Analisi e geometria 1 - teoria e Formulario

Funzioni:

Iniettiva:

f: A → B è iniettiva se elementi distinti di A hanno immagini distinte di B, ossia a ≠ a' → f(a) ≠ f(a'); se f(a) = f(a') → a = a'

Surgettiva:

f: A → B una funzione

Im(f) = {b ∈ B | ∃ a ∈ A t.c. f(a) = b}

f è surgettiva se B = Im(f)

Iniettibile:

Sia f: A → B una funzione, f è iniettibile se, e solo se, ∃ B → A (inversa di f) t.c. g○f = Id_A e f○g = Id_B

Dim: Ip: ∃ g: B → A t.c. g○f = Id_A e f○g = Id_B

Tesi: f è iniettiva e surgettiva

f(a) = f(a') → ∃ b → g(f(a₁)) = (g○f)(a) =

Id_A(a) = Id_A(a') quindi f è iniettiva.

∃ b ∈ B → ∃ a ∈ A t.c. f(a) = b: b = Id_B(b) = (f○g)(b) =

Im(f) → B = Im(f) → B quindi f è surgettiva

Dim: Ip: f è iniettiva e surgettiva

Tesi: ∃ g: B → A t.c. g○f = Id_A e f○g = Id_B

∀ b ∈ B ∃ a ∈ A t.c. f(a) = b

a ≠ a' → f(a) ≠ f(a')

R = {(b,a) ∈ B×A | b¹a ⊂ B×A è una funzione g: B → A

f(a_i) = b ⇔ g(b) = b ∀ b ∈ B d f ○g = Id_B

g(f(a)) = a → g○f = Id_A

Teorema Buon Ordinamento:

Sia E ⊂ N, E ≠ ∅ , esiste un unico elemento e ∈ E t.c. e ≤ x ∀ x ∈ E (e = minE)

Dim: E ≠ ∅ → ∃ a ∈ E

∃ e ∈ E t.c. x < a

e È A ∀ x ∈ E

e = a

Coefficiente Binomiale:

(ⁿ_k) = ^n!⁄_k!(n-k)!

Principio d'Induzione

Sia F = N\Ε

se N ed Ε sono lo stesso insieme allora F = ∅

Sia F ≠ ∅ allora

1. 1_Ε t.c.
2. n_Ε p_Ε, allora d(p)_Ε

Dim: Sia F =

Insiemu

Sia X _R un sottoinsieme dei numeri reali non vuoto. X si dice limitato superiormente se esiste Y e R che verifica X y ⟹ Y e X. Allo stesso modo, X si dice limitato inferiormente se esiste Z e R che verifica che verifica X z per ogni x e X. X è limitato, se è limitato sia inferiormente sia superiormente.

• Se X e R e non vuoto e limitato superiormente, esiste un unico numero reale e' che verifica queste 2 proprietà:
  1. xe' per ogni x e X;
  2. Z e y e R, z < x _c.t.c. ε_-e'_xe'

Dim: Seiano maggioranti di X, X è limitato superiormente.

A e B sono non vuoto, e dato che X non è vuoto, l'insieme è ^e'.

• Si dice che X hatassimo Se sup X, e si pone max X = Sup X,Analogamente se inf X ε, alloa min ^X_=γinfX.

Teorema della Permanenza del Segno

Se _{n → + ∞} esiste ed è positivo, allora ∃ &overline;m ∈ N | S_n > 0 ∀ n > m

Supponiamo che _{n → + ∞} = L con L > 0

• ∀ε > 0 ∃ m ∈ N | ⇔ ∀ n > m₁, m ∈ Dom(s)
• Scegliamo ε = l
• ∃ &overline;m | 0 < S_n < 2l ∀ n > m₁, m ∈ Dom(s)

Teorema del Confronto

Siano ∑ a_n, ∑ b_n, ∑ c_n definite su D ∈ N

Supponiamo che a_n ≤ b_n ≤ c_n ∀ n ∈ D

Allora:

1. Se _{n → + ∞} = _{n → + ∞} = l ∈ R, anche _{n → + ∞} = l
2. Se _{n → + ∞} = + ∞, allora _{n → + ∞} = + ∞
3. Se _{n → + ∞} = -∞, allora _{n → + ∞} = -∞

Dim caso 1)

Ipotesi: _{n → + ∞} = l_{n → + ∞}

• ∀ ε > 0 ∃ m ∈ N | l - ε < c_n < l + ε ∀ n > m₁, m ∈ D
• ∀ ε > 0 ∃ m ∈ N | l - ε < a_n < l + ε ∀ n > m₂, m ∈ D
• Tesi:∀ ε > 0 ∃ m ∈ N | l - ε < b_n < l + ε ∀ n > m, m ∈ D
• ∃ m₁ ∈ N | l - ε > a_n < l + ε ∀ n > m, m ∈ D
• ∃ m₂ ∈ N l - ε > a_n < l + ε ∀ n > m₂, m ∈ D
• m ∋ max {m₂, m₂}
• ∀ n > m | a_n < b_n < c_n < l + ε ∈ D

Teorema Regolarità Successioni Monotone

Successione crescente: m < m ⇒ S_m < S_m

Successione decrescente: m < m ⇒ S_m > S_m

Tesi:&sub>n → + ∞ S_m = l con l = sup { S_{m / m ∈ D }}

l - sup { S_{m ∈ D }}

1. S_m ≤ l ⇓ ∀ ε > 0
2. ∀ε > 0 ∃ m ∈ D l - ε < S_m < l + ε ∀ n > m ∈ D
3. Quindi se solo S_m < 0
4. ε - ε ≤ S_m ∈ D l ≤ S_m
5. Se prendo m_n allora S_n < l - ε

La definizione di limite è vera per m_n - 1

Criterio Della Radice

Sia Σ_m a_m serie a termini non negativi. Se esiste il limite

lim^{n → +∞} a_n^1/n = l

• Se l < 1 la serie converge
• Se l > 1 la serie diverge
• Se l = 1 nulla si può concludere

Dim:

Ip: a_m^1/n > t_m

a_m ≤ K con K∈ (0,1)

Tesi: Σ a_m converge

a_m ≤ k^m, Σ k^m converge ∴Σ a_m converge

Criterio Del Rapporto

Sia Σ a_m serie a termini non negativi. Se esiste il limite

lim^{n → +∞} a_n+1 / a_n = l

Allora:

• Se l < 1 la serie è convergente
• Se l > 1 la serie è divergente
• Se l = 1 nulla si può concludere

Dim:

Ip: ∃K ε (0,1) c.t.c. a_m+1 ≤ K a_m ∀m a_m>0 ∀m

Tesi: Σ a_m converge

con criterio CONFRONTO:

Q₁ ≤ K a₁

m=2:Q₂ ≤ K₂ a₁ ≤ K₂ a₁ = k² a₁

m=3: Q₃ ≤ K₃ a₁ ≤ K₃ a₁ = k³ a₁

a_m+1 ≤ K^m Q₁ ∀m

a_m ≤ K^m-1 Q₁

Σ a₁ k^m-1 ha lo stesso carattere di Σ k^m-1 (Serie Geomet)$

Serie convergente perché K∈ (0,1) ⇒ Σ a_m converge

Serie Assolutamente Convergenti

Una serie di Σ a_m si dice assolutamente convergente se la serie (a termini non negativi) Σ |a_m| converge. Se una serie è assolutamente convergente allora è convergente, non il contrario

Dim:

Tramite criterio CAUCHY e proprieta:

|a_{n + t} - a_{m + t}| ≤ |a_n| + |a_m|

|a_m+1+ ... + a_m+k| ≤ |a_m+1| + ... + |a_m+k|

Σ |a_m| assolutamente converge

Ipotesi: Σ |a_m converg Σ |a_m| converge

∀ ε>0 ∃ m ε |a_m|/1_m - k| ≤ ε ∀m ε K εN

(valore CAUCHY per serie in valore assoluto) = Σ m |a_m|

|a_{m + ... + am+k| ≤ ε∀ m ε K ε N}

OSSIA rislvere CVCHY per Σa_m