Analisi II - nozioni generali ed esercitazioni

Analisi 2 Mini-HOWTO (Ver. 0.2)

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8 giugno 2006

Indice

1 Equazioni Dierenziali 5

I

1.1 Equazioni a variabili separabili . . . . 5

y = f (x, y) = a(x)b(y)

1.1.1 Soluzioni di I categoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Soluzioni di II categoria . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3 Soluzioni di III categoria . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I

1.2 Equazioni lineari del primo ordine 5

y = f (x, y) = a(x)y + b(x)

I n

1.3 Equazioni di Bernoulli . . . . 6

y = f (x, y) = P (x)y + Q(x)y

1.3.1 Soluzioni nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.2 Soluzioni non nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

(n) (n−1)

1.4 Equazioni lineari omogenee a coecienti costanti y = a y +

1

(n−2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

a y + . . . + a y

2 n

1.4.1 Soluzioni reali e distinte . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.2 Soluzioni reali e coincidenti . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.3 Soluzioni complesse e coniugate . . . . . . . . . . . . . 7

(n)

1.5 Equazioni lineari non omogenee a coecienti costanti y =

(n−1) (n−2) . . . . . . . . . . . . . 8

a y + a y + . . . + a y + b(x)

1 2 n

1

1.5.1 Variazione delle costanti arbitrarie di Lagrange . . . . 8

1.5.2 Polinomio noto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

a a

(n) (n−1)

1.6 Equazioni di Eulero . . . . . 9

y + y + . . . y = g(x)

1 n

n

x x

I

1.7 Equazioni del tipo . . . . . . . . . . . . . . . 10

y = h (ax + by) ¡ ¢

y

I

1.8 Equazione a coecienti omogenei . . . . 10

y = f (x, y) = g x

1.9 Sistemi di equazioni dierenziali non omogenee . . . . . . . . 10

P (x,y)

I

1.10 Equazioni dierenziali esatte . . . . . 11

y = f (x, y) = − Q(x,y)

2 Integrali 11

2.1 Teorema di Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Teorema di Tonelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Cambi di coordinate negli integrali doppi . . . . . . . . . . . . 12

2.3.1 Coordinate polari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Cambi di coordinate negli integrali tripli . . . . . . . . . . . . 13

2.4.1 Coordinate sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4.2 Coordinate cilindriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Forme dierenziali 13

3.1 Integrale per poligonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2 Calcolo del potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Successioni di funzioni 14

4.1 Denizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.2 Convergenza Puntuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.3 Progressione geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.4 Convergenza uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2

4.4.1 Denizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.4.2 Criterio di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.5 Criterio di Cauchy (per la convergenza puntuale(1) e unifor-

me(2)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.6 Teorema dello scambio dei limiti . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.7 Teorema del passaggio al limite sotto il segno di integrale . . 17

4.8 Teorema del passaggio al limite sotto il segno di derivata . . . 17

5 Serie di funzioni 18

5.1 Denizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.2 Convergenza puntuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.3 Convergenza uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.4 Criterio di convergenza puntuale (Cauchy) . . . . . . . . . . . 18

5.5 Criterio di convergenza uniforme (Cauchy) . . . . . . . . . . . 19

5.6 Convergenza assoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.7 Convergenza totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.8 Serie logaritmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.9 Teorema di continuita della somma della serie . . . . . . 20

f (x)

5.10 Teorema di integrazione per serie . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.11 Teorema di derivabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6 Serie di potenze 21

6.1 Denizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6.2 Teorema del raggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6.3 Teorema di Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6.4 Teorema di Cauchy-Hadamard (criterio della radice n-esima) . 22

3

6.5 Teorema di D'Alambert (criterio del rapporto) . . . . . . . . . 23

6.6 Raggio di convergenza della serie derivata . . . . . . . . . . . 23

6.7 Serie integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

7 Sviluppo in serie di Taylor 24

7.1 Denizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

7.2 Condizioni sucienti di analiticità . . . . . . . . . . . . . . . 24

7.2.1 Prima condizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

7.2.2 Seconda condizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

7.3 Esempi di funzioni sviluppabili in serie di Taylor . . . . . . . 24

7.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

sin x

7.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

cos x

x

7.3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

e

7.3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

sinh x

7.3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

cosh x

7.3.6 Serie binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7.3.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

arcsin x

7.3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

arctan x

7.4 Calcolo dell'integrale approssimato di una funzione . . . . . . 26

8 Estremi di una funzione 26

n

f : X ⊆ R → R

8.1 Studio degli estremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

8.2 Alcune equazioni parametriche . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4

1 Equazioni Dierenziali

1.1 Equazioni a variabili separabili I

y = f (x, y) = a(x)b(y)

I con e entrambe

y = f (x, y) = a(x)b(y) a : I ⊆ R → R b : J ⊆ R → R

continue ( )

f : IxJ

1.1.1 Soluzioni di I categoria

,

y ∈ J : b(y) = 0 y(x) = y, x ∈ I

1.1.2 Soluzioni di II categoria

Si cercano soluzioni di questo tipo: e si considera

y : (a, b) ⊆ I → J

ove è la composizione di e (il caso lo si

b (y(x)) 6 = 0 b (y(x)) b y(x) b(y) = 0

è considerato nelle sol. di I cat,) I

y

I (Divido per dato che è diverso da )

y = a(x)b (y(x)) ⇒ b (y(x)) 0 =

b(y(x))

(Integro, nasce il campo di esistenza delle )

a(x) ⇒ x By(x) = A(x) + c ⇒

−1

(Considero l'inversa di )

B y(x) = B [A(x) + c]

1.1.3 Soluzioni di III categoria

Si cercano i valori di per i quali valgono le soluzioni di prima categoria.

x

Se tali valori rientrano nel dominio delle allora possono esistere soluzioni

x

miste, altrimenti non possono esistere soluzioni miste, ovvero le soluzioni di

II cat. non possono intersecare quelle di I.

1.2 Equazioni lineari del primo ordine I

y = f (x, y) = a(x)y +

b(x)

I con continue.

y = f (x, y) = a(x)y + b(x) a, b : (α, β) → R

5 I

Considero l'eq. omogenea associata: (Passo a dividere)

y = a(x)y ⇒

I

y (Integro) (pongo perchè cerco solo una

= a(x) ⇒ log y(x) = A(x) c = 0

y

soluzione) (Passo all'esponenziale e moltiplico per ottenendo l'integrale

⇒ k

A(x)

generale dell'omogenea associata) .

y(x) = ke

Per l'integrale completo applico il metodo delle variazioni delle costanti

arbitrarie di Lagrange:

A(x) I I A(x) A(x) (Sostituisco nell'eq. di

y = c(x)e ⇒ y = c (x)e + a(x)c(x)e ⇒

I A(x) A(x) A(x)

partenza) (Semplico)

c (x)e + a(x)c(x)e = a(x)c(x)e + b(x) ⇒

R

I −A(x) −A(x)

(Integro)

c (x) = b(x)e ⇒ c(x) = b(x)e dx R

A(x) A(x) −A(x)

L'equazione completa sarà quindi: y(x) = ke + e b(x)e dx

1.3 Equazioni di Bernoulli I n

y = f (x, y) = P (x)y + Q(x)y

I n con continue ed

y = f (x, y) = P (x)y + Q(x)y P, Q : (α, β) ⊆ R → R

1

n ∈ R\ {0, 1}

1.3.1 Soluzioni nulle

Se e allora la può assumere valore nullo:

n > 0 n 6 = −1 y y : (α, β) → R

con y(x) = 0

1.3.2 Soluzioni non nulle

Si esclude la soluzione .

y(x) = 0

1

In generale la soluzione non è globale perchè l'equazione non è lineare

6

I

y (x) 1−n

1 (Pongo e moltiplico tutto

= P (x) + Q(x) ⇒ [y(x)] = z(x)

n n−1

[y(x)] [y(x)] I

y (x) 1 I

per ) = (1 − n)P (x) + (1 − n)Q(x) ⇒ z (x) =

1 − n ⇒ (1 − n) n n−1

[y(x)] [y(x)]

(Eq. dierenziale lineare del I ordine)

(1 − n)P (x)z(x) + (1 − n)Q(x)

Risolta l'equazione del primo ordine bisogna passare nuovamente a , ma

y(x)

1−n

prima bisogna imporre il segno di alla perchè l'equazione in

[y(x)] z(x)

(lineare) ammette soluzioni globali, mentre quella in (non lineare) in

z y

generale non le ammette). Trovato il campo di esistenza si può tornare alla

.

y(x)

1.4 Equazioni lineari omogenee a coecienti costanti (n)

y =

(n−1) (n−2)

a y + a y + . . . + a y

1 2 n

(n) (n−1) (n−2)

y = a y + a y + . . . + a y

1 2 n

Si considera l'equazione caratteristica: n n−1 n−2

λ = a λ +a λ +. . .+a λ

1 2 n

e si ricavano le soluzioni distinguendo i vari casi:

1.4.1 Soluzioni reali e distinte

λ x λ x &lambda