Analisi e Geometria 1 - Equazioni differenziali, problemi di Cauchy

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

La soluzione è una funzione:

t → x(t)

• Consente alcune derivate di x

• _dx / _dt → x^'(t)
• _d²x / _dt² → x^''(t)

F(t, x(t), x^'(t), ..., x⁽ⁿ⁾(t)) = 0   ∀ t ∈ I ⊂ ℝ

dove F è una funzione di (n+1) variabili

e n (massimo ordine di derivazione) è detto ordine dell'equazione.

1. Equazione di Newton

   → Accellerazione

   m x^''(t) = f(x(t))

   t ∈ I = (t₁, t₂)

   • → Intervallo di tempo

   f: ℝ → ℝ Forza

   p(x) ∈ ℝ

   x(t) = posizione del tempo

   ∀ t ∈ I

   Equazione di secondo ordine

   → MECE punto x ∈ ℝ

2. Modello sviluppo popolazioni (Malthus)

   ℝ = t → N(t) Numero Individui

   al tempo t

   λ = Tasso di crescita per unità di tempo e individui

   λ × N(t) = Numero nati nell'intervallo (t, t+Δt)

   • (più sono gli individui → più tende a crescere la popolazione)

   μ = Tasso decrescente per unità di tempo e individui

   μ × N(t) = Numero decessi nell'intervallo di tempo (t, t+Δt)

N (t + τ) - N (t) - VARIAZIONI n° INDIVIDUI (in (t, t + τ))

- λ N(t) τ - μ N(t) τ EQUAZIONE DINAMICA

N (t + τ) - N (t) - (λ - μ) N(t) VARIAZIONE

lim_τ→0

Δ N(t) / τ - DERIVATA

(λ - μ) N(t) PRIMA

Ň = (λ - μ) N - EQ DIFFERENZIALE del 1° ORDINE a COEFF. COSTANTI.

Dipende

dalla DIFFERENZA

tra TASSI di

CRESCITA e DECRESCITA.

Ň = (λ - μ) N

N(t₀) = N₀ CONDIZIONI INIZIALI

NUMERO

di INDIVIDUI

in t₀

ES un esempio di PROBLEMA di CAUCHY

PROBLEMA di CAUCHY

F(t, ẋ(t), ẍ(t), ..., x⁽ⁿ⁾(t)) = 0

x(t₀) = x₀ ∈ ℝ

ẋ(t₀) ) = x₀ ∈ ℝ

∀ t ∈ I ⊆ ℝ

x^(m-1)(t₀) = x₀^(m-1)∈ℝ

dove x₀, x₀, ẋ₀, ..., x₀^(n-1) ∈ ℝ valori iniziali assegnati.

EQ NEWTON m ẍ = f (x, ẋ)

POSIZIONE

VELOCITA

x(t₀) = x₀ → POSIZIONE iniz.

ẋ(t₀) = ẋ₀ → VELOCITA iniz.

le DOMINIO

FUNZIONE INTEGRALE

t |→ _{t - a x + c e^-A}

f = ẋ + ax = c e^-A f e^+A

C è PRIMITIVA

ai: f e^t+A

Se INDICHIAMO con f e^A una PRIMITIVA di f e^A

x = ∫ (f e^A) e^-A

La SOLUZIONE di CAUCHY

{ ẋ + ax - f

x(t₀) = t₀

e quindi X(t) = e _^t