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Considerando è possibile associare ad ogni il

x ∈ A → lim f (x) x ∈ A

n→∞ n

numero tale che in corrispondenza

f (x) ∀ε > 0, ∀x ∈ A ∃ν ∈ N : ∀n >

ε,x

ν | f (x) − f (x) |< ε

n

4.3 Progressione geometrica

n

sia {f } = x , x ∈ [0, 1]

n ( 0 x ∈ [0, 1[

n

Fissato :

x lim x = f (x) =

n 1 x =1

4.4 Convergenza uniforme

4.4.1 Denizione

Una successione di funzioni converge uniformemente ad

{f (x)} f : E → N

n n

una funzione se .

f (x) ∀ε > 0 ∃ν ∈ N : ∀n > ν |f (x) − f (x)| < ε ∀x ∈ E

ε ε n

La convergenza uniforme si indica con f ⇒ f

n

Convergenza Uniforme Convergenza Puntuale

:

Es: Conv uniforme della progressione geometrica: n Con-

f (x) = x

n

verge uniformemente in con perchè la si può maggiorare con

[0, h] 0 < h < 1

n n n

una successione innitesima quale : infatti . Poichè

h x ≤ h ∀x ∈ [0, h]

n n

tende a zero, essendo un maggiorante per :

h x ∀ε > 0 ∃ν ∈ N : ∀n >

n n n

ν h < ε ⇒ x ≤ h < ε ∀x ∈ [0, h], ∀n > ν

4.4.2 Criterio di convergenza

Sia : Supponiamo convergente puntualmente,

{f }, f : E → R, ∀n ∈ N f

n n n

ovvero puntualmente in E.

lim f (x) = f (x)

n n 15

CNS anchè in è che:

f ⇒ f E

n

1. (anche solo denitivamente, ovvero da un

sup |f (x) − f (x)| < +∞

n

E

certo indice in poi)

2. lim sup |f (x) − f (x)| = 0

n n

E

4.5 Criterio di Cauchy (per la convergenza puntuale(1) e

uniforme(2))

Sia {f }, f : E → R

n n

CNS anchè converga in è che:

f E

n

1. Puntualmente: ∀ε > 0, ∀x ∈ E ∃ν ∈ N : ∀n, m > ν |f (x) − f (x)| <

n m

ε

2. Uniformemente: ∀ε > 0 ∃ν ∈ N : ∀n, m > ν |f (x) − f (x)| < ε ∀x ∈

ε n m

E

4.6 Teorema dello scambio dei limiti

Sia {f }, f : E → R, x ∈ DE ≡ {x ∈ E, x 6 = x }

n n 0 0 0

Hp:

1. in

f ⇒ f E

n

2. lim f (x) = l ∀n ∈ N

x→x n n

0

Ts:

∃ lim f (x) = L = lim f (x)

n n x→x 0 16

Corollario (Teorema di continuità): Sia {f } f : E → R x ∈ E ∩DE

n n o

Hp:

1. in

f ⇒ f E

n

2. è continua in

f x ∀n ∈ N

n 0

Ts: è continua in , ovvero f (x) =

f (x) = f (x ) ⇒ lim

f x lim n n 0 x→x

0 x→x 0 0

f (x )

0

4.7 Teorema del passaggio al limite sotto il segno di integrale

Sia {f } f : [a, b] → R

n n

Hp:

1. è limitata e integrabile secondo Riemman in

f [a, b]

n

2. in

f ⇒ f [a, b]

n R R

b b

Ts: è limitata e integrabile secondo Riemman: f (x)dx = f (x)dx

f lim n

n a a

4.8 Teorema del passaggio al limite sotto il segno di derivata

Sia limitata in

{f } f : (a, b) → R (a, b)

n n

Hp:

1. derivabile in . Se ciascun termine è derivabile, si può

f (a, b) ∀n ∈ N

n 0

indicare la successione delle derivate prime come f

n

0 in

2. ⇒ g (a, b)

f

n

3. è convergente

∃x ∈ (a, b) : {f (x )}

0 n 0 17

Ts:

1. in

f ⇒ f (a, b)

n 0 0

2. è derivabile in e o equiva-

f (a, b) f (x) = lim f = g(x) ∀x ∈ (a, b)

n n

d d

lentemente: lim f (x) = lim f (x)

n n n n

dx dx

5 Serie di funzioni

5.1 Denizione

Sia una successione di funzioni reali.

f (x) : E ⊆ R → R ∀n ∈ N

n P

+∞

Serie di funzioni

Denisco f (x)

n

n=1 P nk=1 somma dei primi termini

Consideriamo la funzione f (x) k

S (x) =

n k

successione delle somme parziali

( )

5.2 Convergenza puntuale

Se in , e quindi se e

S → f E ∀ε > 0 ∀x ∈ E ∃ν ∈ N : ∀n > ν |S − f | <

n n

P

+∞ puntualmente in .

f (x) = f (x) E

ε ⇒ n

n=1

5.3 Convergenza uniforme

P

n

Sia .

S (x) = f (x)

n k

k=1

in se

S ⇒ f E ∀ε > 0 ∃ν ∈ N : ∀n > ν |S − f | < ε ∀x ∈ E ⇒

n n

P +∞ uniformemente in .

f (x) = f (x) E

n

n=1

5.4 Criterio di convergenza puntuale (Cauchy)

P

+∞

Si consideri f (x) f : E → R

n n

n=1 18

P

CNS anchè converga puntualmente in è che:

+∞ f (x) E ∀ε >

n

n=1

0 ∀x ∈ E ∃ν ∈ N : ∀n > ν ∀p ∈ N ⇒ |f (x) + . . . + f (x)| < ε

ε,x n+1 n+p

5.5 Criterio di convergenza uniforme (Cauchy)

P

+∞

Si consideri f (x) f : E → R

n n

n=1

P

CNS anchè converga uniformemente in è che:

+∞ f (x) E ∀ε >

n

n=1

0 ∃ν ∈ N : ∀n > ν ∀p ∈ N ⇒ |f (x) + . . . + f (x)| < ε ∀x ∈ E

ε n+1 n+p

5.6 Convergenza assoluta P

P +∞

+∞ converge assolutamente in se la serie

Una serie |f (x)|

f (x) A ∈ (a, b) n

n n=1

n=1

converge puntualmente ⇒

Convergenza assoluta Convergenza puntuale

:

5.7 Convergenza totale

P

+∞

Si consideri f (x) f : E → R

n n

n=1 converge totalmente

Si dice che la serie se:

1. (ovvero e limitata in )

|f (x)| ≤ c | ∀x ∈ E ∀n ∈ N |f | E

n n n

P

+∞ converge ( )

2. c c = | sup{|f (x)| : x ∈ E}|

n n n

n=1 ⇒ ⇒

Convergenza totale Convergenza assoluta Convergenza

: :

puntuale ⇒ ⇒

Convergenza totale Convergenza uniforme Convergenza

: :

puntuale 19

5.8 Serie logaritmica P n

+∞ x

Si denisce serie logaritmica la serie n=1 n

Convergenza assoluta in

• ] − 1, 1[

Convergenza puntuale in

• [−1, 1[

Convergenza totale in ( )

• [−h, h] 0 < h < 1

Convergenza uniforme in ( )

• [−1, h] 0 < h < 1

5.9 Teorema di continuita della somma della serie

f (x)

P

+∞

Si consideri f (x) f : E ⊆ R → R

n n

n=1

Hp:

1. è continua in

f x ∈ E

n 0

P

+∞

2. uniformemente in

f (x) = f (x) E

n

n=1

Ts: è continua in

f x 0

5.10 Teorema di integrazione per serie

P

+∞

Sia f (x) f : [a, b] → R

n n

n=1

Hp:

1. è continua in e quindi R-integrabile

f [a, b]

n

P

+∞

2. uniformemente in

f (x) = f (x) [a, b]

n

n=1

R R

P

b b

Ts: +∞

f (x)dx = f (x)dx

n

n=1

a a 20

5.11 Teorema di derivabilità

P

+∞

Sia f (x) f : (a, b) → R

n n

n=1

Hp: 1

1. è derivabile in , cioè

f (a, b) f ∈ C (a, b)

n n

P

+∞ 0

2. uniformemente in

f (x) = g(x) [a, b]

n

n=1 P

+∞

3. è convergente

∃x ∈ (a, b) : f (x)

n

n=1

P

Ts: +∞ converge uniformemente in , e detta la funzione

f (x) (a, b) f (x)

n

n=1 1 0

somma, ed inoltre

f (x) ∈ C (a, b) f (x) = g(x) ∀x ∈ (a, b)

6 Serie di potenze

6.1 Denizione

Si consideri x ∈ R, {a }, a ∈ R, n ∈ N

0 n n P

+∞ n

serie di potenza

Si denisce la serie a (x − x ) = a + a (x − x ) +

n 0 0 1 0

n=0

2 n

a (x − x ) + . . . + a (x − x )

2 0 n 0

coecenti della serie di potenze centro punto

si chiamano , è detto o

a x

n 0

iniziale della serie di potenze

Ogni serie di potenze converge sicuramente in poichè in esso la serie

x

0

converge ad .

a

0 P

Lemma: +∞ n convergente in . Allora essa

1. sia a (x − x ) x 6 = x

n 0 0

n=0

converge assolutamente , cioè in quei punti

∀x ∈ R : |x − x | ≤ |x − x |

0 0

che distano da meno di . Se considero l'intorno di centro e di

x x x

0 0

raggio pari alla distanza La serie converge.

|x − x | ⇒

0

Lemma:

2. se la serie non converge in allora essa non converge in alcun

x

punto che dista da più di , ovvero

x x x ∀x ∈ R : |x − x | > |x − x |

0 0 0

21

6.2 Teorema del raggio

P

+∞ n

Si consideri e sia il suo raggio di convergenza:

a (x − x ) r

n 0

n=0

1. La serie di potenze converge solo in .

r = 0 ⇒ x

0

2. La serie di potenze converge assolutamente in

0 < r < +∞ ⇒ ]x −

0

e converge totalmente in ogni compatto (insieme chiuso e

r, x + r[

0

limitato).

3. La serie di potenze converge assolutamente in , converge

r = +∞ ⇒ R

totalmente in ogni compatto K ⊂ R : [x − h, x + h] 0 < h < +∞

0 0

CNS per la convergenza in se è che la serie sia un polinimio,

R r = +∞

ovvero se .

∃ν ∈ N : ∀n > ν a = 0

n

6.3 Teorema di Abel

P

+∞ n

Si consideri , supponiamo , allora si può

a (x − x ) 0 < r < +∞

n 0

n=0

considerare l'intervallo di convergenza .

]x − r, x + r[

0 0

Se la serie converge nel punto allora la serie converge assoluta-

• x + r

0

mente in con .

[x − h, x + r] 0 < h < r

0 0

Se la serie converge nel punto allora la serie converge assoluta-

• x − r

0

mente in con .

[x − r, x + h] 0 < h < r

0 0

6.4 Teorema di Cauchy-Hadamard (criterio della radice n-

esima)

P

+∞ n

Data si consideri la successione dei coecienti :

a (x − x ) a

n 0 n

n=0 p p

Calcoliamo . Se questo limite , ovvero se

lim |a | ∃ lim |a | = l 0 <

n n

n n n n

1

l < +∞ ⇒ r = l 22

6.5 Teorema di D'Alambert (criterio del rapporto)

P

+∞ n

Data si consideri la successione dei coecienti :

a (x − x ) a

n 0 n

n=0 ¯ ¯ ¯ ¯

¯ ¯ ¯ ¯

a a

Calcoliamo . Se questo limite , ovvero se

n+1 n+1

lim ∃ lim = l 0 <

¯ ¯ ¯ ¯

n n

a a

n n

1

l < +∞ ⇒ r = l

6.6 Raggio di convergenza della serie derivata

P

+∞ n

Si consideri , se allora si può considerare l'intervallo

a (x − x ) r > 0

n 0

n=0

di convergenza dove la serie converge a .

]x − r, x + r[ f (x)

0 0 P

+∞ n−1

Derivando la serie di potenze otteniamo che ha lo stesso

na (x−x )

n 0

n=1

raggio di convergenza della serie di partenza e converge ad una funzione g(x)

0

tale che .

f (x) = g(x)

1. .

f ∈ C (]x − r, x + r[)

0 0

P

+∞ n−k

(k) .

2. n(n − 1)(n − 2)...(n − k)a (x − x ) ]x − r, x + r[

f (x) = n 0 0 0

n=1

(k)

3. per , .

x = x f (x ) = k!a

0 0 k

6.7 Serie integrale

Sia , ed essendo chiuso e limitato, posso applicare

[a, b] ⊂]x − r, x + r[ [a, b]

0 0 R R

P

b b

+∞ n

il teorema di integrazione per serie: f (x)dx = a (x − x ) dx

n 0

n=0

a a

Considero l'intervallo di estremi e , , che è

I(x , x) x x x ∈]x − r, x + r[

0 0 0 0

un'intervallo contenuto nell'intervallo di convergenza. In quest'intervallo c'è

convergenza uniforme quindi il teorema è applicabile:

R P n+1

x (x−x )

+∞ serie

. Questa serie è la

0

f (t)dt = a x ∈]x − r, x + r[

n 0 0

n=0 n+1

x 0

integrale

. 23

7 Sviluppo in serie di Taylor

7.1 Denizione

∞ sviluppabile in Serie di Taylor

Sia . Si dice che è in

f ∈ C (]x − r, x + r[) f

0 0 P n

f (x )

+∞ n

se vale la seguente uguaglianza: 0

]x − r, x + r[ f (x) = (x − x )

0 0 o

n=0 n|

7.2 Condizioni sucienti di analiticità

7.2.1 Prima condizione

Hp: ∞

1. .

f ∈ C (]x − r, x + r[)

0 0 n!

n .

2. ∀x ∈]x − r, x + r[

∃M > 0, ∃ν ∈ N : ∀n > ν |f (x)| ≤ M 0 0

n

r

Ts: è analitica in .

f ]x − r, x + r[

0 0

7.2.2 Seconda condizione

Hp: ∞

1. .

f ∈ C (]x − r, x + r[)

0 0 n

2. .

∃M > 0, ∃ν ∈ N : ∀n > ν |f (x)| ≤ M ∀x ∈]x − r, x + r[

0 0

Ts: è analitica in un opportuno intorno di .

f x

0

7.3 Esempi di funzioni sviluppabili in serie di Taylor

7.3.1 sin x P

P II n

n f (0) (−1)

f (0) +∞

+∞ n I 2 2n

x = f (0)+f (0)x+ x +. . . = x = sin x ∀x ∈

n=0

n=0 n! 2! (2n+1)!

R 24

7.3.2 cos x

P n 2 4 6

(−1)

+∞ x x x

2n

x = cos x = 1 − + − + ... ∀x ∈ R

n=0 2! 4! 6!

(2n)!

7.3.3 x

e

P n 2 3 n

+∞ x x x x x

=1+ x + + + ... + + . . . = e

n=0 n! 2! 3! n!

7.3.4 sinh x P

x −x 2n+1

+∞

e −e x

sinh x = = n=0

2 (2n+1)!

7.3.5 cosh x P

x −x 2n

+∞

e +e x (nota: si ottiene derivando )

cosh x = = sinh x

n=0

2 (2n)!

7.3.6 Serie binomiale à !

P P α

α(α−1)...(α−n+1)

+∞ +∞

α n

(1 + x) = x = ∀x ∈] − 1, 1[ ∀α ∈ R

n=0 n=0

n! n

7.3.7 arcsin x

P 2n+1

(2n−1)!!

+∞ x ∞

(nota: )

arcsin x = arcsin x ∈ C (] − 1, 1[)

n=0 (2n)!! (2n+1)

7.3.8 arctan x

P 2n+1

+∞ x

n

arctan x = (−1)

n=0 2n+1 25

7.4 Calcolo dell'integrale approssimato di una funzione

¯ ¯

R

¯ ¯

b 1

con precisione (es: )

f (x)dx − q ≤ |a | ≤ p p p =

¯ ¯

n n 1000

a dev'essere una funzione sviluppabile in serie e deve convergere unifor-

f (x)

memente nell'intervallo di integrazione (in modo da applicare il teorema di

integrazione per serie). Trovata la serie integrale bisogna provare arbitraria-

mente diversi valori di no a quando il coeciente non risulta minore

n a n

della precisione richiesta.

8 Estremi di una funzione n

f : X ⊆ R → R

8.1 Studio degli estremi

1. Si escludono i punti di frontiera (si studiano a parte)

2. Si escludono i punti dove non esistono derivate (si studiano a parte)

3. Si considerano a parte gli insiemi degli zeri della funzione

4. Si considerano i punti interni dove esiste qualche derivata e questa

derivata è nulla (punti critici) ¯ ¯

¯ ¯

f f

¯ ¯

xx xy

2

5. Se la funzione è di classe si calcola l'Hessiano

C H = ¯ ¯

f (x,y) ¯ ¯

f f

yx yy

nei punti critici:

In base al determinante dell'Hessiano e al segno di si verica se il punto

f

xx

è di estremo relativo o no:

Se Il punto è di sella

• det |H| < 0 ⇒

Se Nulla si può dire sul punto

• det |H| = 0 ⇒

Se e Il punto è di minimo relativo

• det |H| > 0 f > 0 ⇒

xx

Se e Il punto è di massimo relativo

• det |H| > 0 f < 0 ⇒

xx 26


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AUTORE

Exxodus

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DETTAGLI
Esame: Analisi 2
Corso di laurea: Corso di laurea in matematica
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Exxodus di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi 2 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Scienze matematiche Prof.

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