Analisi e Geometria 1 - Equazioni differenziali, problemi di Cauchy

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

La SOLUZIONE è una FUNZIONE

^{t |-> x(t)}

• contiene alcune derivate di x
• ^dx
• ^dt
• ^d2x
• ^dt2

F(t, x(t), x'(t), ..., x⁽ⁿ⁾(t)) = 0

∀t ∈ I⊆ℝ

dove F è una FUNZIONE di (n+1) VARIABILI

e n (MASSIMO ORDINE di DERIVAZIONE) è detto ORDINE

dell’equazione.

1. EQUAZIONE di NEWTON

-> accelerazione

mx¨(t) = F(x(t))

t ∈ I = (t₁, t₂)

• F: ℝ -> ℝ FORZA
• F(x) ∈ ℝ

x(t) = POSIZIONE

del TEMPO

2. MODELLO SVILUPPO POPOLAZIONI (MALTHUS)

ℝ = t -> N(t)

NUMERO INDIVIDUI

al tempo t

λ = TASSO di CRESCITA per unità di tempo e individui

λ ∼ N(t) = NUMERO NATI nell'INTERVALLO

(t, t+τ)

μ = TASSO DECRESCENTE per unità di tempo e individui

μ ∼ N(t) = NUMERO DECESSI nell' intervallo di tempo

(t, t+τ)

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

La soluzione è una funzione t → x(t)

• x = convoglie alcune derivate di x
• ^dx⁄_dt - x'(t)
• d²x⁄dt²

F(t, x(t), x'(t),..., x⁽ⁿ⁾(t)) = 0    ∀ t ∈ I ⊂ ℜ

dove F è una funzione di n+1 variabili

e n (massimo ordine di derivazione) è detto ordine dell'equazione.

1. EQUAZIONE DI NEWTON

• m &ddot;x(t) = p(x(t))
• ϵ = accelerazione
• t ∈ I = (t_a, t_b)

        R → ℜ

F(x) ∈ ℜ

p(x) ∈ ℜ forza

INTERVALLO       x = posizione

DI TEMPO       EQUAZIONE DI

EQUAZIONE DI SECONDO ORDINE

2. MODELLO SVILUPPO POPOLAZIONI (MALTHUS)

R = t → N(t) NUMERO INDIVIDUI

           AL TEMPO t

λ = TASSO DI CRESCITA PER UNITA' DI TEMPO e INDIVIDUI

λ ∈ N(t_i) = NUMERO NATI NELL'INTERVALLO (t_i, t+Δt)

(PIU' SONO GLI INDIVIDUI e PIU' TENDE A CRESCERE LA POPOLAZIONE)

μ = TASSO DECRESCENTE PER UNITA' DI TEMPO e INDIVIDUI

μ ∈ N(t) = NUMERO DECESSI NELL'INTERVALLO DI TEMPO

(t_i, t+Δt)

N (t + τ) - N (t)

VARIAZIONI N° INDIVIDUI IN (t, t + τ)

- λ τ N (t) - μ τ N (t)

EQUAZIONE DINAMICA

N (t + τ) - N (t) = (λ - μ) N (t)

N (t + τ) - N (t)

τ

lim

τ→0

=

Ṅ (t)

N (t)

(λ - μ) N (t)

1) RAPPORTO

INCREMENTALE

4) DERIVATA PRIMA

Ṅ = (λ - μ) N

EQ DIFFERENZIALE DEL 1° ORDINE

λ COEFF. COSTANTI

2) DIPENDE

dalla DIFFERENZA

tra TASSO di

CRESCITA e DECRESCITA.

3) Interessa la SOLUZIONE in un certo istante tₒ

Ṅ = (λ - μ) N

N(tₒ) = Nₒ

CONDIZIONI INIZIALI

3) NUMERO

di INDIVIDUI

in tₒ

è un esempio di PROBLEMA DI CAUCHY

PROBLEMA di CAUCHY

F (t, ẋ (t) ẍ (t) ... x⁽ⁿ⁾ (t)) = 0

x(tₒ) = xₒ

∈ ℝ

ẋ(tₒ) = ẋₒ

∈ ℝ

∀ t ∈ I ⊆ ℝ

x^(m-1) (tₒ) = x^(m-1)ₒ ∈ ℝ

dove xₒ, ẋₒ, ẍₒ, ... x^(m-1)ₒ ∈ ℝ valori iniziali assegnati.

EQ NEWTON: mẋ̇ = F (x, ẋ)

ẋ(tₒ) = ẋₒ VELOCITÀ INIZ.

x(tₒ) = xₒ POSIZIONE INIZ.

Conoscendo posizione velocità e campo di forze posso conoscere

c'è intera evoluzione temporale del sistema (passato

e futuro)

₁ Molteplici soluzioni dato che ogni rispetto ₂ condizioni iniziali.

INTEGRALE GENERALE

INTEGRALE GENERALE dell'eq F(t, x(t), ẋ(t), ..., x⁽ⁿ⁾(t)) = 0

= Formula che descrive tutte le soluzioni

- Superato da concetto di flusso

_(²) [ ^ĊN = (λ-μ)N

[ N(_t0) = N₀

N ≠ 0 ]

N ^ĊN = ^NN - (λ - μ)

N ^{d ln [N(t)]} → derivata

d_t N(t)

------------

N(t)

N(t)

------------ = λ - μ

N(_t0)

_∫^t d

_t0 d

d ln (N(t))

--------------- = _∫^t (λ - μ) dt

dt

Per il primo termine fondamentale del calcolo

[ em ^N(t) ]^t = - (λ-μ)(t-t₀)

  N(_t0)

em ^N(t)  | - (λ-μ)(t-t₀)

  N(_t0)

| N(t)

------ | = e^{(λ-μ)(t-t₀)}

N(t)

N(t) = N(_t0) e^{(λ-μ)(t-t₀)}

N₀ è sempre positivo → N(_t0)>0 → N(t)>0

N(_t0)≠0 → N(t)≠0

N(t) = N₀ e^{(λ-μ)(t-t₀)}

Soluzione del problema di Cauchy

VERIFICA

N(t) = N₀ e^{(λ-μ)(t-t₀)}

t = t₀ => N(t) = N₀ e^{(λ-μ)(t-t₀)} = No

        0

         -N₀

N(t) = N₀ e^{(λ-μ)(t-t₀)} => N(t) = (λ-μ) N(t) eq verificata =>

        (l'unica soluzione)

        PROBLEMA di CAUCHY

SENZA LE CONDIZIONI INIZIALI OTTENGO UNA FAMIGLIA

          INFINITA di SOLUZIONI - INTEGRALE GENERALE

EQ. DIFFERENZIALI 1° ORDINE LINEARI

x + ax = β        eq. completa

a, β: I ⇒ R

: I ⇒ R      SOLUZIONE

Se β = 0        + a = 0       è detta OMOGENEA

              _{in MECCANICA prima FORZA ESTERNA}

          (PROBLEMA di CAUCHY)

             ( + a = p)

           ((t₀) = x₀)

Se χ₁, χ₂ sono SOLUZIONI dell' EQ. COMPLETA

             χ₁ + aχ₁ = p ₂ + aχ₂ = p

Allora la DIFFERENZA z = χ₂ - χ₁ è SOLUZIONE dell' OMOGENEA

              z + az = 0

               eq. OMOGENEA ASSOCIATA

Infatti = (χ₂ - χ₁) :  ₂ - ₁ - qχ₁ + p(χ₂ + p)

                        _{TERMINE NOTORANTE}

                          - q (χ₂ - 0) = qz

                      SOLUZIONE dell' EQ. OMOGENEA ASSOCIATA.

Viceversa se χ₁ è SOLUZIONE COMPLETA χ₂ + aχ₂ = p

           c, z SOLUZIONE OMOGENEA χ₂ + az = p

Allora, χ₂ - ζ + ζ SOLUZIONE dell' EQ. COMPLETA

Infatti

\(\dot{x}_2 = (x_1 + z)'\) - \(\dot{x}_1 + \dot{z} = (-a x_1 + p) - a x_2\)

- \(p\overline{x_1 + z} + p = - a x_2 + p\)

cioè \(\dot{x}_2 + a x_2 = p\)

=> l'integrale generale di \(\dot{x} + a x = p\)

si ottiene dall'integrale generale dell'omogenea

\(x - a x = 0\) aggiungendo una soluzione particolare

dell'eq. completa

Integrale generale omogeneo \(\dot{x} + a x = 0\)

\(\frac{\dot{x}}{x} = -a\) -> \(a\) può essere una funzione

\(\frac{d}{dt} \left[\ln(x(t))\right] = -a\) \(\int_{t_0}^{t} \frac{d}{ds} \left[\ln(x(s))\right] ds = -\int^{t}_{t_0} a(s) ds\)

\(\ln\left[\frac{x(t)}{x(t_0)}\right] = -\int^t_{t_0} a(s) ds\) => \(x(t) = x(t_0) e^{-\int^t_{t_0} a(s) ds}\)

Integrale generale

\(x(t) = c\cdot e^{\int^t_{t_0} a(s) ds}\) \(c \in \mathbb{R}\)

Se \(A\) è una primitiva di \(a\) \(A' = a\)

\(x(t), c\cdot e^{-A(t)}\) \(c \in \mathbb{R}\)

\(1^e\) Problema di Cauchy

\(\left\{\begin{array}{l}x + a x = 0 \\x(t_0) = x_0\end{array}\right.\) Ha soluzione unica

\(x(t) - \int_{t_0}^{t} a(s) ds\)

= \(x_0 - (A(t) - A(t_0))\)

\(\otimes\) \(\dot{N} = (\lambda - \mu)N\) => \(\dot{N} - (\lambda - \mu)N = 0\)

\(a(t) = -(\lambda - \mu)\) -> \(N(t) = N_0 e^{\int^t_{t_0} [-(\lambda - \mu)] ds}\)

\(N(t) = N_0 e^{-(\lambda - \mu)(t-t_0)}\)

le DOMINIO I ≤ℝ della SOLUZIONE x è il DOMINIO della

FUNZIONE INTEGRALE

RICERCA SOLUZIONE dell' EQUAZIONE COMPLETA METODO di VARIAZIONI

x(t) = c(t) e^-A(t) dove A'^' = a

dove la funzione t ─→ c(t) deve essere scelta

in modo che:

ẋ + ax = p

ŋ

ẋ = ( ce^-A ) ^- ce^-A + ( e^-A )

ŋ

= c e^-A + c e^-A ( -A'^' )

ŋ DERIVATA

= c e^-A + c e^-A (-a) = -ax + c e^-A

ŋ DERIVATA

p = ẋ + ax = c e^-A ⇒ c = p_f e^A

C è PRIMITIVA a_f ❑ e^tA

Se INDICHIAMO con f_p e^A una PRIMITIVA ai f_p e^A

x = (∫ p_f e^A) e^-A

la SOLUZIONE di CAUCHY

∫ ẋ + ax = p

e quindi x(t) = e^{-∫_tot a(s) ds} ( x_o + ∫_to^t (p_f(ρ)e^A(ρ) ))

t(t_o) = te_o

Verifico che la FUNZIONE x(t) soddisfi C' EQ COMPLETA.

❑ CIRCUITO ELETTRICO

E = costante

p(t) = E / R C

a(t) = 1 / R C

U(t) = CADUTA di TENSIONE

ai CONDENSATORI

C R ẋ(t) + µ(t) = E

ẋ + 1 ( R C ) µ = E / R C

EQ LINEARE 1' ORDINE

∫_t0^t g è una primitiva di g

L'integrale generale di

ẋ + αx = β

α, β : I → R è dato da x(t) = ∫_α (c e^-αt + ∫_{e^-αξ fₓ}) c ∈ R Famiglia continua di funzioni

ẋ(t) = - α (c e^-αξ(c + [ce^-αt]α + e^-tα(f e^{-t∫ α}))x(t) = &alpha x = β

La soluzione del problema di Cauchy

x + αx - β x(t₀) = x₀ t₀ ∈ I fissi

x₀ ∈ R è data da

x(t) = e^{∫_t0t α(x) dα} (x_u + ∫_t0^t dρ(α)) e^{∫_t0t α(u)du}) = Estremo Superiore

Circuito RC

RC ẋ(t) + u(t) = É u(0) = μ₀ a(t), 1 RC &alpha(t) = β = RC i + u = É μ = E

μ(t) = e^-t/RC (μ₀ + ∫₀^td∂ e(s) e^{∫₀tdp(s) e-∫ e(t-t₀ / RC})

μ(t) - μ₀ e^-t/RC = e^-t/RC (∫₀^tdp(s)e^{-∫d(s)e(t-t₀)/RC} = É e^{const + μ₀ e-t/RC} É Transiente Convolvione e... Transiente

Σ somma dei contributi delle forzante moderata da (t-t₀) e RC

μ₀ e^-t/RC + É e^-t/RC e^-t/RC = -t₀ = μ₀ e^-t/RC + É (1-Me^-t/RC)Transiente

ESERCIZI

1) _E(_t)

• 1/_K for _e ∈ [_τ - _K/2, _τ + _K/2]
• 0 otherwise

Come si comporta per _K→ +∞

2) CIRCUITI RL

_LI + _RI = _EΘ - _ε0 sin_{(ωt) ω} ∈ ℝ - {0}

EQ. DIFFERENZIALI A VARIABILI SEPARABILI

_x(_t)^' = _a(_t)^σ _b(_x(_t)) _{σ ṡ} - _ab(_x)

_a ∈ C(_I) C ⊆ ℝ

_b ∈ C(_J) J ⊆ ℝ

• _ṡ = _ab(_x)
• _x(_t0) = _{x0 x0} ∈ J

SOLUZIONI STAZIONARIE (COSTANTI)

Se _x̄ ∈ J è uno zero di _b cioè _b(_x̄) = 0 allora _x(_t) = _{x̄ t} ∈ I è una soluzione corrispondente

alaca CONDIZIONE INIZIALE _x(_t0) = _x̄ ∀_t0 ∈ I

0 = _ǩ̇ (_t) _a(_t) _b(_x(_t)) - _a(_t)^* _b(_x̄) = 0

*^{perché costante}

Viceversa ogni SOLUZIONE STAZIONARIA è annidata ad uno zero

TEO.

Ogni PROBLEMA di CAUCHY per EE a VARIABILI SEPARABILI ammette una SOLA SOLUZIONE.

x: I¹ → IR definita in un apposito intervallo I¹ ⊂ I contenente la CONDIZIONE INIZIALE t₀ ∈ I.

x₁, x₂, ... (UNICITÀ LOCALE)

sono ZERI di b.

→ PIANO ripartito in STRISCE

↑ tutta 𝔠 equazione ← ↑(piano) dello SPAZIO delle FASI

dove x₁ e x₂ sono 0

↑ in una STRISCIA

← (se non fosse così) xi avrebbe un PROBLEMA di CAUCHY con due SOLUZIONI.

↑ TRAJETTORIE non si TOCCANO; → SPAZIO

↑ delle FASI.

DIAGRAMMA di FASE permette di :

costruire il FLUSSO

RICERCA delle SOLUZIONI NON STAZIONARIE

&profnotice;&plan{ r} ngar ppmj}

x(t) = a(t) b(x(t))

)