Analisi II - nozioni generali ed esercitazioni

Teorema di Tonelli

R3. La funzione è sommabile in ( )x → f (x, y)dy F x ∈ FF xSe la funzione è sommabile vale la seguente uguaglianza (altrimenti la fun-³R ´ ³R ´R Rzione non è sommabile): f (x, y)dy dx = f (x, y)dx dy =F F G GRR x yf (x, y)dxdyE2.2 Teorema di Tonelli , , in, ,n+mHp: R f ∈ m f ≥ 0 EE ⊆ R E ∈ L f : E →³R ´ ³R ´R RRTs: f (x, y)dy dx = f (x, y)dx dy = f (x, y)dxdyF F G G Ex ySe uno qualsiasi dei 3 integrali è finito allora lo sono anche gli altri 2 ed è vera l'uguaglianza per tutti e 3.2.3 Cambi di coordinate negli integrali doppi2.3.1 Coordinate polari( RR RRx = ρ cos θ con eρ ≥ 0 θ ∈ [0, 2π] → f (x, y)dxdy = ρ f (ρ cos θ, ρ sin θ)dρdθ−1E g (E)y = ρ sin θ 122.4 Cambi di coordinate negli integrali tripli2.4.1 Coordinate sferiche x = ρ cos θ sin ϕ RRRcon , eρ ≥ 0

θ ∈ [0, 2π] ϕ ∈ [0, π] ⇒ dxdydz =y = ρ sin θ cos ϕ E z = ρ cos ϕRR 2ρ sin ϕ dρdθdz−1g (E)2.4.2 Coordinate cilindriche x = ρ cos θ RRR RRcon eρ ≥ 0 θ ∈ 2π] ⇒ dxdydz = ρ dρdθdz[0,y = ρ sin θ −1E g (E) z = z3 Forme dierenzialiSia una forma dierenziale e una curva. Vogliamo calcolareω = Xdx+Y dy γR .ωγ è chiusa .ω ⇔ X = Yy xSe è denita in un insieme stellato (semplicemente connesso) ed è chiusaωallora è esatta. Se non è denita in uno stellato ma l'integrale di unaω ωqualsiasi curva che circonda i punti singolari dell'insieme è nullo, allora èωesatta. Nulla si può dire altrimenti.3.1 Integrale per poligonaliSe è esatta l'integrale ha lo stesso valore per ogni curva calcoloω γ

⇒l'integrale per poligonali.Considero punto iniziale e punto nale e calcolo il seguente(x , y ) (x.y)0 0integrale: 13R R Rx y dove con è il0ω = X(t, y )dt + Y (x, t)dt = U (x, y) (t, y ) t ∈ [x , x]0 0 0γ x y0segmento parallelo all'asse congiungente e , mentre conx x x (x, t) t ∈ [y , y]0 02è il segmento parallelo all'asse congiungente e .y y y03.2 Calcolo del potenziale Rè esatta un potenziale con punto nale eω ⇔ ∃ U ⇒ ω = U (b) − U (a) bγpunto iniziale.aPer il calcolo del potenziale considero (oppure ). So che ,X Y U = XxRquindi . A questo punto derivo rispetto a e ricavoU = Xdx + g(y) U y£R ¤ I I. Pongo e ricavo che integratoU = Xdx dy + g (y) U = Y g (y)y yrestituisce , che posso sostituire nell'espressione iniziale di .g(y) USuccessioni di Funzioni reali a variabili reali4 Successioni di funzioni4.1 DenizioneSia ,E ∈ R F(E) : {f : E →

È l'applicazione che associa ad ogni n ∈ ℕ la funzione f(x) = n ∈ ℕ. Questa successione di funzioni di termine generale si indica con {f}n.

Si consideri: se {f(x)} converge, il punto di convergenza è x ∈ ℰ.

4.2 Convergenza Puntuale

Sia ℰ l'insieme dove {f(x)} è convergente. Se la funzione A ≡ {x ∈ ℰ} {f(x)} ≠ φ converge puntualmente.

Attenzione al segno dell'integrale quando si fissano gli estremi di integrazione! Il verso (o il segno) dev'essere coerente con il verso di percorrenza della curva.

14 Considerando ℰ, è possibile associare ad ogni x ∈ ℰ → lim f(x) x ∈ ℰ → ∞ un numero tale che in corrispondenza di f(x) ∀ε > 0, ∀x ∈ ℰ ∃ν ∈ ℕ: ∀n > ν, |f(x) - f(x)| < ε.

4.3 Progressione geometrica

Sia {f} = x, x ∈ [0, 1].

Fissato x, lim x = f(x) = 1 - x.

14.4 Convergenza uniforme

4.4.1 Definizione

Una successione di funzioni converge uniformemente ad f(x) : E → N se per ogni ε > 0 esiste un ν ∈ N tale che per ogni n > ν e per ogni x ∈ E si abbia |f(x) - f(x)| < ε.

La convergenza uniforme si indica con f ⇒ f_n.

4.4.2 Convergenza Puntuale:

Es: Convergenza uniforme della progressione geometrica: f_n(x) = xⁿ converge uniformemente in E con E = [0, h] 0 < h < 1.

Una successione infinitesima quale f_n : E → R ∀n ∈ N tende a zero, essendo un maggiorante per f_n:

h < ε ⇒ x ≤ h < ε ∀x ∈ [0, h], ∀n > ν

4.4.2 Criterio di convergenza

Sia f : E → R una successione di funzioni convergente puntualmente, cioè f_n(x) converge puntualmente in E.

lim

f (x) = f (x)n n 15CNS anchè in è che:f ⇒ f En1. (anche solo denitivamente, ovvero da unsup |f (x) − f (x)| < +∞nEcerto indice in poi)

2. lim sup |f (x) − f (x)| = 0n nE4.5 Criterio di Cauchy (per la convergenza puntuale(1) euniforme(2))

Sia {f }, f : E → Rn nCNS anchè converga in è che:f En1. Puntualmente: ∀ε > 0, ∀x ∈ E ∃ν ∈ N : ∀n, m > ν |f (x) − f (x)| <n mε2. Uniformemente: ∀ε > 0 ∃ν ∈ N : ∀n, m > ν |f (x) − f (x)| < ε ∀x ∈ε n mE4.6 Teorema dello scambio dei limiti

Sia {f }, f : E → R, x ∈ DE ≡ {x ∈ E, x 6 = x }n n 0 0 0Hp:1. inf ⇒ f En2. lim f (x) = l ∀n ∈ Nx→x n n0Ts:∃ lim f (x) = L = lim f (x)n n x→x 0 16Corollario (Teorema di continuità): Sia {f } f : E → R x ∈ E ∩DEn n oHp:1. inf ⇒ f En2.

successione di funzioni reali. f (x) : E ⊆ R → R ∀n ∈ Nn P+∞Serie di funzioni

Denisco f (x)

n=1 P nk=1 somma dei primi termini

Consideriamo la funzione f (x) kS (x) =n ksuccessione delle somme parziali

( )

5.2 Convergenza puntuale

Se in , e quindi se eS → f E ∀ε > 0 ∀x ∈ E ∃ν ∈ N : ∀n > ν |S − f | <n nP+∞ puntualmente in .

f (x) = f (x) Eε ⇒ nn=1

5.3 Convergenza uniforme

PnSia .S (x) = f (x)n kk=1in seS ⇒ f E ∀ε > 0 ∃ν ∈ N : ∀n > ν |S − f | < ε ∀x ∈ E ⇒n nP +∞ uniformemente in .

f (x) = f (x) Enn=1

5.4 Criterio di convergenza puntuale (Cauchy)

P+∞Si consideri f (x) f : E → Rn nn=1 18PCNS anchè converga puntualmente in è che:+∞ f (x) E ∀ε >nn=1

0 ∀x ∈ E ∃ν ∈ N : ∀n > ν ∀p ∈ N ⇒ |f (x) + . . .

+ f (x)| < εε,x n+1 n+p

Criterio di convergenza uniforme (Cauchy)

+∞Si consideri f (x) f : E → Rn nn=1PCNS anchè converga uniformemente in è che:

+∞ f (x) E ∀ε >nn=10 ∃ν ∈ N : ∀n > ν ∀p ∈ N ⇒ |f (x) + . . . + f (x)| < ε ∀x ∈ Eε n+1 n+p

5.6 Convergenza assoluta PP +∞+∞ converge assolutamente in se la serie

Una serie |f (x)|f (x) A ∈ (a, b) nn n=1n=1

converge puntualmente ⇒Convergenza assoluta Convergenza puntuale:

5.7 Convergenza totaleP+∞Si consideri f (x) f : E → Rn nn=1 converge totalmente

Si dice che la serie se:

1. (ovvero e limitata in )|f (x)| ≤ c | ∀x ∈ E ∀n ∈ N |f | En n nP+∞ converge ( )

2. c c = | sup{|f (x)| : x ∈ E}|n n nn=1 ⇒ ⇒Convergenza totale Convergenza assoluta Convergenza: :puntuale ⇒ ⇒Convergenza totale Convergenza uniforme Convergenza:

puntuale 195.8 Serie logaritmica P n+∞ xSi denisce serie logaritmica la serie n=1 nConvergenza assoluta in• ] − 1, 1[Convergenza puntuale in• [−1, 1[Convergenza totale in ( )• [−h, h] 0 < h < 1Convergenza uniforme in ( )• [−1, h] 0 < h < 15.9 Teorema