Analisi dei dati - le medie e le variabilità

Σ c_j * n_j / Σ n_j

Analisi dei Dati

Dispense a cura di R. Baragona e L. Bocci

Esempio 7. Si consideri la distribuzione di frequenze del carattere "età" raggruppato in classi presentata nell'esempio 3. Si vuole calcolare l'età media dei lettori di quotidiani. Dopo aver calcolato i valori centrali delle classi, e cioè:

Lettori di quotidiani per classi di età

Tabella 3.

Classi di età Frequenze assolute Valori centrali

6 - 11 31 8,5

11 - 14 83

12,514 |- 20 419 17,020 |- 25 416 22,525 |- 35 792 30,035 |- 45 783 40,045 |- 55 670 50,055 |- 65 537 60,065 |- 80 392 72,5

Totale 4123

La media aritmetica delle età è uguale a 40,51, infatti

× + × + × + × + × + × + × + × + ×

(8,5 31) (12,5 83) (17 419) ( 22,5 416) (30 792) ( 40 783) ( 50 670) ( 60 537 ) ( 72,5 392)

= =

M 4123167004

= =

40,514123

Proprietà della media aritmetica

• La media aritmetica è espressa nella stessa unità di misura dei dati, ma può non essere unamodalità numerica “effettivamente assunta” dal carattere nel collettivo in esame.
• La media aritmetica è sempre compresa tra il valore minimo x e il valore massimo x del1 Kcarattere.
• La somma degli scarti dalla media aritmetica è uguale a zero, cioè

( )N − =å x M 0j=1j

• La somma dei quadrati degli scarti dalla media aritmetica è minima rispetto alla somma

dei quadrati degli scarti calcolati come differenza tra le modalità numeriche del carattere e un valore qualsiasi q con q < M o q > M, cioè ( ) ( )N N2 2− ≤ −å åx M x qj j= =1 1j j• Data la distribuzione del carattere X con media aritmetica M(X), se moltiplichiamo ciascuna modalità per una costante a e aggiungiamo una costante b, per cui x si trasforma in ax + b per j jj=1,…,N, la media aritmetica di questi nuovi valori è aM(X) + b

4.2. Variabilità, dispersione e mutabilità

I tre concetti di variabilità, dispersione e mutabilità sono legati all'attitudine del fenomeno ad assumere diverse modalità. Si parla di variabilità o dispersione quando si è osservato un carattere quantitativo, mentre si parla di mutabilità in presenza di un carattere qualitativo.

In generale gli indici di variabilità, di dispersione e di mutabilità hanno lo scopo di

sintetizzare in ununico valore l'informazione relativa a quanto sia estesa la distribuzione del carattere. In particolare gli indici di variabilità tengono conto delle differenze tra le modalità numeriche presentate da tutte le unità statistiche osservate, mentre gli indici di dispersione valutano quanto la distribuzione del carattere è estesa attorno ad un valore centrale di riferimento che in generale è rappresentato dalla media aritmetica. Benché esista una definita distinzione tra variabilità e dispersione, in pratica i due concetti sono tra loro intercambiabili per cui si parla di variabilità anche quando in realtà si sta cercando di valutare la dispersione della distribuzione del carattere. 4.2.1. Indici di variabilità Gli indici di variabilità possono essere calcolati solo per caratteri quantitativi. Per essere considerati tali, gli indici di

variabilità debbono soddisfare alcuni requisiti formali diseguito riportati.

• Assumere valore minimo quando tutte le unità della popolazione presentano la medesima modalità del carattere in quanto si è in assenza di variabilità.
• Assumere valore positivo qualora esista variabilità e quindi le unità della popolazione presentino diverse modalità del carattere su di esse osservato.
• Aumentare all’aumentare della diversità tra le modalità assunte dalle varie unità statistiche.
• Non modificarsi se, in presenza di una distribuzione semplice di frequenze del carattere osservato, tutte le frequenze vengono moltiplicate per una costante positiva.

Scarto quadratico medio e varianza

Gli indici di variabilità che prenderemo in considerazione sono: lo scarto quadratico medio, la varianza, il campo di variazione e il range interquartile.

Scarto quadratico medio e varianza

Questi indici vengono costruiti tenendo conto degli scarti

quadratico medio del carattere X si calcola nel seguente modo:
1. Distribuzione unitaria semplice del carattere X

Sia x₁, x₂, ..., x_N la distribuzione unitaria semplice del carattere quantitativo X osservata sulle N unità statistiche del collettivo in esame. Lo scarto quadratico medio del carattere X si calcola nel seguente modo:

σ = √[(x₁ - x̄)² + (x₂ - x̄)² + ... + (x_N - x̄)²]/N

dove x̄ è la media aritmetica del carattere X calcolata sul collettivo in esame.

2. Distribuzione semplice di frequenze assolute del carattere X

Si supponga che la distribuzione semplice di frequenze assolute del carattere quantitativo X sia rappresentata nella tabella 5, già vista in precedenza. Lo scarto quadratico medio del carattere X si calcola nel seguente modo:

σ = √[(f₁(x₁ - x̄)²) + (f₂(x₂ - x̄)²) + ... + (f_k(x_k - x̄)²)]

dove f₁, f₂, ..., f_k sono le frequenze assolute corrispondenti ai valori x₁, x₂, ..., x_k del carattere X e x̄ è la media aritmetica del carattere X calcolata sul collettivo in esame.

quadratico medio del carattere X si calcola nel seguente modo: ²− + ²− + ²− + ²−K K ( )x M n x M n x M n x M n K11 1 2 2 K Kj j 2σ = = −å x M nj jN N =1j Distribuzione semplice di frequenze assolute del carattere X raggruppato in classi: 9Analisi dei DatiDispense a cura di R. Baragona e L. Bocci Si supponga che la distribuzione semplice di frequenze assolute del carattere quantitativo X in cui le modalità del carattere sono raggruppate in classi sia rappresentata nella tabella 6, già vista in precedenza. Dopo aver costruito la tabella 7 in cui per ogni classe si è calcolato il valore centrale, lo scarto quadratico medio del carattere X si calcola nel seguente modo: ²− + ²− + ²−K Kc M n c M n c M n ( )K11 1 K Kj j 2σ = = −å c M nj jN N =1j La varianza non è altro che il quadrato dello scarto quadratico medio. Ne consegue che in qualsiasi

In base alla situazione in cui ci si trovi, la varianza si calcola eliminando l'operazione di estrazione della radice quadrata dalle formule dello scarto quadratico medio, oppure elevando al quadrato il valore ottenuto per lo scarto quadratico medio.

Si fa notare che mentre lo scarto quadratico medio ha la stessa unità di misura del carattere, ciò non è altrettanto vero per la varianza.

Esempio 8. Si consideri la distribuzione delle 115 aziende agricole secondo il numero di addetti dell'esempio 5. La media aritmetica del carattere è 9,41 addetti e lo scarto quadratico medio è 1,497 addetti, infatti:

2² + 2² + 2² + 2² + 2² + 2² - × + - × + - × + - × + - × + - ×