Analisi Matematica - Formulario

⋅loga

x x

f(x) = a f’(x) = a

1

f(x) = logx f’(x) = x

1

f(x) = log|x| f’(x) = x '

f ( x )

f(x) =log|f(x)| f’(x) = f ( x )

f(x) = senx f’(x) = cosx

f(x) = cosx f’(x) = –senx

1 + 2

1 tg x

f(x) = tgx f’(x) = oppure

2

cos x

1

− − − 2

1 cot g x

f(x) = cotgx f’(x) = oppure

2

sen x

1

f(x) =arcsenx f’(x) = − 2

1 x

1

−

f(x) = arccosx f’(x) = − 2

1 x

1

f(x) = arctgx f’(x) = + 2

1 x

1

−

f(x) =arccotgx f’(x) = + 2

1 x 1

–1

f(x) = f (x) f’(x) = '

f ( x )

In generale :

F(x) = f(x)+g(x) F’(x ) = f’(x )+g’(x )

0 0 0

F(x) = f(x)∙g(x) F’(x ) =f(x )∙g’(x )+ f’(x )∙g(x )

0 0 0 0 0

⋅ − ⋅

' '

f ( x ) g ( x ) f ( x ) f ( x ) g ( x )

0 0 0 0

F(x) = F’(x) = 2

g ( x ) [ g ( x )]

0

1

g(x) g(x)

F(x) = [f(x)] F’(x) =[f(x)] ∙[g(x)∙ ∙f’(x) + g’(x)∙logf(x)]

f ( x )

F(x) = (g°f)(x) = g(f(x)) F’(x ) = g’(f(x ))∙f’(x )

0 0 0

Integrali

∫ cos x dx = senx + c

∫ sen x dx = –cosx + c

∫ dx = x + c

1

∫ dx = log|x| +c

x '

f ( x )

∫ dx = log|f(x)| + c

f ( x )

1 1

∫ −

dx = +c

2 x

x 1

∫ dx = arctgx + c

+ 2

1 x α + 1

x

∫ α α

x dx = +c se ≠ -1

α + 1

1

∫ dx = tgx + c

2

cos x

dx

∫ = log|x+1| + c

+

x 1

∫ x

e dx x

= e + c

∫ log x dx = x(logx – 1) + c

dx x

∫ =log∣tan ∣c

sin x 2

dx 2x pigreco

∫ =log∣tan ∣c

cos x 4

∫ ∫

   c

2cos x dx=2 cos x dx=2 sin x 3

x

∫ ∫ ∫

2 2

sin   dx  c

xx dx= sin x x dx=−cos x 3

1

∫ ∫

  log 

log x dx= x log x− x dx=x x−1c

x

∫ −1

x x x

1e  c

e dx=log1e

∫ −1

 x log x dx=log∣log x∣c

dx 1 x

∫ = +

artg c

+

2 2 a a

x a −

dx 1 x a

∫ = +

log | | c

+

−

2 2 2 a x a

x a

1

∫ 

dt=log1t

1t

x 

∫ 2 2

=− −x

a

 2 2

−

a x

Studio di funzione:

Dominio: ∀x∈R

razionale intera tutto il dominio

razionale fratta denominatore diverso da 0

≥ ∀x∈R

irrazionale se n è pari x 0 se n è dispari

n x

irrazionale fratta denominatore diverso da 0 e tutta la funzione segue la regola

precedente

≥0 ∀x∈R

x

esponenziale a con la base a ∀x∈R +

logaritmo con l’argomento positivo

Parità o Disparità della funzione

La funzione è pari quando f(-x) = f(x)

La funzione è dispari quando f(-x) = -f(x)

Discontinuità

Asintoto verticale la retta x = x è asintoto verticale per f se

0

= ± ∞

Lim f ( x )

+

→

x x

0 = ± ∞

Lim f ( x )

−

→

x x 0

Asintoti Orizzontali y = l è asintoto orizzontale per la funzione se

=

Lim f ( x ) l

→ + ∞

x =

Lim f ( x ) l

→ − ∞

x

Asintoti Obliqui è una retta di equazione y = m∙x+n

− ⋅ − =

Lim [ f ( x ) m x n ] 0

→ + ∞

x − ⋅ − =

Lim [ f ( x ) m x n ] 0

→ − ∞

x f ( x )

=

m Lim

Inoltre: x

→ + ∞

x

= − ⋅

n Lim [ f ( x ) m x ]

→ + ∞

x

Derivata:

Calcolare la derivata; gli zeri della derivata sono potenziali punti di max e min

Calcolare il segno della derivata per verificare se veramente i punti trovati precedentemente

sono max o min e per vedere l’andamento della funzione, ovvero vedere se è crescente o

decrescente

Derivata seconda:

Calcolare la derivata seconda; studiarne il segno per vedere la concavità e la convessità o

eventuali punti di flesso

Teorema di Rolle

Sia [a,b] un intervallo chiuso e limitato

Data f: [a,b]→R continua in [a,b] e derivabile in ]a,b[

α∈]a,b[

Se f(a) = f(b) allora esiste un punto tale che f’(α) =0

Verificare se la funzione in questione è continua e calcolare la derivabile

Calcolare f(a) e f(b) e vedere se sono uguali α

Se sì porre la derivata = 0 e trovare il punto

Teorema di esistenza degli zeri

Data f: [a,b]→R con f continua in tutto l’intervallo [a,b],

tale che agli estremi dell’intervallo assuma valori discordi ovvero f(a)∙f(b) <0

Allora esiste un c∈ ]a,b[ : f(c) =0

Continuità e Derivabilità

Una funzione è continua quando esiste finito il limite destro e il limite sinistro. Il valore fra loro è

uguale ed è uguale al valore che la funzione assume in quel punto

Derivabile quando il limite del rapporto incrementale da destra è uguale al limite del rapporto

incrementale da sinistra ed il valore è un valore finitessa

Stolz-Cesaro ( solo per le successioni):

Date due successioni (a ) e (b ) con (b ) strettamente monotona

n n n

= = = ± ∞

Lim a Lim b 0 Lim b

se oppure

n n n

→ + ∞ → + ∞ → + ∞

n n n

 

−

a a

 

−

n n 1

e se è regolare

 

−

b b

 

−

n n 1

     

−

a a a a

     

−

n n n n 1

Lim Lim

allora anche è regolare e =

     

−

b b b b

→ + ∞ → + ∞

     

n n −

n n n n 1

(è utile per la risoluzione di limiti di successioni che danno come risultato forme indeterminate del

∞

0

tipo o )

∞

0

Conseguenze del teorema: + + + +

a a a a

 −

1 2 n 1 n

- (a ) successione regolare, anche la successione è regolare e

n n

+ + + +

a a a a

 =

−

1 2 n 1 n

Lim Lim a n

n

→ + ∞ → + ∞

n n

- Se (a ) è una successione regolare di numeri positivi (cioè a >0) anche la successione

n n

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

Lim a a a a Lim a

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 

n

a a a a è regolare e



n −

1 2 n 1 n n

−

1 2 n 1 n → + ∞ → + ∞

n n

- Se (a ) è una successione di numeri positivi (a >0)

n n