Regime sinusoidale

Descrizione del circuito L(t)v L

Il circuito, supposto a riposo per t<0, è descritto da:

ω= die (t ) E sin t = +e t L( ) Ri (t )M dtdi= = =( )v t L i (t ) i (t ) 0−L = = +dt t 0 t 0

Riordinando e introducendo la costante di tempo del circuito R-L si ottiene:

e (t ) di i (t )= + Lτ =τL dt R= =i (t ) i (t ) 0−= = +t 0 t 0 t−= +τ

La soluzione sarà del tipo: i (t ) ke i (t )pl'integrale particolare, a causa della linearità dell'equazione, sarà della stessa forma del termine noto.

L'integrale particolare può essere calcolato ponendo: ω ω ω θ= + = −i (t ) I sin t I cos t I sin( t )p 1 2

MSostituendo nella equazione risolvente ed utilizzando il principio di identità dei polinomi si ottengono i valori di e e da questi i valori di I I1 2θ:eI M ω LE θ −= =  1M ; tgI M  ω+ R2 2 2R L

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La soluzione sarà del tipo:t− ω θ= + −τi (t ) ke I sin( t )M

La costante di integrazione si determina imponendo la condizione iniziale: t−θ θ+ = − + = → =τi ( 0 ) I sin ke 0 k I sinM M=t 0

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La soluzione per t > 0 sarà pertanto: t− EE  θ ω θ+ −= τM M( ) sin sin( t )ei t  ω ω++  2 2 2 2 2

2R LR LAnche in questo caso, come per i generatori di tipostazionario costante, a regime (ovvero dopo alcunecostanti di tempo), le grandezze assumono la stessalegge oraria del forzamento.

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3.0  i(t) t−E θ τM esintermine transitorio  ω+ 2 2 22.0 R Ltermine di regime Valore di regime1.0[A] E ω θ−corrente M sin( t )ω+2 2 2R L0.0-1.0-2.0 0.00 0.02 0.04 0.06 t [s]

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In condizioni di regime (t→∞), la corrente e letensioni sono sinusoidi aventi tutte la stessaω.pulsazione dii(t) = +R ++ e( t ) L Rit→∞ dte(t) Lv (t)L t→∞-ω =E tsinM d E E 

^{ω θ ω θ}+ ^{−−M ML t R tsin( ) sin( )}  ^{ω ω++} ^{dt 2 2 2 2 2 2R L R L}Prof. Vincenzo Tucci – Dip. di Ing. dell’Informazione e Ing. Elettrica - Università di SalernoCorso di Elettrotecnica I – a.a. 2004/2005In condizioni di regime (t→∞), la corrente e letensioni sono sinusoidi aventi tutte la stessaω.pulsazione10V e(t) v (t)L5V v (t)R0V-5V-10V200ms 205ms 210ms 215ms 220ms 225ms30 t [ms]0 4020V1(V4) V1(R1) V1(V4)- V1(R1)10 TimeProf. Vincenzo Tucci – Dip. di Ing. dell’Informazione e Ing. Elettrica - Università di SalernoCorso di Elettrotecnica I – a.a. 2004/2005Il termine di regime sinusoidale (ovverol’integrale particolare) deve soddisfarei (t)pl’equazione differenziale risolvente:i (t)R p ++ t→∞ di= +pe(t) ( ) Ri (t )e t LLv (t)L pdt-Le operazioni sulle funzioni sinusoidali coinvoltesono:somma;• moltiplicazione per unaUniversità di Salerno Corso di Elettrotecnica I - a.a. 2004/2005 Tutte le sinusoidi(t)/EM che descrivono ai(t)/IM regime tensioni e correnti di un circuito sono θ/ω caratterizzate dalla stessa pulsazione ω. I parametri che definiscono le sinusoidi sono l'ampiezza e la fase iniziale. ω = ω θ = -e (t ) E sin( t ) i (t ) I sin( t )M M Rappresentazione delle funzioni sinusoidali È possibile creare una corrispondenza biunivoca tra le grandezze sinusoidali e vettori ruotanti. Questo significa che le grandezze sinusoidali possono essere raffigurate come vettori ruotanti.

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L'espressione analitica, sul piano di Gauss, del generico vettore ruotante è:

ω α αω− −= =( ) jj t j tY ( t ) Y e Y e e0 0M M

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Le grandezze sinusoidali (tensioni e correnti) sono tutte isofrequenziali: tutti i vettori che le rappresentano ruotano alla medesima velocità angolare [rad/s].

Per tale motivo i vettori ruotanti conservano nel tempo una posizione reciproca costante, quindi è sufficiente rappresentarli nella posizione che essi occupano all'istante t = 0 [s].

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Rappresentazione di un fasore sul piano di Gauss

jy β= j

rappresentare una Y Y eB Mgrandezza sinusoidale diω,assegnata pulsazione è α= jY Y esufficiente un vettore A Mstatico e, per il suo βtrattamento analitico, αl'equivalente numerocomplesso detto fasore.

xProf. Vincenzo Tucci – Dip. di Ing. dell’Informazione e Ing. Elettrica - Università di SalernoCorso di Elettrotecnica I – a.a. 2004/2005

Corrispondenza tra sinusoidi e fasoriSi può dimostrare che la corrispondenza tra lefunzioni sinusoidali ed i numeri complessi,detti fasori, ad esse associati è biunivoca econserva le operazioni di somma,moltiplicazione per una costante ederivazione.

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αω α= − → = ja (t ) A sin( t ) A A eM M βω β= − → = jb (t ) B sin( t ) B B eM M somma:= + → = +c (t ) a (t ) b(t )

C A B αω α= − → = ja (t ) A sin( t ) A A eM M →ka (t ) kAmoltiplicazione per una costante:
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Per quanto riguarda la derivazione si osservache all’operazione nel dominio del tempoωcorrisponde una moltiplicazione per neljdominio dei fasori.
d ω ω α= + =a (t ) A cos( t )Mdt ππ jω ω α ω ω+ + → =2A sin( t ) A e j AM 2
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Utilizzando la corrispondenza tra funzionisinusoidali e fasori è possibile trasformarel’equazione differenziale in una equazionealgebrica a coefficienti complessi.
di ω= + → = +e (t ) L Ri (t ) E j L I R Idt
Da tale equazione è2004/2005ssono delle regole fondamentali utilizzate nell'analisi dei circuiti elettrici. Esse sono basate sulla conservazione della carica e dell'energia elettromagnetica. La prima legge di Kirchhoff, chiamata anche legge dei nodi, afferma che la somma delle correnti che entrano in un nodo è uguale alla somma delle correnti che escono dal nodo. Questa legge si può esprimere con l'equazione: ∑i_in = ∑i_out La seconda legge di Kirchhoff, chiamata anche legge delle maglie, afferma che la somma delle differenze di potenziale lungo una maglia chiusa è uguale a zero. Questa legge si può esprimere con l'equazione: ∑V = 0 Le leggi di Kirchhoff sono molto utili per risolvere circuiti complessi e determinare le correnti e le tensioni in ogni componente del circuito.