Analisi Matematica 2 - Guida pratica agli esercizi concernenti i Campi Vettoriali, Esercizi di Analisi Matematica II

Esercizi sulla circuitazione:

Devo svolgere un'integrale del tipo

∮ Fdrche descrive la circuitazione di un campo vettoriale

Metodo 1

1. Verifico che γ è chiusa
2. Parametro la curva se non lo è
3. Valuto F(γ(t))
4. Calcolo γ'(t)
5. Calcolo F(γ(t))γ'(t)
6. Svolgo ∫_a^bF(γ(t))γ'(t)dt
7. Scrivo il risultato facendo attenzione al verso di percorrenza;se è orario scrivo il risultato cambiato di segnose è antiorario scrivo il risultato normale

Metodo 2

Se con il metodo 1 esce un integrale troppo difficile uso Gauss Green.

Esso ci dice che

• ∮_∂D A(n,y)dn + B(n,y)dy = ∬_D (∂B(n,y)/∂n - ∂A(n,y)/∂y) dndy

A noi serve conoscere il membro a sinistra (un'integrale proprio la nostra circuitazione); utilizziamo quindi l'uguaglianzae svolgiamo quello a destra.

Condizione 1∂D=γ dev'essere una curva chiusa, semplice, regolare a tratti e positivamente orientata

CONDIZIONE

D deve essere

1. REGOLARE
2. LIMITATO
3. CONNESSO

Procedimento

1. CALCOLO _∂B(x,y) ^∂n e _∂A(x,y) ^∂y
2. ESSENDO UN INTEGRALE DOPPIO DEVO SCRIVERE UN DOMINIO NORMALE RISPETTO AD x o y E SVOLGERLO

NOTA

LA DIFFICOLTÀ STA NEL’ DEFINIRE D

PER TROVARE L’AREA DI D, OVVERO QUANDO ABBIAMO IL CASO ∬_D 1dndy , DOVE ⊥ = ∂B(x,y)_∂x - ∂A(x,y)_∂y

POSSO UTILIZZARE LE FORMULE SOTTO RIPORTATE:

AREA(D) = ∬_D dndy = ∮_∂+D ηdy (1)

AREA(D) = ∮_∂+D -y dn (2)

AREA(D) = ¹/₂ ∮_∂+D -y dn + ηdy (3)

C'È UN TERZO METODO MENO FREQUENTE:

METODO 3

SE LA CURVA E IL DOMINIO SODDISFANO LE CONDIZIONI DI GAUSS-GREEN, ALLORA:

CALCOLARE IL LAVORO LUNGO UNA CURVA CHIUSA ORIENTATA POSITIVA

È UGUALE A CALCOLARE

_∬D (^∂B(x,y)⁄_∂x - ^∂A(x,y)⁄_∂y) dxdy = _C∮(A(x,y)dx + B(x,y)dy)

ESERCIZI SULL'IRROTAZIONALITÀ DI F:

METODO

DEVO VERIFICARE CHE ∇ x F = 0

IN R² BASTA VERIFICARE CHE [^∂F₂⁄_∂x = ^∂F₁⁄_∂y]

IN R³ BASTA VERIFICARE CHE:

[^∂F₃⁄_∂y = ^∂F₂⁄_∂z, ^∂F₁⁄_∂z = ^∂F₃⁄_∂x, ^∂F₂⁄_∂x = ^∂F₁⁄_∂y]

QUESTI RISULTATI SI RICAVANO NELLO SVOLGERE IL PRODOTTO VETTORIALE ∇ x F NEI RISPETTIVI CASI (R² O R³), NULLA DI PIÙ NULLA DI MENO

NOTA

POSSO ANCHE VERIFICARE CHE È CONSERVATIVO, PER ASSERIRE CHE È IRROTAZIONALE; MA CIÒ HA POCO SENSO DAL PUNTO DI VISTA DEI CALCOLI, PERCHÉ POTREMMO SEMPRE CONTROLLARE CHE SIA IRROTAZIONALE E: _{È DEFINITO IN UN INSIEME CONNESSO} SEMPLICEMENTE.

PERCIÒ ALMENO CHE NON SI TROVI AD OCCHIO UNA FUNZIONE U(x,y) O U(x,y,z,t) : F = ∇U (DEF. DI CONSERVATIVO), CONVIENE SEGUIRE IL PROCEDIMENTO SOPRA.