Analisi e Geometria 1 - Calcolo differenziale

CALCOLO DIFFERENZIALE

y = mx + q

Considero un intorno di un punto → la curva si confonde con una retta.

DERIVATA

p: (a, b) → ℝ, X₀ ∈ (a, b)

p è derivabile in x₀ se

∃ lim_x→x0 ^{p(x) - p(x₀)}/_{x - x0} = lim_h→0 ^{p(x₀ + h) - p(x₀)}/h = p'(x₀) = d/dx p(x₀) = dy/dx (x₀)

RAPPORTO INCREMENTALE

RAPPORTO tra i CATETI

tg α (x₁) = ^{p(x) - p(x₀)}/_{x - x0} → RAP. INCREMENTALE

la tangente è CONTINUA → l’ANGOLO tende verso un

valore LIMITE

RETTA TANGENTE (x₀, p(x₀)) y = p'(x₀)(x - x₀) + p(x₀)

Se la funzione è DERIVABILE la RETTA TANGENTE è la

funzione che MEGLIO APPROSSIMA la CURVA in quel punto.

(ES) p(x) = c ∈ ℝ CONSTANTE

x₀ ∈ ℝ

^{p(x) - p(x₀)}/_{x - x0} = ^{c - c}/_{x - x0} = 0 → NON CAMBIA

p'(x₀) = 0 ∀x₀ ∈ ℝ

P(x) = x

x ∈ ℝ

∀x₀ ∈ ℝ

P(x) - P(x₀) / x - x₀ = x - x₀ / x - x₀ = 1 → 1

x → x₀

P'(x₀) = 1 ∀x₀ ∈ ℝ

P(x) = x² x ∈ ℝ

P(x) - P(x₀) / x - x₀ = x² - x₀² / x - x₀ = (x-x₀)(x+x₀) / x - x₀ = x + x₀ → 2x₀

x → x₀

P'(x₀) = 2x₀

Cambia a seconda del punto

P(x) = sen x

x ∈ ℝ

x₀ = 0

P(x) - P(0) / x - 0 = sen x - 0 / x - 0 = sen x / x →

x → x₀

1 = D sen(0)

x₀ ∈ ℝ

sen x - sen x₀ / x - x₀ = sen(x₀ + h) - sen x₀ / h = sen x₀ cos h - 1 / h + cos x₀ sen h / h → 0

h → 0

cos x₀ 0

cos h - 1 / h + cos x₀ sen h / h → 0

oppure

cos h - 1 / h = h/2

1/2 / h → 0 per h → 0

D sen(x₀) = cos x₀

Proprietà delle Derivate

f e g entrambe derivabili in x₀

1. (f + g)'(x₀) = f'(x₀) + g'(x₀) Additività ↳ deriva dalla proprietà dei limiti
2. (cf)'(x₀) = c f'(x₀) Omogeneità
3. Formula di Leibniz

(f · g)'(x₀) = f'(x₀) g(x₀) + f(x₀) g'(x₀)

Linearità

E₁

p(x) = x

p'(x) = 1

TANGENTE COINCIDE CON LA RETTA

NON ESISTONO ESTREMI

E₂

p(x) = |x|

p(0) = 0

PUNTO DI MINIMO ASSOLUTO

NON E DERIVABILE IN x = 0

(-) NON E APPLICABILE FERMAT

lim x→0⁺

p(x) - p(0)

x - 0

= lim x→0⁺

x

x

= 1

lim x→0⁻

p(x) - p(0)

x - 0

= -1

E₃

=> ∄ p'(x₀) in x₀ = 0

=> PUNTO ANGOLSO

p(x) = x³

p'(x) = 3x²

p'(0) = 0

{x = 0

y = 0

NON E UN ESTREMO

TEOREMA di LAGRANGE

f ∈ C([a, b]) derivabile in (a, b)

Allora

∃c ∈ (a, b) / p'(c) =

p(b) - p(a)

b - a

RETTA TANGENTE

|| alla f_AB

TANGENTE in c ∈ || alla RETTA

passante per (a, p(a)) e (b, p(b))

DIMOSTRAZIONE

Consideriamo la funzione g : [a, b] → ℝ

p(b) - p(a)

b - a

(x - a) + p(a) →

RETTA PASSANTE

per gli ESTREMI

COEFF. ANGOLARE

g ∈ C([a, b])

DERIVABILE e CONTINUA perché

POLINOMIO

MONOTONIA

0 < x < y → a_n (x) < a_n (y) ∀n ≥ 0

T. della PERMANENZA del SEGNO => a(x) ≤ a(y)

crescente su tutto ℝ

a(x) ≤ a(y) ⇒ a(x-y) = a(0)-1

= y = x STRETTAMENTE CRESCENTE

CONTINUITÀ

D(x)-1 = lim _{n → +∞} ( Σ _k=0ⁿ x^k/k! - 1 ) = lim _{n → +∞} Σ _k=1ⁿ x^k/k!

⇒ RACCOLGO x

lim _n→+∞ x Σ _k=1ⁿ x^k-1/k! = lim _n→+∞ Σ _k=0^n-1 x^k/(k+1)! ≤

≤ x lim _n→+∞ Σ _k=0^n-1 x^k/k!

= > 0 ≤ a(x)-1 ≤ x → a_n-1 (x) ≤ x a(x) ∀x ≥ 0

Sia 0 < x ≤ 1

⇒ lim _x→0 a(x)-a(0)=0

Policse x < 0

lim _x→0 1/a(-x) - 1 = a(0)

lim _y→x a(y)-a(x)/ = 0

y = x+(y-x)

= lim _y→x a(x+(y-x))-a(x)

= lim _y→x a(x) [a(y-x) -1] = 0 è CONTINUA ∀x ∈ ℝ

Teorema estremi di

P(x) = x³ − x

Lemma di Fermat → determinano i punti critici

P'(x) = 3x² − 1 = 0

x = ± √₃/3

AE massimo 2 punti estremaci

lim

x→−∞

(x³ − x) = −∞

lim

x→+∞

(x³ − x) = +∞

POLINOMIO → DERIVABILE

in ∀x∈IR

Test di monotonia

P(x) = |x| e^−x2

Funzione Gaussiana

P ∈ C(IR)

continua in IR

P è derivabile in x≠0

P(x) = { e^−x2 x > 0

−e^−x2 x < 0

P'(x) = { e^−x2 × (−2x) e^−x2 x > 0

e^−x2 × (−2x) e^−x2 x < 0

lim

x→0⁺

P'(x) = 1

lim

x→0⁻

P'(x) = −1

non è derivabile in x=0

P(x) = |x| per x>0

→ punto angoloso

x > 0

P'(x) > 0

() 1 − 2x ≥ 0

P(x) > 0 per 0 < x < √₂/2

x < 0

P'(x) ≥ 0

() 2x ≤ 1

P(x) > 0 per x < −√₂/2

Punto Angoloso

e^x =

p(x) = log(1+x)

x₀ = -1

p'(x) =

(1+x)^-1

p''(x) = (-1)(1+x)^-2

p^(k)(x) = (-1)(-2)(1+x)^-3

p^(k)(x) = (-1)^k-1 (k-1)! (1+k)^-k

← DERIVATA k - esima

log(1+x) = ∑_k=0ⁿ p^(k)(0) / k! x^k + R(x)

FORMULA di TAYLOR

p^(k)(0) = (-1)^k-1 (k-1)! 1! 1^-k k≥1

→ log(1+x) = ∑_k=1ⁿ (-1)^k-1 (k-1)! / k! x^k + R(x)

= ∑_k=1ⁿ (-1)^k-1 / k x^k + R(x)

La LOGARITMICA tende a 0 in modo meno rapido rispetto dell'ESPONENZIALE!

p(x) = sen x x₀ = 0

p'(x) = cos x

p''(x) = - sen x

p'''(x) = - cos x

p^iv(x) = sen x

PERIODICA di PERIODO 4

p(0) = 0 p'(0) = 1 p''(0) = 0 p'''(0) = -1 p^iv(0) = 0

p^(k)(0) = { k pari 0 k = 2ℓ+1 (-1)^ℓ }

T_n(x) = ∑_k=0ⁿ p^(k)(0) / k! x^k

Non ci sono potenze di ORDINE PARI di = 0

Se f è CONVESSA su (a, b) allora

le CORDE stanno al di sopra del grafico stesso.

• Definizione generale di CONVESSITÀ

P(x) = |x|

Non è derivabile nell'Origine.

1) Calcolare il POLINOMIO di TAYLOR

ORDINE 2 in x₀ = 0 di p(x) = cos (e^x - 1)

p'(x) = -sen (e^x - 1) e^x

p''(x) = -cos (e^x - 1) e^x ⋅ e^x - sen (e^x - 1) e^x

p(0) = 1

p'(0) = 0

p''(0) = -1

p(x) = 1 + ⁰⁄_1! + (-1) ^x2⁄_2! = 1 - ^x2⁄₂

1m ALTERNATIVA

t: e^x - 1 → 0 per x → 0

cos t = 1 - ^t2⁄₂ + o(t²) per t → 0

cos (e^x - 1) = 1 - ^{(ex - 1)2}⁄₂ + o((e^x - 1)²) x → 0

Ma e^x - 1 = x + o(x) perché e^x - 1 ∼ x

cos (e^x - 1) = 1 - ¹⁄₂ (x + o(x))² + o((x + o(x))²)

= 1 - ¹⁄₂ (x² + 2x o(x) + (o(x))²) + o (x²) + [o(x²)]

• PRODOTTO

= 1 - ¹⁄₂ (x² + o(x²) + o(x²)) + o(x²)

= o(x²)