Analisi dei circuiti in regime sinusoidale

Analisi in regime sinusoidale

REGIME SINUSOIDALE: quando la risp. transitoria si esaurisce e tutte le variab. diventano sinusoidali con la stessa frequenza.

Numeri complessi

z = x + jyρ = |z| = ^√x²+y²/x = ρ cosφ   y = ρsinφφ = arctan(y/x)! Se Re(z) < 0 => φ = arctan(y/x) + 180^oe^jφ = cosφ + jsinφ => z = ρe^jφ

Sinusoidi e fasori

x(t) = Acos (ωt + θ)Θ va espresso in radiantiUna volta specificata la freq, una sinusoide è rappr. da due soli n° (reali): l'ampiezza e la fase

x(t) = Acos (ωt + θ) <=> X = A e^jθIl fasore

x(t) = Re [X e^jωt]

1. Moltiplicare una sinusoide per una cost. k reale equivale a molt. k per il fasore corrisp.

Analisi in regime sinusoidale

Regime sinusoidale: Quando la risp. transitoria si esaurisce e tutte le variab. diventano sinusoidali con la stessa frequenza.

Numeri complessi

• z = x + jy
• ρ = |z| = ^{√(x2 + y2)}
• x = ρ cosφ   y = ρ sinφ
• φ = arctan(y/x)
• Se Re(z) < 0 => φ = arctan(y/x) + 180°
• e^jφ = cosφ + jsinφ => z = ρe^jφ

Sinusoidi e fasori

• x(t) = Acos (ωt + θ)

θ va espresso in radianti

Una volta specificata la freq, una sinusoide è rappr. da due soli n° (reali): l'ampiezza e la fase

• x(t) = Acos (ωt + θ) X = Ae^jθ

Lfasore

• x(t) = Re [X e^jωt]

1. Moltiplicare una sinusoide x una cost. k reale equivale a moltiplicare k x il fasore corrisp.

1. La Somma di sinusoidi isofrequenziali è ancora una sinusoide della stessa freq., il cui fasore è la somma dei rispettivi fasori
2. La derivata di una sinusoide di freq. angolare ω e fasore x è una sinusoide della stessa freq. e fasore jωx.

risposta a un ingresso sinusoidale

V_s(t) = V_mcosωt

LKT → V_s(t) = V_c(t) + R i(t)

sost. relaz. condensatore

V_s(t) = RC ^dV_c(t)/_dt + V_c(t);

¹/_τ V_mcosωt = ^dV_c(t)/_dt + ¹/_τ V_c(t)

Soluz. generale:

V_c(t)= K e^-t/τ + A cos(ωt + θ)

Ke^-t/τ → risp. transitoria

A cos(ωt + θ) → risp. permanente

Per conoscere la risp. permanente basta ricavare A e θ:

Per t → ∞ , v_c(t) diventa v_c(t) = A cos(ωt+θ)

Sost. nell' eq. diff:

1/τ V_mcosωt = d/dt [A cos(ωt+θ)] + 1/τ A cos(ωt+θ)

Sost. alle sinusoidi: i rispettivi fasori:

1/τ V_m = jωV_c + 1/τ V_c

=> V_c = V_m / τ + jωτ

|V_c|= A = V_m / √ τ + ω²τ²

arg(V_c) = θ = arg(V_m) - arg (1+jωτ) = 0-arctan(ωt)

=> v_c(t) = V_m / √ τ + ω²τ² cos(ωt-arctan(ωt))

∟ i(t) = c dv_c(t)/dt

Legge di Ohm simbolica

RESISTORE

v(t) = R i(t)

↓

V = R I

Quindi:

|V| = R|I|

arg V = arg I → tens. e corr. sono _{in fase}

INDUTTORE

v(t) = L di/dt

↓

V = L jω I

Quindi:

|V| = ωL |I|

arg V = arg (jωL Ξ) =

= arg (jωL) + arg (Ξ) = 90° + arg (Ξ)

→ nell’induttore, la corrente è in ritardo sulla tens.

CONDENSATORE

i(t) = C _dv/_dt

I = C jω V

Quindi:

|I| = Cω |V|

arg (I) = arg (C jω V) =

= arg (jω C) + arg (V) = 90° + arg (V)

→ la corrente è in anticipo sulla tens. ( diventa max un quarto di periodo prima che lo faccia la tens.)

impedenza e ammettenza

La relaz. del cond. I = jωC V si può scrivere anche come V = 1/_jwC I

In regime sinusoidale, indutt. e cond. seguono una legge di Ohm simbolica :

V = Ż I

essendo:

• Ż = R      x il resistore
• Ż = jωL   x l’induttore
• Ż = 1/_jωC   x il cond.

Ż = impedenza dell’ elem. [Ω]

La relaz. V = Ż I si può invertire:

I = V

con = 1/_Ż → ammettenza

Y = 1/R = G x il resist.

Y = 1/jωL x l'indutt.

Y = jωC x il cond.

Si ha quindi: z̅ = V̅/I̅ Y = I̅/V̅

Impedenza e ammettenza sono un rapporto tra due fasori, ma non sono fasori a loro volta.

METODO SIMBOLICO DEI FASORI

1. Sost. ogni generatore indip. di pulsaz