Analisi della varianza

Il grado di associazione che l'analisi della varianza permette di individuare si fonda sulle differenze tra le medie della variabile cardinale entro le categorie della variabile categoriale.

E' necessario ricordare che con l'ANOVA:

• Riusciamo ad individuare un tipo di relazione TENDENZIALE
• E' possibile comprendere la FORZA della relazione, ma non la sua direzione

Esempio di analisi della varianza:

Media di Y (Ȳ) = 26

Devianza totale di Y = 60

Medie interne ai gruppi della variabile categoriale:

MEDIA VOTOM (Y. ) = 24 F (Y. ) = 28

ASCHI EMMINEM FA livello individuale è possibile osservare che ...

(Y (Y (Y.-Y) -Y ) -Y)ij ij .j j

Scarto di un singolo Scarto di un singolo Scarto della media divalore dalla media = valore dalla media di + gruppo dalla mediagenerale gruppo generale

Esempio:

Voto (Y -Y) = (Y -Y ) + (Y. -Y)ij ij .j j

Pippo 25 -1 = 1 + -225-26 = 25-24 = 24-26 =

Alberto 24 -2 = 0 + -224-26 = 24-24 = 24-26 =

Gastone 22 -4 = -2 + -222-26 = 22-24 = 24-26 =

Clara 28 2 = 0 + 228-26 = 28-28 = 28-26 =

Titti 29 3 = 1 + 229-26 = 29-28 = 28-26 =27-26= -1 -1

Paperina 27 = + 227-28 = 28-26 =

Come abbiamo scomposto lo scarto di un singolo valore dallamedia generale, nello stesso modo possiamo anche scomporrela somma al quadrato degli scarti di tutti i valori dalla mediagenerale...

TEOREMA FONDAMENTALE DELLA VARIANZA

∑(Y ∑(Y ∑(Y.2 2 2-Y) -Y ) -Y)ij ij .j j

Somma dei quadrati Somma dei quadrati degliSomma dei quadrati = +degli scarti

dalla media scarti della media di gruppo degli scarti dalla media generale (WSS) dalla media generale (TSS) (Total Sum of Squares). E' la devianza totale TSS = (Within Sum of Squares). E' la devianza INTERNA ai gruppi, la devianza "non spiegata" dalla variabile categoriale (Between Sum of Squares). E' la devianza ESTERNA ai gruppi. E' la parte di variabilità della variabile cardinale "spiegata" dall'appartenenza ai gruppi (categorie) della variabile categoriale.

Se WSS è molto inferiore a BSS significa che c'è una relazione tra le due variabili... 2ETA QUADRATO (η ) _ _∑(Y. 2-Y)jBSS DEVIANZA SPIEGATAη = ------------- = -----------------------------2 TSS ___∑(Y 2-Y)ijDEVIANZA TOTALEη2 0 1; .VARIA TRA ED NON PUO' ASSUMERE VALORI NEGATIVI

Tutti i casi nella stessa categoria hanno lo stesso punteggio, quindi WSS=0 (e BSS=TSS). E' un raro caso di PERFETTAη2

1. Il 100% della variabilità della var. cardinale è attribuibile alla var. categoriale.
2. Le medie tra i gruppi sono uguali, quindi BSS=0 (e WSS=TSS).
3. η² = 0. La var. è un raro caso di totale assenza di associazione, la variabile categoriale non "spiega" la variabilità della variabile cardinale.

CARATTERISTICHE E LIMITI DI ETA QUADRATO DA:TENERE PRESENTI

1. Il valore di eta quadrato tende a crescere all'aumentare del numero di categorie della variabile categoriale.
2. Le categorie della variabile categoriale con frequenze più elevate incidono di più sul valore di eta quadrato.
3. Le categorie della variabile categoriale in cui c'è grande devianza sulla variabile cardinale incidono di più su eta quadrato.

Procedura per calcolare l'ETA: situazione di forte relazione tra le due variabili

Alberto 24 -2 4 0 0 -2 424-26 = 24-24 = 24-26

Paperino 23 -3 9 -1 1 -2 423-26 = 23-24 = 24-26

Archimede 26 0 0 2 4 -2 426-26 = 26-24 = 24-26

Gastone 22 -4 16 -2 4 -2 422-26 = 22-24 = 24-26

Clara 28 2 4 0 0 2 428-26 = 28-28 = 28-26

Titti 29 3 9 1 1 2 429-26 = 29-28 = 28-26

Paperina 27 1 1 -1 1 2 427-26 = 27-28 = 28-26

Marta 30 4 16 2 4 2 430-26 = 30-28 = 28-26

Pippa 26 0 0 -2 4 2 426-26 = 26-28 = 28-26

TSS=60 WSS=20 BSS=40

- Media generale dei voti (Y) = 26): M (Y. ) = 24 - F (Y. ) = 28

- Media tra i gruppi (Y. ASCHI EMMINEj m f2 0,66E = D (BSS) / D (TSS) = 40/60

- TA EVIANZA TRA I GRUPPI EVIANZA TOTALE

LEGENDA:

= voto

Y ij __-Y) = scarto dalla media generale

(Y ij-Y ) = scarto dalla media tra i gruppi

(Y ij .j__-Y) = scarto della media tra i gruppi dalla media generale

(Y. j 2Procedura per calcolare l’ETA : situazione di assenza

totale di relazione tra le due variabili_ _ _ _2 2 2

Voto (Y -Y) (Y -Y) (Y -Y ) (Y -Y ) (Y. -Y) (Y. -Y)

ij ij ij .j ij .j j j

29 5 25 5 25 0 0

Pippo 20 -4

16 -4 16 0 0Alberto 19 -5 25 -5 25 0 0Paperino 27 3 9 3 9 0 0Archimede 25 1 1 1 1 0 0Gastone 30 6 36 6 36 0 0Clara 26 2 4 2 4 0 0Titti 18 -6 36 -6 36 0 0Paperina 22 -2 4 -2 4 0 0Marta 24 0 0 0 0 0 0Pippa TSS=156 WSS=156 BSS= 0__- Media generale dei voti (Y) = 24): M (Y. ) = 24 - F (Y. ) = 24- Media tra i gruppi (Y. ASCHI EMMINEj m f2 0E = D (BSS) / D (TSS) = 0/156 =TA EVIANZA TRA I GRUPPI EVIANZA TOTALELEGENDA:= votoYij __-Y) = scarto dalla media generale(Yij(Y -Y ) = scarto dalla media tra i gruppiij .j__-Y) = scarto della media tra i gruppi dalla media generale(Y. j