Analisi della tensione

ANALISI DELLA TENSIONE

Cap 2

Ambiente

Ambiente

La P estorogia di x che x regione sia da frontiera

Ambiente

Esistono 2 tipi di forze

• FORZE DI VOLUME (1)
• FORZE DI CONTATTO (2)

₍₁₎ Forze a distanza, come le forze gravitazionali, magnetiche etc.L'ambiente esterno le esercita a distanza ed ogni P.Non è necessario un contatto, è necessario che il corpo abbia un volume

b = b(x) [F L^-3]

Risultante delle forze esercitate in X dell'ambiente per unità di volume

ANALISI DELLA TENSIONE

Cap 2

Ambiente

Ambiente

Ambiente

Esistono 2 tipi di forze

• FORZE DI VOLUME (1)
• FORZE DI CONTATTO (2)

(1) Forze a distanza, come le forze gravitazionali, magnetiche etc. L'ambiente esercita le esercita a distanza ed ogni P.

Non è necessario in quanto è necessario che il cap abbia un volume

b = b(x) [F . L^-3]

Risultante delle forse esercitate in X dall'ambiente per unità di volume

(2) INTERNE

ESTERNE (cutato appiccicato)

Forze di contatto che S esercita su l'ambiente esterno

Forze dentro il corpoOgni P cambiacon la parte complementare interna S

Affinché ci sia equilibrio

Affinché ci sia equilibrio

_Sum = _{Nsez s} = sen β

_Tum = _T(a·i/Cot) = sen β cot

Forzo normale = N = _{Psen t}

Forzo tangenziate = T = P cos t

MODELLO EULERO-CAUCHY

Secondo Eulero le azioni che Ω⁺ esercita su Ω_- attraverso Π sono descritte da un campo di vettori forza i cui punti d’applicazione sono presenti nella sezione di taglio

±ie Δ^A la risultante delle forze agenti all’interno Δ_A di X

ΔF_n (x̂) = Lim_{P ⟶ 0} ΔF/ΔA

Vector tensione relativo al piano di normale x̂

Postulato di Cauchy

Lim_{A ⟶ 0} ΔF/ΔA = S_n (x̂) [F ⋅ x̂ ⋅ x]

Principio della tensione

S_n (x̂) = S(x̂; x̂)

Risultante forze a S* esercita' a x̂ nel punto x̂ per unita' di area, per baratoc.

Tensione non dipende dalla natura locale delle superfici orientate questo il piano variato per il punto x̂ delle superfici abbia medesima normale M

TENSIONE

NORMALE

TANGENZIALE

Tende a lacerare o a comprimere la materia

Tensione normale

Trazione

Compressione

Def. SISTEMA DI FORZE = Assegnazione a tutte Ω di un campo di forze di volume b(x) e di un campo di forze di superficie s(x;μ)

P_χ, sotto regione di Ω

Γ(P) = ∫_P b(x) dv + ∫_∂P s(x; n) da

RISULTANTE DELLE FORZE

μ(P) = ∫_P (x - o) × b(x) dv + ∫_∂P (x - o) × s(x; n) da

MOMENTO

ASSIOMI DI EULERO

Sistema equilibrato nella configurazione Ω quando e solo quando

• PER LA TRASLAZIONE: { Γ(P) = 0
• PER LA ROTAZIONE: { μ(P) = 0

∀ P ⊆ Ω

Teorema di Cauchy

Cauchy ha localizzato gli assiomi di Eulero, essi sono verificati in un certo punto X.

Lemma

μ (ℓ) = 0   ∀ ∇φ

Σ (χ;μ) = -Σ (χ;μ)

La tensione in χ relativa ad μ è opposta alla tensione in χ relativa a π

L' azione che Π_- esercita su Ω_- è opposta a quella che Ω esercita su Π₊

Gli assiomi sono verificati e sono verificati:

(i) Esistenza tensore di tensioneX → S (X) tale che   S (X) μ = S (χ ; μ)

Ad ogni χ associo un tensore di sforzi taleche quando applicato a vettore unitari dia comerisultato un vettore (Vettore Tensione)

(ii) τ (ℓ) = 0   ∀ ∇φ ↔ S + b = 0

(iii) μ (ℓ) = 0 ↔ S (χ) = S^T (χ)

S(x) ℓ₁ = S(x ; ℓ₁) = S₁

S(x) ℓ₂ = S(x ; ℓ₂) = S₂

S(x) ℓ₃ = S(x ; ℓ₃) = S₃

[S] = [S_ij] =

= [ S₁ S₂ S₃ ]

= [ S₁₄ S₁₂ S₁₃ ]

= [ S₂₁ S₂₂ S₂₃ ]

= [ S₃₁ S₃₂ S₃₃ ]

C_μ (x) = S (x ; μ)·μ = S₁₁ μ₁² + S₂₂ μ₂² + S₃₃ μ₃² +

+ 2 S₁₂ μ₁μ₂ + 2 S₂₃ μ₂μ₃ +

+ 2 S₁₃ μ₁μ₃

[S(x)μ·μ]

τ_μ (x) = S (x ; μ) r = S(x ; μ)μ r =

= S₁₁ μ₁ r₁ + S₂₂ μ₂ r₂ + S₃₃ μ₃ r₃ +

+ S₁₂ (μ₁ r₂ + μ₂ r₁) +

+ S₁₃ (μ₁ r₃ + μ₃ r₁) +

+ S₂₃ (μ₂ r₃ + μ₃ r₂)

Verifica (1)

Verifica dell'esistenza del tensore degli sforzi.

Consideriamo una sottoregione a forma di tetraedro.

dAi = м dA

he di distanza P sta A

Ʃ (Δ) = 0

∫_Δ b(x) dv + ∫_A r(x; u) dℓ + ⌈⌉³_i=1 ∫_di r(x, -ei) dℓ = 0

∫_Δ b(x) dv + ∫_A r(x; u) da = ⌈⌉³_i=1 ∫_di r(x, ei) dσ = 0

Dividiamo per l'area:

𝜋 (𝟎) = 0 = ¹⁄_A ∫ _▲ b (x) d𝛽 + ^d⁄_A ∫ _∅ s (x; 𝜌) d𝛽 - _i = 1³ ∑ ∫ _∅ [𝜋i 𝜌iⁱⁿ dⁱⁿ

∖(πx; 𝜌) = _i = 1³ ∑ s (𝜋i, 𝜌i) 𝜌i

s = _i = 1³ ∑ si 𝜌i《 ⇒ s ∅

[∖] = [sij]_〇 = ︎𝹉[^s₁₁ ^s₁₂ ^s₁₃]

𝹌^s₂₁ ^s₂₂ ^s₂₃

𝹍^s₃₁ ^s₃₂ ^s₃₃𝹊

Grazie al tensore s possiamo determinare la tensione su un qualsiasi piano passante per P.

Per determinare il valore delle tensioni principali e le loro direzioni

Sia A tavole del secondo ordine

ha (di n) copie

È una coppia tale che

Se esiste prende il nome di autovalore

e n autovettore.

• (A - aI) n = 0
• n · n = 1 → CONDIZIONE CHE n È UN VERSORE

det (A - aI) = 0

A simmetrico

Per calcolare il determinante va l'equazione scalare

di Laplace

• a³ - ia² + i₂a - i₃ = 0
• i₂ = t₂ A INVENIENZA LIN
• i₂ = 1/2 [(t₂ A)² + t₂ A²] INVEN. QUADRATO
• i₃ = det A INVENENZA MINORE

(1) ammette due soluzioni reali

Matrice A.

d₁ → λ₁

d₂ → λ₂

d₃ → λ₃

3 autovettore

Molteplicità:

1 → 3 radice reale distinta

2

3 stato

d₁ ≠ d₂ ≠ d₃

Stato trassale

3 autovettore

Molteplicità:

3 stato blassale

d₁ = * d₂ * d₃

Autovettore infinito

Tutti i vettore ortogonali a μ₃

(μ₁) Tutti i vettore sono ortonormian tensoria sferica.

di pieno

Quando 2 autovettore sono distinti i relativi autovettori sono ortogonali fra loro.

A = | A₁₁ | | A₂₂ | A₃₃ |

A₁₄f₀ / A₂₄f₀ / A₃₄f₀

trassale - Stato compl

del l' in acqua

A₁₄ = A₂₂ = A₃₃f₀

piano sferico

blassale

A₁₁ = A₂₂ = 0

Monassse

hauer di Autovalori qualsiasi

Autoestati corrispondenti

{

A μ_i = di µ_i (1)

A μ _σ = d_σ µ_σ (2)

Moltiplichiamo entrambi i membro per μ_σ / μ_i

μ_σ

A μ_i = di µ_i μ_σ

μ_i

A μ_σ = d_σ µ_σ μ_i

O = (di - d_σ) μ_i μ_σ

A è simmetrico

A = A^T

aAb = bAa

aAb = bAa

Nel caso della deformazione

A = E = ¹⁄₂ (D_υ + D^T ψ) ε_m

d₁ , λ₂ , λ₃ -> Autovalori -> Dilatazioni

Axeato -> principali

μ₁ , μ₂ , μ₃ -> Autovettori -> Direzioni principali

dette dellia deformazione

ε_µ = λ_µ

E_µ - µ = λµ - µ ;

ε_µ = λ

Le piu alte contrazioni o dilatazioni x hanno lungo / le direzioni principali.

max_(min) {E_µ - (E_µ)_µ}

(λ₁ d₂) | |

(λ₃ d₂) |µ₁ µ₁|

|µ₁ µ₂|

|µ₁ µ₂|

E_µ = λ₁ µ₃² + d₂ µ₂² + λ₃ µ₃²

λ₃ (µ₃² + µ₂² + µ₃³) ≤ E_µ ≤ λ_n(µ₁² + µ₂² + µ₃²)

λ₃ ≤ E_µ ≤ λ₁

Queste deformazioni comportano variazioni di volume / una non di forma