Analisi Dimensionale: teoria

IDRAULICA

• IDROSTATICA → spinte e galleggianti
• IDRODINAMICA → correnti in pressione
• correnti a pelo libero

(A) ANALISI DIMENSIONALE

• CAMPO SCALARE: b(x,y,z,t) = b(x,t) = ...
• CAMPO VETTORIALE: b(x,t) = b_x(x,t)x_x + b_y(x,t)y_y + b_z(x,t)z_zb = |b_x b_y b_z| (es. campo d'acqua nelabricato)
• COMPONENTE NORMALE del CAMPO: b_m(x,t) = M_xb_x(x,t) + M_yb_y(x,t) + M_zb_z(x,t)

M = M_xx_x + M_yy_y + M_zz_z → vettore normale

TENSORE B =

[ B_xx B_xy B_xz ][ B_yx B_yy B_yz ][ B_zx B_zy B_zz ]

quando risulta B_ik = c Ȝ_ik

il tensore è ISOTROPO*

* TENSORE ISOTROPO = tensore le cui componenti restano invariate per una rotazione del sare

MATRICE IDENTITÀ:

I =[ 1 0 0 ][ 0 1 0 ][ 0 0 1 ]

MODULO O NORMA:

|b| = b = √³/√_k-4k_k = √(b_x² + b_y² + b_z²)

L'IDRAULICA è la scienza che studia il comportamento dei liquidi in particolare dell'acqua

• IDROSTATICA ➝ spinte e galleggianti
• IDRODINAMICA ➝ correnti in pressione
• correnti a pelo libero

A) ANALISI DIMENSIONALE

• CAMPO SCALARE: b(x,y,z,t) = b(x,t)
• CAMPO VETTORIALE: b(x,t) = b_x(x,t)x_x + b_y(x,t)y_y + b_z(x,t)z_z
• COMPONENTE NORMALE del CAMPO: bm(x,t) = M_xb_x(x,t) + M_yb_y(x,t) + M_zb_z(x,t)

M = M_xî_x + M_yŷ_y + M_zẑ_z ➝ versore normale

TENSORE B =

quando risulta B_ik = c ĝ_ik

il tensore è ISOTROPO*

*TENSORE ISOTROPO: tensore le cui componenti restano invariate per una rotazione del S.R.

MATRICE IDENTITA:

MODULO O NORMA: |b| = b = √( ^{b_x2 + b_y2 + b_z2}/_{k1 + k2 + k3} )

Prodotto scalare di vettori:

b · c = _k=1³∑ bk ck = bx cx + by cy + bz cz (prodotto componente a componente)

= || || cosθ

cos 90° = 0, sin 90° = 1

cos 0° = 1, sin 0° = 0

Prodotto vettoriale

x = vettore → modulo || = || || sinθ

direzione ⊥ al piano di

verso: regole della mano dx

x = (ax î + ay ĵ + az k̂) × (bx î + by ĵ + bz k̂) =

det || =

ay bz î - az by î + az bx ĵ - ax bz ĵ + ax by k̂ - ay bx k̂ =

(ay bz - az by) î + (az bx - ax bz) ĵ + (ax by - ay bx) k̂ =

cx î + cy ĵ + cz k̂

Operatore "Nabla":

= î + ĵ + k̂

Gradiente:

grad b = _k=1³∑ î = î + ĵ + k̂ = ∇b

Divergenza:

div b = _k=1³∑ î bx + by + bz ⟶

= b

(n.r. reale)

Rotore:

rot b = | î ĵ k̂ | = î || + ĵ || + k̂ || = ∇ x b

GRADIENTE:

∇f(x,y) = (f_x(x,y); f_y(x,y))

vettore che ha per componenti le derivate parziali nel punto considerato (x,y)

Il gradiente di f in un pt fornisce direzione e verso in cui cresce la funzione crescere piu rapidamente.

∇ funzione operatore che trasforma un campo vettoriale in un campo vettoriale.

DIVERGENZA:

scalare che misura la tendenza di un campo vettoriale a divergere o convergere verso un punto dello spazio.

È un operatore che trasforma un campo vettoriale in una funzione.

Mi dice quanto varia ma NON in che direzione.

ROTORE:

Il rotore del campo vettoriale è un campo vettoriale le cui componenti sono: * ∇ ×

Il rotore è un operatore che trasforma un campo vettoriale in un altro campo vettoriale.

(div B)_x (div B)_y (div B)_z = [ ∂ ∂ ∂ ] [ B_x B_xy B_xz ]

__________________________

∂x ∂y ∂z B_yx B_yy B_yzB_zx B_zy B_zz

Nel caso dei i campi siano di classe c⁴, valgono le relazioni:

grad (cb) = c grad b + (grad c)b

div (cb) = c div b + (grad c) . b

rot (cb) = c rot b + (grad c) ∧ b

ossia:

∇(cb) = c ∇b + (∇c)b

∇ · (cb) = c ∇ · b + (∇c) . b

∇ ∧ (cb) = c ∇ ∧ b + (∇c) ∧ b

E poi i campi sono di classe c², si ha:

rot grad b = ∇ ∧ ∇b = ∅

div rot b = ∇ . (∇ ∧ b) = ∅

e si può impiegare il laplaciano definito come:

∇²b = ∑_k=1^{3 ∂2b}/_∂xk² = ^∂2b/_∂x² + ^∂2b/_∂y² + ^∂2b/_∂z²

∇²b = ∑_k=1³ b_,kk = ix ∇²bx + iy ∇²by + iz ∇²bz

Si vede subito che:

∇²b = div grad b = ∇·∇b

∇²b = grad div b - rot rot b = ∇(∇·b) - ∇∧(∇∧b)

• Teorema di Gauss: ∫_V ^∂b_i/_∂xi dv = ∫_A b_ni dA
• Teorema del Gradiente: ∫_V grad b dv = ∫_A bm dA
• Teorema della Divergenza: ∫_V div b dv = ∫_A b_i·n dA
• Formula di Kelvin: ∫_A m·rot b dA = ∫_V b dℓ

Determinante matrice 2x2:

A = (_{a₁ b₁}/^{a₂ b₂})

det. A = a₁·b₂ - b₁·a₂

Determinante matrice 3x3:

A = (_{a₁ b₁ c₁}/^{a₂ b₂ c₂}/_{a₃ b₃ c₃})

det. A = a₁ (_{b₂ c₂}/^{b₃ c₃}) + (-b₁) (_{a₂ c₂}/^{a₃ c₃}) + c₁ (_{a₂ b₂}/^{a₃ b₃})

A2. GRANDEZZE e UNITÀ di MISURA

• Grandezze fondamentali → Grandezze derivate
• L lunghezza
• T tempo
• M massa
• θ temperatura

Meccanica dei continui - fluidi

A3. ANALISI DIMENSIONALE:

[G] = L^α T^β M^γ

1. eq fondamentale della dinamica F = ma = m dv/dt

[F] = M L T^-2 V.G. grandezza

• NUMERO PURO: rapporto tra due grandezze aventi le stesse dimensioni il suo valore non dipende dalle u.d.m

[N] = [M⁰ L⁰ T⁰] (eq. dimensionale di un numero puro)

2. π è un numero puro: rapporto tra una cfr e il suo cl

Tre grandezze A₁, A₂, A₃ si dicono dimensionalmente indipendenti quando:

≠ 0 il det. ≠ 0

[V L T]

10-1100011

= 0

queste grandezze NON sono dimensionalmente indipendenti

(es) accelerazionemassavelocità

det. A = 0det. A ≠ ϕ

TEOREMA di BUCKINGHAM o TEOREMA π^t:

(Th. fondamentale dell'analisi dimensionale)

• Assicura la riduzione del numero di variabili che appaiono mezzo riduzione tramite la definizione di una relazione equivalente tra m-j più ricchetti di parametri adimensionali.

Se una grandezza fisica X₁ dipende esclusivamente da m-1variabili “indipendenti X₂, X₃, …, X_m tramite una reazione dimen-sionale omogenea del tipo:

X₁ = φ₁ (X₂ X₃ … X_n)

questa può essere riscritta nella forma

φ₂ (X₁, X₂, X₃, …, X_n) = ϕ

Th ᵖᵗt assicura che se le m grandezze possono essere espressiin funzione di dimensioni fondamentali 0aderì, esiste unarelazione equivalente tra m-j parametri adimensionali πᵢ deltipo

F (π₁, π₂, π₃, …, π_m-j) = ϕ

Il modo più noto per determinare parametri adimensionaliciè il metodo delle variabili ripetute che comprende 6 fb(a.

(es) Pallino di cadì nel quota det. la LEGGE del MOTO

• z (t) = quota della pallina istante per istante
• v₀ = velocità iniziale z₀ = quota iniziale
• g = costante gravitazione Poso esprimere il problema con un numero variabili, apportando lo Th π

FASE 1:

Elencare i parametri del problema e contare il numero totale m

M=5, z può essere espressa come: z = f(t, _No, z_o, g)

FASE 2:

Elencare la dimensioni fondamentali di ciascuno degli m parametri

• [z] = [L]
• [t] = [T]
• [_No] = [L]^-1 [T]^-1
• [z_o] = [L]
• [g] = [L] [T]^-2

FASE 3:

Stima della riduzione

Grado di riduzione j uguale al numero di dimensioni fondamentali. I calcoli k = m - j gruppi di parametri adimensionali:

Nel problema ci sono 2 dimensioni fondamentali: [L,T] pertanto j = 2

k = m - j, 5 - 2 = 3

FASE 4:

Scegliere le j variabili ripetute

Essendo j = 2 → scegliere 2 variabili ripetute

• Escludere la variabile dipendente → z
• Escludere variabili che combinate fra loro possano formare gruppi adimensionali → z_o
• Scegliere le variabili ripetute
• Escludere le variabili adimensionali
• Escludere variabili aventi le stesse dimensioni fondamentali → z_o
• Minimizzare le costanti alle variabili
• Favorire le variabili più comuni
• Scegliere variabili semplici aventi una o due dimensioni fondamentali

In questo caso, _No e z_o

FASE 5 Determinazione dei parametri Π

I parametri Π sono dati dal prodotto delle variabili ripetute e di una delle variabili riferimenti del primo gruppo. Ad esempio il Π dipendente è contiene la variabile dipendente, per cui:

Π₁ = Z ⋅ l₀^a₁ ⋅ b₁

a₁, b₁ cost. da determinare

pongo a₀ = φ b₀ = φ a₀ = b₀

[Π₁] = [L⁰ T⁰] = [Z ⋅ l₀^a₁ ⋅ b₀^b₁] = [L¹ (L T^-2)^a₁ (L)^b₁]

Π₁ adimensionale

def:

"le dimensioni fondamentali sono indipendenti l'uno dalle altra" ⇒ posso uguagliare gli esponenti:

[L⁰] = l₀^a₁

[T⁰ = L T^-2]

φ = -1 + a₁ + b₁

b₁ = -1

Così ottengo Π₁ = Z / Z₀

Analogamente Π₂ (indipendente) è dato dal prodotto delle variabili ripetute con la variabile t:

Π₂ = t ⋅ l₀^a₂ ⋅ b₀^b₂

[Π₂] = [L⁰ T⁰] = [t ⋅ a₂ b₂ ]

0 = -1 a₂

a₂ = -1

0 = a₁ + b₂

b₂ = -1

Quindi risolvo: Π₂ = t ⋅ v₀ / Z₀

Analogamente Π₃ = g ⋅ l₀^a₃ ⋅ b₃^b₃

[Π₃] = [L⁰ T⁰] = [g ⋅ L T^-2 ⋅ l₀^a₃ l₀^b₃ ]

0 = -1 + 2 + b₃

b₃ = 1

0 = -2 a₃

a₃ = -2

Quindi risolvo: Π₃ = g ⋅ z₀ / V₀²