Limiti di una funzione
Lim a→x x 0 = + ∞f ( x )
Lim a⇒se a>1 e f(x)→ +∞ →x x 0 =f ( x )
Lim a 0⇒se 0 < a < 1 e f(x) → +∞ →x x0=f ( x )
Lim a 0⇒se a>1 e f(x)→ –∞ →x x 0 = + ∞f ( x )
Lim a⇒se 0 < a < 1 e f(x) → –∞ →x x 0 g(x) mIn generale se f(x)→l e se g(x)→m si ha che [f(x)] →l
Limiti di un Polinomio
nP ( x ) P ( x )Lim Lim: mQ ( x ) Q ( x )→ ± ∞ → ± ∞x x a 0n = m → rapporto tra i coefficienti di grado massimo: b0n < m → 0 an− m 0xse n > m allora si avrà il prodotto .b0 n-m
Se il limite tenderà a +∞ allora x tenderà +∞, che si moltiplicherà col segno
a a a
+ ∞ ⋅ + = + ∞
+ ∞ ⋅ − = − ∞
0 0 0
di : se ; se
b b b
0 0 0 n-m
Se il limite tenderà a -∞ allora se n-m
È pari x tenderà a +∞ che sia 0 moltiplicherà col segno di : se b > 0 a + ∞ ⋅ + = + ∞ + ∞ ⋅ − = − ∞ 0 0; se b < 0 a + ∞ ⋅ + = − ∞ + ∞ ⋅ − = + ∞ 0 0 n-mse è dispari x tenderà a -∞ che sia 0 moltiplicherà col segno di : se b > 0 a + ∞ ⋅ + = − ∞ − ∞ ⋅ − = + ∞ 0 0; se b < 0 a + ∞ ⋅ + = + ∞ − ∞ ⋅ − = − ∞ 0 0 Derivate: f(x) = k f'(x) = 0 f(x) = k⋅x f'(x) = k f(x) = x f'(x) = 1 f(x) = x^n f'(x) = n⋅x^(n-1) f(x) = e^x f'(x) = e^x f(x) = a^x f'(x) = a^x⋅log(a) f(x) = log(x) f'(x) = 1/x f(x) = log|x| f'(x) = x/|x| f(x) = log|f(x)| f'(x) = f'(x)/f(x)senx f’(x) = cosxf(x) = cosx f’(x) = –senx
1 + 2 tg xf(x) = tgx f’(x) = oppure 2cos x1− − − 21 cot g xf(x) = cotgx f’(x) = oppure 2sen x1
f(x) = arcsenx f’(x) = − 21 x1−f(x) = arccosx f’(x) = − 21 x1
f(x) = arctgx f’(x) = + 21 x1−f(x) = arccotgx f’(x) = + 21 x 1–1
f(x) = f (x) f’(x) = 'f ( x )
In generale :
F(x) = f(x)+g(x) F’(x ) = f’(x )+g’(x )
F(x) = f(x)∙g(x) F’(x ) =f(x )∙g’(x )+ f’(x )∙g(x )
⋅ − ⋅' 'f ( x ) g ( x ) f ( x ) f ( x ) g ( x )
F(x) = [f(x)] F’(x) = [f(x)] ∙[g(x)∙ ∙f’(x) + g’(x)∙logf(x)]
f ( x )F(x) = (g°f)(x) = g(f(x)) F’(x ) = g’(f(x ))∙f’(x )
Integrali
∫ cos x dx = senx + c
∫ sen x dx = –cosx + c
∫ dx = x + c1
∫ dx = log|x| +cx 'f ( x )∫ dx =
Il testo formattato con i tag HTML è il seguente:log|f(x)| + cf(x)1 1∫ −dx = +c2 xx 1∫ dx = arctgx + c+ 21 x α + 1x∫ α αx dx = +c se ≠ -1α + 11∫ dx = tgx + c2cos xdx∫ = log|x+1| + c+x 1∫ xe dx x= e + c∫ log x dx = x(logx – 1) + cdx x∫ =log∣tan ∣csin x 2dx 2x pigreco∫ =log∣tan ∣ccos x 4∫ ∫ c2cos x dx=2 cos x dx=2 sin x 3x∫ ∫ ∫2 2sin dx cxx dx= sin x x dx=−cos x 31∫ ∫ log log x dx= x log x− x dx=x x−1cx∫ −1x x x1e ce dx=log1e∫ −1 x log x dx=log∣log x∣cdx 1 x∫ = +artg c+2 2 a ax a −dx 1 x a∫ = +log | | c+−2 2 2 a x ax a1∫ dt=log1t1tx ∫ 2 2=− −xa 2 2−a x
Studio di funzione:
Dominio: ∀x∈R
razionale intera tutto il dominio
razionale fratta denominatore diverso da 0
≥
irrazionale se è pari, se è dispari, irrazionale fratta denominatore diverso da 0 e tutta la funzione segue la regola precedente ≥ 0 esponenziale a con la base +logaritmo con l'argomento positivo. Parità o Disparità della funzione: La funzione è pari quando . La funzione è dispari quando . Discontinuità: Asintoto verticale: la retta è asintoto verticale per se . Asintoti Orizzontali: è asintoto orizzontale per la funzione sef(x) → +∞ quando x → +∞
Derivata: Calcolare la derivata; gli zeri della derivata sono potenziali punti di max e min
Calcolare il segno della derivata per verificare se veramente i punti trovati precedentemente sono max o min e per vedere l'andamento della funzione, ovvero vedere se è crescente o decrescente
Derivata seconda: Calcolare la derivata seconda; studiarne il segno per vedere la concavità e la convessità o eventuali punti di flesso
Teorema di Rolle: Sia [a,b] un intervallo chiuso e limitato. Data f: [a,b] → R continua in [a,b] e derivabile in ]a,b[
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