Analisi Matematica 2 - Guida pratica alla risoluzione di esercizi concernenti Funzioni in due variabili, Esercizi di Analisi Matematica II

Massimi e Minimi in 2 Variabili

Ragionamento:

1. Studio il dominio di f(x,y)
2. Studio f(x,y) in D⁰ con il metodo dell'Hessiano
   • Nota: In un insieme compatto, quando trovo il max e min in D⁰, andiamo a scartare quelli che ∉ D⁰.
3. Studio f(x,y) in ∂D applicando Weierstrass e utilizzo la parametrizzazione (se possibile) o Lagrange.
   • Nel caso parametrizziamo f(x,y) basterà studiare la nuova funzione ad una sola variabile e sostituire successivamente i punti stazionari trovati in f(x,y) e stabilire il max o min (assoluti).

Nota: Se ci vengono assegnati dei punti ∈ ∂D, è possibile sostituirli direttamente in f(x,y) e valutare il max e min (assoluto).

Esempi di Insiemi D Compatti:

Es. 1

• Posso valutare i punti P₀, P₁, P₂, P₃, P₄ in f(x,y) e valutare max e min (assoluto).
• Studio f(x,y) in x=x₀, y=0, y=y₀, x=0 con opportune parametrizzazioni, e trovo il max e min della funzione ad una sola variabile parametrizzata, e lì li sostituisco in f(x,y).
• Valuto tutti i punti trovati e dico quali sono quelli di max e min assoluti.

Es. 2

• Parametrozzato direttamente (in questo caso con coordinate polari) e studio la nuova funzione ad una sola variabile come nel punto b) dell'esempio 1.

Es. 3

• Studio f(x,y) con il metodo dell'Hessiano per D⁰ e scarto i punti che ∉ D∪∂D.
• Studio f(x,y) in ∂D (nel nostro esempio è x²+y²=1) con il metodo del punto b) dell'esempio 1.

Massimi, Minimi, Sella

Nota questi metodi si utilizzano in D^o o D^c.

Metodo dell'Hessiano:

1. Pongo ∇f(x,y)=0 => (∂z/∂x, ∂z/∂y)=(0,0) e trovo i punti che soddisfano il sistema. E scarto quelli che ∉D^o o che ∉D^c.
2. Calcolo f_xx(x,y), f_xy(x,y), f_yy(x,y) e scrivo la matrice Hessiana associata.
3. Calcolo il det(H_c(x_o,y_o)) ∀(x_o,y_o) che soddisfa il sistema dal punto a).
   • Se det(.) > 0, a > 0 => Minimo
   • Se det(.) > 0, a < 0 => Massimo
   • Se det(.) < 0 => Sella
   • Se det(.) = 0 devo valutare di usare per forza o il metodo delle rette o il metodo del segno

Metodo delle rette:

Ci dice solo se il punto (x_o,y_o) che annulla il det(.) è di sella.

1. Considero un fascio di rette passanti per P(x_o,y_o), che è il punto che annulla det(.): y-y_o=m(x-x_o)
2. Studio il segno di f^c(x,y_o+m(x-x_o)) e trovo i punti stazionari ponendo f¹=0 (punto del tipo X_o).
   • Se X_o c'è peri X_n è un punto di massimo/minimo allora (x_o,y_o) è per (x₁,y₁) un punto di sella.
   • Se per almeno due restrizioni, su due rette diverse passanti per (x_o,y_o), fⁱ ammette max in una e min nell'altra in X_o, o viceversa, possiamo asserire che (x₁,y₁) è un punto di sella.
   • In tutti gli altri casi non possiamo dire nulla sulla natura del punto (x_o,y_o) e ci tocca utilizzare il metodo del segno.

Consigli Utili

Ricorda:

Con funzioni f(x,y) vincolate a x-omogenee potresti non determinare tutti i punti del max e min facendo la parametrizzazione. Questo solo se f(x,y) ha quadrati, se è lineare devi farlo.

cotan(θ) + 1 = ¹/_sin²θ ⇒ sinθ = ¹/_cotanθ+1

cosθ = ±√1-sin²θ

cosθ = ¹/_tan²θ+1

Se θ = arcocatnx

⇒ cosθ = ± ^{√1 - 1/_x²+4}

⇒ sinθ = ¹/_√2+4

Cosine Relation: sin²θ + cos²θ = 1

tanθ + 1 = ¹/_cot²θ