Analisi e Geometria 1 - Calcolo differenziale

Calcolo differenziale

y = mx + q Considero l'intorno di un punto → la curva si confonde con una retta.

Derivata

P: (a, b) → _R, X_o ∈ (a, b) P è derivabile in x_o se ∃ lim_x→x0 = ^{P(x) - P(x₀)}/_{x - xo} = lim_h→0 ^{P(x_o + h) - P(x_o)}/_h = P'(x_o) = ^dP/_dx(x_o) = ^dy/_dx(x_o)

Rapporto tra i cateti

tg α (x) = ^{P(x) - P(x_o)}/_{x - xo} → rapporto incrementale
A x_o x by la tangente è continua → e l'angolo tende verso un valore limite

Retta tangente

(x_o, P(x_o)) y = P'(x_o)(x - x_o) + P(x_o)
Se la funzione è derivabile la retta tangente è equazione che meglio approssima la curva in quel punto.

Espressione costante

ESP(x) = c ∈ _R costante
X_o ∈ _R
^{P(x) - P(x_o)}/_{x - xo} = ^{C - C}/_{x - xo} = 0 non cambia valore
P'(x_o) = 0 ∀ x_o ∈ _R

Calcolo differenziale approfondito

Derivata

p: (a, b) → _R x_o ∈ (a, b) p è derivabile in x_o se ∃ lim_{x → xo} = p(x+ h) - p(x_o) x - x_o = lim_{h → 0} h = p' (x_o) = dp(x_o) = dy dx(x_o) dx

Rapporto incrementale

Rapporto tra i cateti tg α(x) = ^{p(x) - p(x_o)} → rapporto incrementale x - x_o → p' (x_o)
La tangente è continua → l'angolo tende verso un valore limite

Retta tangente

x_o, p(x_o) y = p' (x_o)(x - x_o)+ p(x_o)
Se la funzione è derivabile la retta tangente è un'applicazione che meglio approssima la curva in quel punto.

• p(x) = c ∈ _R costante
  x_o ∈ _R
  ^{p(x) - p(x_o)} = ^{c - c} = 0 non cambia valore x - x_o x-x_o

p(x_o) = 0 ∀x_o ∈ _R

Esempi

(E1) P(x) = x x ∈ ℝ   ∀x₀ ∈ ℝ
P(x) - P(x₀) = ^{x − x₀}/_{x − x0} = 1 → 1
P'(x₀) = 1   ∀x₀ ∈ ℝ

(E2) P(x) = x² x ∈ ℝ
P(x) - P(x₀) = ^{x2 − x₀2}/_{x − x0} = ^{(x−x₀)(x+x₀)}/_{x − x0},   2x₀
P'(x₀) = 2x₀   cambia a seconda del punto

(E3) P(x) = sen x x ∈ ℝ
x₀ = 0
P(x) − P(0) = ^{senx − 0}/_{x − 0} = ^senx/_x   x→x₀,   1 = D sen(0)
x₀ ∈ ℝ^{sen x − sen x₀}/_{x − x0} = ^{sen(x₀+h) − sen x₀}/_h = ^{sen x₀ cosh + cos x₀ senh}/_h → 0
D sen(x₀) = cos x₀

Proprietà delle derivate

p e q entrambi derivabili in x₀

• (p+q)'(x₀) = p'(x₀)+q'(x₀)   Additività
• (cp)'(x₀) = c p'(x₀)   Omogeneità

Formula di Leibniz

Linearità ([p·q])'(x₀) = p'(x₀)q(x₀) + p(x₀)q'(x₀)

Dimostrazione

^{(Pg)(x) - (Pg)(x_o) x - x_o} = ^{p(x)g(x) - p(x_o)g(x_o) x - x_o}
Aggiungo e tolgo p(x_o)g(x) = ^{p(x)g(x) + p(x_o)g(x) - p(x_o)g(x) - p(x_o)g(x_o) x - x_o} = ^{p(x) - p(x_o)} g(x) + ^{g(x) - g(x_o)} p(x) = p'^I(x_o)g(x) + p(x_o)g'^I(x_o)
→ Derivabile e continua in x_o
Se una funzione è derivabile è anche continua
^{g(x) - g(x_o)} = g(x_o) _{x - xo} (x - x_o) per x → x_o
Moltiplico e divido per x - x_o
q(x) - g(x_o) = 0 → lim_x→xo q(x) = g(x_o)
Derivabile → Continua
La derivabilità costituisce un ulteriore elemento di regolarità di una funzione