Analisi di scenario

Analisi di scenario

Regressione lineare e serie storiche

Università degli Studi di Urbino

A.A. 2011/2012

Indice

• La regressione lineare ..................................................................................... 2
• La stima del modello ..................................................................................... 3
• La previsione .................................................................................................. 9
• Gli errori di previsione ................................................................................. 10
• Le serie storiche ............................................................................................ 11
• Le serie non stazionarie ............................................................................... 12
• Esponenziale semplice ................................................................................ 13
• Modello di Holt ............................................................................................ 14
• Modello di Holt-Winters .............................................................................. 15
• Modello ARIMA ............................................................................................ 17
• Approfondimento: le medie mobili con il metodo dei OLS ..................... 20

La regressione lineare

Quando analizzo l’effetto causale di una variabile su un’altra variabile Xt, ricorro al seguente modello di regressione: Yt = β₀ + β₁xt + ε_t.

Yt = Variabile dipendente che descrive il fenomeno di interesse
β₀ = Intercetta
β₁ = Coefficiente angolare (o coefficiente di regressione) e rappresenta la variazione assoluta subita in media dal carattere Y per effetto di un aumento unitario del carattere X.
Xt = Variabile indipendente o esplicativa (causa)
ε_t = È una misura della nostra ignoranza

Con le seguenti ipotesi:

• Gli errori devono avere media uguale a zero.
• Nessuna correlazione tra Xt e ε_t.
• Gli errori non devono essere correlati nel tempo e si distribuiscono come una variabile casuale Normale.

I due parametri incogniti, β₀ e β₁, che stimo sulla base di dati campionari sono delle variabili casuali, con una propria media e varianza. Non sono dei valori certi, o esiste incertezza sul loro vero valore. Tuttavia siamo in grado di ottenere una stima di questa varianza e covarianza di β₀ e β₁. Queste statistiche possono essere utilizzate per verificare alcune ipotesi sul valore puntuale di β₁ (ad esempio, β₁ = 0), e per generare degli intervalli di confidenza intorno ai valori previsti di y al tempo T+1.

Il processo attraverso il quale si forma e viene formulata, e rivista, una previsione è costituito dalle seguenti fasi:

• Teoria e dati storici: Il punto di partenza è una teoria relativa a qualche fenomeno economico.
• Specificazione del modello: La teoria deve trovare una sua esplicitazione in un modello empirico. Se la teoria è formulata matematicamente, il modello empirico può essere ricavato direttamente dalle conclusioni della teoria.
• Stima del modello: Compito della fase di stima è ottenere valori per i coefficienti β₁ e β₂ sulla base di dati campionari e verificare che questi siano coerenti con quelli previsti dalla teoria. Inoltre, durante la fase di stima ci dobbiamo preoccupare di verificare altre ipotesi, spesso più tecniche, relative alla normalità della distribuzione degli errori e alla (assenza di) correlazione seriale tra gli stessi, alla dimensione degli errori di previsione all’interno del campione utilizzato per la stima.
• Previsione: Una volta conclusa positivamente la stima, il modello può essere utilizzato per effettuare previsioni. Diversamente, nel caso rilevassimo problemi con le stime (quali, ad esempio, la persistenza di autocorrelazione degli errori) è necessario intervenire sulla specificazione del modello introducendo (o togliendo) nuove variabili.

La stima del modello

A. Verificare la stazionarietà o meno delle serie

Come faccio a capire se una variabile è stazionaria o no? Esiste il test DH-Fuller:
H₀: la serie è non stazionaria (a=1)
H₁: la serie è stazionaria (a≠1)

Se il p-value è minore di 10, accetto l'ipotesi alternativa (la serie è stazionaria). Se il p-value è maggiore di 10, accetto l'ipotesi nulla (la serie è non stazionaria). Se la serie è non stazionaria, la rendo stazionaria con la differenza prima.

B. Ottenere dei valori per i coefficienti

Attraverso il metodo dei minimi quadrati (OLS), otteniamo valori statisticamente significativi per i coefficienti β₁ e β₂.

Strumenti:

• Test d’ipotesi sui parametri
• R²
• Test F, R² corretto, il criterio di Akaike, il criterio di Schwarz, il criterio di Hannan-Quinn e Log-verosimiglianza. Tra due modelli dobbiamo preferire quello con il valore Akaike, Schwarz e Hannan-Quinn più piccolo e Log-verosimiglianza, in valore assoluto, più piccolo.

In Gretl, i coefficienti stimati e alcune statistiche sono affiancati da degli asterischi. La loro presenza implica l’accettazione dell’ipotesi alternativa e il contemporaneo rifiuto dell’ipotesi nulla. È importante, quindi, avere sempre chiaro come queste due ipotesi sono formulate. Tipicamente, l’ipotesi nulla assume che un coefficiente sia uguale a 0, o che un certo fenomeno (autocorrelazione dei residui, stagionalità) sia assente. Il suo rifiuto implica l’accettazione dell’ipotesi alternativa che, ad esempio, il coefficiente sia diverso da 0.

Nel far questo è importante ricordare che questa decisione avviene assumendosi la probabilità di commettere un errore. La dimensione di questa probabilità è inversamente proporzionale al numero di asterischi. Tradizionalmente, nessun asterisco significa che la probabilità di commettere un errore è elevata, superiore al 10%, mentre un asterisco, due asterischi e tre asterischi implicano rispettivamente una probabilità inferiore al 10%, 5% e 1%. In generale, il valore di riferimento per il livello di probabilità di commettere un errore accettando l’ipotesi alternativa (o anche p-value) è il 5% o due asterischi, ma non è inusuale accettare l’ipotesi alternativa anche per livelli di probabilità del 10%. La presenza di asterischi non è sempre una cosa positiva (esempio test DW).

Test d’ipotesi sui parametri

Prima di tutto ho bisogno di conoscere H₀ (ipotesi nulla) e H₁ (ipotesi alternativa). Queste ipotesi sono fissate dal ricercatore e nella maggior parte dei casi l’ipotesi H₀ è del tipo β₁ = 0, mentre H₁ è del tipo β₁ ≠ 0.

Inoltre, ho bisogno di conoscere β₁ e Var(β₁) (oppure la sua radice quadrata, cioè l’errore standard di β₁). Infine, devo anche capire qual è la probabilità di commettere un Errore di tipo I, e la mia preferenza è che questo errore sia piccolo. Queste informazioni si trovano facilmente in Gretl.

Il test più comune si riferisce all’ipotesi H₀: β₁ = 0. In generale, un’ipotesi nulla è una dichiarazione di assenza dell’effetto di una variabile indipendente sulla variabile dipendente. È importante dichiarare o avere presente quale sia l’ “ipotesi nulla”. Mentre l’ipotesi alternativa è H₁: β₁ ≠ 0. Esiste una relazione tra la variabile x e la variabile y. H₀: β₁ = 0 (No, relazione tra x e Y), H₁: β₁ ≠ 0 (Si, relazione tra x e y).

Nella prova di ipotesi, la regola (criterio) di accettazione o di rifiuto deve essere determinata prima di esaminare i dati e deve essere accompagnata da un livello di significatività (o probabilità) che, convenzionalmente, è fissato al 5%. Il test statistico condotto su di un coefficiente stimato è tipicamente basato sulla distribuzione t di Student con n - 2 gradi di libertà (n è il numero di osservazioni e 2 il numero di parametri stimati). Si usa la distribuzione t di Student e non la Normale in quanto siamo costretti ad utilizzare una stima della varianza. La regione di rifiuto sarà data dai valori della statistica test superiori, in valore assoluto, a t_α/2. Inoltre, devo guardare al valore del p-value: minore è il p-value, più è forte l’evidenza contro l’ipotesi nulla.

Il test di ipotesi ha a che fare con il problema di rifiutare un’ipotesi anche quando questa sia invece vera (“Errore di tipo I”). Parallelamente, l’ipotesi nulla può essere accettata anche quando invece è falsa (“Errore di tipo II”).

R²

Una volta capiti quali coefficienti sono statisticamente significativi, un altro test per capire se la specificazione del modello è quella giusta è l’R² che può anche essere definito come R² = VS_y/VT_y, dove VS_y è la Varianza Spiegata di y, mentre VT_y è la Varianza Totale di y. R² è semplicemente una statistica descrittiva: in generale, a...