Analisi dei circuiti in regime sinusoidale

analisi in regime sinusoidale

REGIME SINUSOIDALE = quando la risp. transitoria si esaurisce e tutte le variab. diventano sinusoidali con la stessa frequenza.

numeri complessi

z = x + jyρ = |z| = √x²+y²x= ρ cosφ y = ρ sinφφ = arctan(y/x)Se Re(z) < 0 => φ = arctan(y/x) + 180°

e^jφ = cosφ + jsinφ => z = ρe^jφ

sinusoidi e fasori

x(t) = Acos (ωt + θ)Θ va espresso in radiantiUna volta specificata la freq., una sinusoide è rappr. da due soli n° (reali): l'ampiezza e la fase

x(t) = Acos (ωt +θ) <=> X = Ae^jθIl fasore

x(t) = Re [Xe^jwt]

1. Moltiplicare una sinusoide x una cost. k reale equivale a molt. k x il fasore corrisp.

• La Somma di sinusoidi isofrequenziali è ancora una sinusoide della stessa freq., il cui fasore è la somma dei rispettivi fasori
• La derivata di una sinusoide di freq. angolare ω e fasore x è una sinusoide della stessa freq. e fasore jωx.

risposta a un ingresso sinusoidale

Vs(t) = Vm cos ωt

LKT → Vs(t) = Vc(t) + Ri(t)

sost. relaz. condensatore

Vs(t) = RC _dVc(t)/_dt + Vc(t);

1/τ Vm cos ωt = _dVc(t)/_dt + 1/τ Vc(t)

Soluz. generale:

Vc(t) = Ke^-_t/τ + A cos(ωt + ϑ)

da det. imponendo Vc(0)

Ke^-t/τ → risp. transitoria

A cos(ωt + ϑ) → risp. permanente

Per conoscere la risp. permanente basta ricavare A e ϑ:

L'indutt. ha resistenza positiva, il cond. negativa

=> un bipolo in cui x > 0 è detto induttivo, uno in cui x < 0 è detto capacitivo

Bipoli con impedenza reale => resistivi (reatt. nulla)

Bipoli con impedenza imm. => reattivi (resist. nulla)

Si possono fare consid. analoghe x l'ammettenza:

Y = G+jB

• G = conduttanza
• B = susceptanza

quant. reali che si misurano in Siemens

Resistore G = 1/R B = 0 Y = 1/R

Indutt. G = 0 B = -1/wL Y = -j/wL

Cond. G = 0 X = wC Y = jwC

potenza in regime sinusoidale

Consideriamo un bipolo con:

V(t) = Vm cos(wt + θv)

i(t) = Im cos(wt + θi)

p(t) = v(t)∙i(t) = Vm cos(wt + θv) Im cos(wt + θi)

potenza istantanea

Utilizzando Werner, si può riscrivere come:

p(t) = 1/2 VmIm cos(θv - θi) + 1/2 VmIm cos(2wt + θv + θi)

termine costante                      termine sinusoidale

P = 1/2 VmIm cos(θv - θi)

Potenza attiva

È il valor medio in un periodo della pot. istantanea

interpretazione della potenza reattiva

Consid. la corrente e la tensione di un bipolo:

-i(t) = Im cos(wt + θ_i) v(t) = Vm cos(wt + θ_v)

Possiamo scomporre V in V_p e V_q

v_p(t) = V_m cosφ cos(wt + θ_i)

modulo V_p fase V_p

V_p(t) è in fase con la corr.

V_q(t) = V_m sinφ cos(wt + 90° + θ_i) =

= -V_m sinφ sin(wt + θ_i)

È in quadratura con la corr.

Per la potenza abbiamo:

p(t) = [ V_p(t) + V_q(t)] i(t) = V_m I_m cosφ [ cos(wt + θ_i)]² +

-V_m I_m sinφ sin (wt + θ_i) cos (wt + θ_i)=

= 1/2 V_m I_m cosφ [1 + cos(2wt + 2θ_i)] - 1/2 V_m I_m sinφ sin(2wt + 2θ_i)

→ p(t) = P[1 + cos(2wt + 2θ_i)] - Qsin(2wt + 2θ_i)

dovuto alla comp. di v(t) in fase con la corr. Ha sempre lo stesso segno

dovuto alla comp. di v(t) in quadratura con la corr. È sinusoidale => cambia segno

conservazione della potenza complessa

∑_K S_K = ∑_K (P_K + j Q_K) = 0

Versi da assumere:

• x pot. assorbita

Versi da assumere:

• x pot. erogata da un generatore

( R_S + R_L )² + ( X_S + X_L )²

R_L

Le reattante possono essere sia pos. che neg.

=> Scegliamo X_L = -X_S

La fun. da minimizzare diventa:

f(R_L) = ( R_S + R_L )²

R_L R_L + R_L + 2 R_S

L’annullo d

df

d R_L 1 - R_S² = 0 =>) R_L = R_S

R_L

Z_L = R_S - jX_S = Ẑ_S^*

Teo. del massimo trasferimento di potenza media:

un generatore di impedenza interna Ẑ_S trasferisce

ai carico la max pot. media se l’impedenza del

carico Ẑ_L è uguale a Ẑ_S^*—> se lo soddisfa:

carico adattato

P_MAX = 1/2 R_S |V_S|² = 1/2 R_S

(R_S + R_S)² + (X_S - X_S)² 4 R_S 8 R_S

potenza disponibile

(max pot. media

che il gen. può trasf.

al carico)