Analisi Matematica 2 - Guida pratica alla risoluzione di esercizi concernenti Funzioni in due variabili, Esercizi di Analisi Matematica II

Massimi e Minimi in 2 Variabili

Ragionamento:

1. Studio il dominio di f(x,y)
2. Studio f(x,y) in D⁰ con il metodo dell'Hessiano

Nota: In un insieme compatto, quando trovo i max e min in D⁰, vanno scartati quelli che ∈ ∂D⁰.

3. Studio f(x,y) in ∂D applicando Weierstrass e utilizzo la parametrizzazione (se possibile) o Lagrange.
   • Nel caso parametrizzassi f(x,y) *a* studiare la nuova funzione ad una sola variabile e sostituire successivamente i punti stazionari trovati in f(x,y) e stabilire il max o min (assoluti).

Nota: Se ci vengono assegnati dei punti ∈ ∂D, è possibile sostituirli direttamente in f(x,y) e valutare il max e min (assoluto).

Esempi di insiemi D compatti:

es. 1

D = D⁰ ∪ ∂D

1. Posso valutare i punti P₁, P₂, P₃, P₄ in f(x,y) e valutare max e min (assoluto).
2. Studio f(x,y) in x=x₀, y=0 y=y₀ y=k=0 con opportune parametrizzazioni; e trovo i max e min della funzione a una sola variabile parametrizzata, e li sostituisco in f(x,y).
3. Valuto tutti i punti trovati e dico quali sono quelli di max e min assoluti.

es. 2

D = D⁰ ∪ ∂D

1. Parametrizzo direttamente (in questo caso con coordinate polari) e studio la nuova funzione ad una sola variabile come nel punto B dell'esempio 1.

es. 3

D = D⁰ ∪ ∂D

1. Studio f(x,y) con il metodo dell'Hessiano per D⁰ e scarto i punti che ∈ ∂D⁰.
2. Studio f(x,y) in ∂D (nel nostro esempio è x+y+1=1) con il metodo del punto B dell'esempio 1.

Massimi e Minimi in 2 Variabili

Ragionamento:

1. Studio il dominio di f(x,y)
2. Studio f(x,y) in D^o con il metodo dell'Hessiano

Nota: in un insieme compatto, quando trovo i max e min in D^o, vanno a scartare quelli che ∈ D^o.

3. Studio f(x,y) in ∂D applicando Weierstrass e utilizzo la parametrizzazione (se possibile) o Lagrange.
   • Nel caso parametrizzassi f(x,y) ≈ g(t), studiare la nuova funzione ad una sola variabile e sostituire successivamente i punti stazionari trovati in f(x,y) e stabile il max o min (assoluti).

Nota: se ci vengono assegnati dei punti ∈ ∂D, è possibile sostituirli direttamente in f(x,y) e valutare il max e min (assoluto).

Esempi di Insiemi D Compatti:

Es. 1

1. Posso valutare i punti P₁, P₂, P₃, P₄ in f(x,y) e valutare max e min (assoluto).
2. Studio f(x,y) in x=x_o, y=0, y=y_o, x=0 con opportune parametrizzazioni, e trovo i max e min della funzione ad una sola variabile parametrizzata, e li sostituisco in f(x,y).
3. Valuto tutti i punti trovati e dico quali sono quelli di max e min assoluti.

Es. 2

1. Parametrizzo direttamente (in questo caso con coordinate polari) e studio la nuova funzione ad una sola variabile come nel punto B) dell'esempio 1.

Es. 3

1. Studio f(x,y) con il metodo dell'Hessiano per D^o e scarto i punti che ∈ D^o∂D.
2. Studio f(x,y) in ∂D (nel nostro esempio è x²+y²=1) con il metodo del punto B) dell'esempio 1.

Massimi, Minimi, Sella

Nota: Questi metodi si utilizzano in D⁰ o D^C.

Metodo dell’Hessiano:

1. Pongo ∇f(x,y) = 0 ⇒ [ 0 ⇒ Massimo
2. - Per valori di f(x₀,y₀) < 0 ⇒ Minimo

⇒ Valuto tutti i pt. di max. e min per f(x,y) e trovo gli unici e assoluti (per weierstrass)

Note esercizi max e min

Massimi e minimi

Yf Ho funzioni del tipo³f_(lny)²ln(f_(lny)), sin(ln(f_(lny))),arcos(3_(lny)),atan(f_(lny)),ovvero funzioni monotonecrescente, posso diret.fare lo studio dei punticritici a f_(lny).avranno glistessi.occhio ai domini pero

Nota:Se f_(xny) e' una funzionesimmetrica rispetto ad no ad y o ad entrambi,(tenni conto di cio nellostudio dei max e mine studia le f_(xny)) soloin una parte del dominio,che ridurre senza rimature

RicordaQuando ho funzioni chead occhio posso interpretarlecon le curve di livello,ad esempio:z=n⁴+y+2bn+⁴byPosso individuare i max emin con lo studio visivodelle curve di livello.

Nel particolarecaso dei puntiche giacciono sullaad, possiamo parlaredi punti estremanti solose risultano essereassoluti.

Quando l'insieme didefinizione e' compatto(chiuso e limitato),una note tassi ipunti con ∇f_(xny)=0,0non sono assoluti a relazionecon i f_(xny), ma ci bastaandare a controlla nellefunzione di partenza f_(xny))