Una curva è chiusa se ∮_Cƒ=0.

Flusso di un campo vettoriale

Dato un campo vettoriale F(x,y,z) : ℝ³→ℝ³ e una superficie S, il flusso del campo F attraverso S è definito:

Φ = ∫_SF·mdS

Dove m è il versore normale alla superficie F·m è un campo scalare, ossia una funzione ℝ³→ℝ

Metodo 1

Se dispongo di una parametrizzazione P=P(u,v) della superficie S, ovvero una funzione P=P(u,v): D⊆ℝ²→ℝ³ tale da descrivere la superficie S, la formula esplicita per il calcolo del flusso attraverso S è data da:

Φ = ∫_SF(P(u,v))·m(u,v)||_∂P − ∂v _∂P − ∂u||dudv

Dove ds = ||_∂P − ∂u x_∂P − ∂v||dudv

Se non abbiamo una parametrizzazione, utilizziamo la formula sopra!