Analisi e geometria 1 - teoria e Formulario

Funzioni

Iniettiva

f: A → B è iniettiva se elementi distinti di A hanno immagini distinte di B, ossia a ≠ a' ⇒ f(a) ≠ f(a'); se f(a) = f(a') ⇒ a = a'.

Suriettiva

f: A → B è una funzione

Im(f) = {b ∈ B / ∃ a ∈ A t.c. f(a₂) = b₃} f è suriettiva se B = Im(f).

Invertibile

Sia f: A → B una funzione, f è invertibile se, e solo se, ∃: B→A (inversa di f) t.c. g∘f = Idₐ e f∘g = Id₆.

Dimostrazione: Ip: ∃ g: B→A t.c. g∘f = Idₐ e f∘g = Id₆

Tesi: f è iniettiva e suriettiva.

f(a) = f(a') ⇒ ∀b ∈ B g(f(a)) = g(f(a')) ⇒ (g∘f)(a) = (g∘f)(a') ⇒ Idₐ(a) = Idₐ(a') ⇒ a = a' quindi è iniettiva.

∀b₆ ∈ B ∃ a ∈ A t.c. f(a) = b; b = Id₆(b) = (f∘g)(b) = f(g(b)) ⇒b ∈ Im(f) ⇒ Im(f) = B quindi f è suriettiva.

Dim: Ip: f è iniettiva e suriettiva.

Tesi: ∃ g: B→A t.c. g∘f = Idₐ e f∘g = Id₆.

∀b ∈ B ∃ a ∈ A t.c. f(a) = b {_{in sintesi metto un ! accanto ad a}} a = a' ⇒ f(a) = b ⇔ f(a').

R = {⟨b, c ⟩ ∈ B×A t.c. b ∈ B×A è una funzione g: B→A f(g(b)) = g(f(a)) = a (f∘g)(b) = b ∀b ∈ B ⇒ f∘g = Id₆ ∀a ∈ A (g∘f)(a) = a ⇒ g∘f = Idₐ.

Teorema buon ordinamento

Sia E ⊂ N, E ≠ ∅, esiste un unico elemento e ∈ E t.c. e ≤ x ∀ x ∈ E (e = minE)

Dim: E ≠ ∅ ⇒ ∃ a ∈ E a ∈ E ⇒ x^µ ∉ x ∈ E e = a ∃ x ∈ E t.c. x. Basta un numero finito di verifiche per trovare e^α ∈ E ≤ x ∀ x ∈ E.

Coefficiente binomiale

^(θ) = ^a!/_b!(a-b)!

Funzioni

Iniettiva

f: A → B è iniettiva se elementi distinti di A hanno immagini distinte di B, ossia a ≠ a' → f(a) ≠ f(a'); se f(a) = f(a') → a = a'.

Suriettiva

f: A → B è una funzione Im(f) = {b ∈ B/∃ a ∈ A t.c. f(a) = b} f è suriettiva se B = Im(f).

Invertibile

Sia f: A → B una funzione, f è invertibile se, e solo se, ∃: B → A (inversa di f) t.c. g&of;f = Id_A e f&of;g = Id_B.

Dim: Ip: ∃ g: B → A t.c. g&of;f = Id_A e f&of;g = Id_B

Tesi: f è iniettiva e suriettiva.

f(a) = f(a') → b ∈ B → g(f(a₁)) = g(f(a₁)) → (g&of;f)(a) = (g&of;f)(a') → Id_A (a) = Id_A (a') → quindi è iniettiva.

b∈B → ∃ a∈A t.c. f(a) = b; b = Id_B (b) = (f&of;g)(b) = f(g(b)) → b ∈ Im(f) = B → quindi f è suriettiva.

Dim: Ip: f è iniettiva e suriettiva.

Tesi: ∃ g: B→A t.c. g&of;f = Id_A e f&of;g=Id_B

∀b ∈ B → ∃ a ∈ A t.c. f(a)=ba ≠ a' → b(a)' = f(a₂)

R: {b₁(a) = b₂ → b₁ = b ∧ b ⊂ A è una funzione g: B→A f(a)x ∈ f(a) = b = g(b)b → ∀ b∈B → f&of;g=Id_B f^-1(a)x ∈ (g&of;f)(a) = a → g&of;f=Id_A

Teorema buon ordinamento

Sia E ⊂ N, E ≠ ∅, esiste un unico elemento e ∈ E t.c. e &lxe; ∀x∈E (e=minE)

Dim: E ≠ ∅ → ∃ a ∈ Ex ∈ E → x &lxe; a ∈ E ∀a∈x ∈ E∃x ∈ E t.c. x &lxe; x₀ basta un numero finito di verifiche per trovare e∈E&lxe;∀x∈E →

Coefficiente binomiale

C^{a}_{b} = ^a!⁄_b!(a-b)!

Principio d'induzione

E S N, E ≠ Ø t.c.

1. 1 ∈ E
2. p ∈ E, allora d(p) ∈ E

Dim: Sia F = N \ E Se N e E sono lo stesso insieme allora F = Ø. Sia F ≠ Ø allora 1 ∈ E t.c. f := min(F) → buon ordinamento 1 ∉ F perché 1 ∈ E (f = N \ E) Dato che 1 ∈ E e 1 ∉ F, non può essere f (minimo di F) ∀ f min(F) ∈ Ff - 1 ∈ t.c. (f - 1) f - 1 appartiene a E o F? f - 1 appartiene a E perché f è il minimo di F e f - 1 è minore di f (impossibile) Quindi: f ∈ (f - 1) c.c. (f - 1) ∉ F => f - 1 ∈ E ⇒ d(f - 1) ∈ E e f ∈ E Impossibile, quindi non c'è un minimo. L'unico insieme di N senza minimi è l'insieme Ø senza elemento a N ed E sono uguali.

Insiemi

Sia X ⊆ R un sottoinsieme di numeri reali non vuoto. X si dice limitato superiormente se esiste y ∈ R che verifica x ≤ y ∀ x ∈ X. Allo stesso modo, X si dice limitato inferiormente se esiste z ∈ R che verifica x ≥ z ∀ x ∈ X. X è limitato se è limitato sia inferiormente sia superiormente. Se X ⊆ R, è non vuoto e limitato superiormente, esiste un unico numero reale e' che verifica queste 2 proprietà:

1. x ≤ e' per ogni x ∈ X;
2. ∀ e'0 > e' ∃ x ∈ X t.c. e' - e'0

Dim: Sia B := {y ∈ R | ∀ x ∈ X y >= x ∈ X}, essi sono maggioranti di X. X è limitato superioremente, quindi B non è v.