Analisi circuitale di base - Parte 1

Analisi circuitale

Circuiti e resistenze

Richiami sulla corrente: I = ^dQ/_dt [A]

dW_e = I V dt → I V = ^dW/_dt [J]

p = ^dW_e/_dt = V I [W] → potenza dissipata

V = R I legge di Ohm

P = R I² = V²/R

Resistenza

La relazione tra I, V è lineare per conduttori ohmici. Per materiali particolari la tensione I non è. Le proprietà fisiche del materiale possono essere alterate.

Resistenza e temperatura: R(t₂) = R_o(1 + α ΔT) con α parametro specifico per ogni materiale α _t 0 α _m > 10^-4

Con l’aumento di t il materiale si dilata e R aumenta (quasi non lineare): metalli

ΔR/R ppm → variazione relativa della R associata a una variazione di j°C.

Circuito

Il circuito più semplice = generatore + resistore.

V_B = V₀ (la freccia va da parte a V minore (B) a quella di maggior (A)).

ε = V₀ = ε = V_R = R I (ee Ohm)

Collegamento: quando ho più pile ottengo V...

Corrente: quanto più resiste più diventa V...

Leggi di Kirchhoff

Legge dei nodi (KCL) (Kirchhoff's current law)

Σ_i I_e = 0 (entranti = I uscenti)

Legge delle maglie (KVL) (Kirchhoff's voltage law)

Σ_i ε_i = Σ_i R_i I_i (conservazione energia)

Resistenze in serie

Partitore di tensione: le R_i sono attraversate dallo stesso I

V_i = I R_i...

Resistenze in parallelo e partitore di corrente

E₁ = I₁R₁ E₂ = I₂R₂ E₃ = I₃R₃

Osservato un nodo, I_T scinde in I₁ e I₂

E = V_T = I_TR_eq = I₁R₁

In generale:

• I_T = I₁ + I₂ = E ( ¹/_R1 + ¹/_R2 ) = E ( ^{R₁ + R₂}/_R1R2 )
• R_eq = ¹/_{( ( ¹/R1 ) + ( ¹/R2 ) )}
• I₁ = ^E/_R1 e I₂ = ^E/_R2
• E = I R (partitore) quindi I₁R₁ = I₂R₂
• R_eq = ^R₁R₂/_{R1 + R2}

Questa formula permette di realizzare un partitore di corrente, che consente di scegliere quanta I far scorrere nei singoli rami.

Esercizi

• R₁ = 1KΩ
• R₃ = 20Ω
• R₂ = 120Ω
• R₄ = 30Ω
• R_eq = ( ¹/₂₀ ) + ( ¹/₃₀ ) = 12Ω
• V = E
• I_T = ^0.9/₁₂ = 0.08 A
• R_eq = ¹/₂₀ + 120 + 30
• I₁ = 40 mA
• I₂ = ^V/_{Req + R3}

Smaltire il ritorno al corrente di partere P_T = R₁I₁²

• P₁ = R₁I₁
• P₂ = R₂I₂
• P₃ = R₃I₃

Generatori

Generatore di V

Si può indicare in più modi: Se ci sono più generatori di V in serie posso considerare un generatore equivalente: _eq = ∑_ii

Nella realtà il generatore ha una resistenza interna R_i: → È un partitore di tensione.

Generatore I

Si può indicare in più modi. Non ha senso mettere più generatori in serie perché si violerebbe KVL. Mettendo carica in parallelo si può considerare un generatore equivalente con I_eq = ΣI_i.

Resistenza di Shunt

Esempio: Riporta cortocircuito il generatore: I si supporta con certe branche R_F resistenza fittizia

La resistenza di Shunt R_Sh viene aggiunta per estendere la lettura del fusibile. Affinché il fusibile non salti bisogna far circolare una certa I_Sh. Calcolo la R_Sh necessaria ammettere i racconti:

I_T = I_Sh(R_P + R_Sh) = I_P ...

I_T = I_Sh + I_I - I_Sh.

R_Sh = V_T/I_Sh

Cambio di Generatore

A vuoto:

V_AB = E^E/_Ri

V_AB = IR_i; I = E/R_i; E a vuoto, V_AB = V_AB.

Cioè un gen. di V_i serie con R_i è equivalente a un gen. di I_i in parallelo con R_i; Perché I = E/R_i.

Esercizi

1. Strumenti di Misura
2. L'errore sistematico degli strumenti di misura è basso si fa collegando lo strumenti ai circuiti, si modifica il circuito in modo che gli strumenti analogici, quando la portata dei circuiti non come hanno una sensibilità maggiore un difetto a causa è transitoria.

Amperometro

L'amperometro si mette in serie e misura I Saprai I è E/R₁ Con A I è E/(R₁ R_a)

Quindi se R₁<<R_a I è difetto quasi nullo.

B: Nota primitivamente se H è dà un difetto tanto la misura è I è 20 mA R_a 250 Ω I è A R₁ 1 Ω

Volmetro

Il volmetro si mette in parallelo e misura V Saprai V è E x R₂/(R₁ R₂) Con V R_m è R_i(R₁/(R₁ R₂))

Quindi se R_i>>R₂ V=V x

Galvanometro

F = I B N l

M _molla = Fh = K _mappa J J = G = K IH svolgimento in Re (I)

Generalmente un galvanometro può sopportare al massimo 50 A. detto I _fs.

La fondo scala (I _ps), se vale per I _fs = R _cm K = V _h A

Se non c'è nessun forzamento, si devo aggiungere quel R per far si che al massimo assorba I _fs quando bloccare l'impegno come nell'immagine si ha:

V _fs = I _ps R _sh = 50 A

R _sh = V _ps = R _fs

Il che permette di calcolare R _sh necessaria per ottenere V _ps la sensibilità del galvanometro intanto come resistenza è S^u = I _ps

Il galvanometro può anche essere usato come comparatore con un voltetta di I _s e anche sapere cosa in parallelo al galvanometro:

V _c = V _sh + I _gs R _sh = 100 mV

I _f = 50 mA = I _cm I _ps = I _sh

I _ps = I _fs = 50 m/s G = 1

R _sh = V _ps - V _gs / 2 I _ps

Ohmetro

I _ss = E / R _e + R _g + R _pn

Se il circuito è aperto - R = ∞ ➔ Se il circuito è chiuso - R = 0 ➔ Quindi metto a 0 a dx della scala. (quadrante galvanometro)

Esercizi

1. In un tratto AB scorre I = 8 mA. La maglia mostrata con un amperometro avente R_a = 2 kΩ. I reali sono I_r = 9 mA. Calcolare la resistenza di Shunt R_sh necessaria per effettuare la misura.

I_ps = I_rs, R_sh = R_t (1 - I/I_r)

R_sh = ^{I_rs R_t}/_{Ir - I}, I_ps = I

Risoluzione di Circuiti

Metodo di Kirchhoff

I₁ + I₂ + I₃ = 0

Se facendo i conti, si ottiene una I = 0 significa che la sua direzione reale è opposta a quella assunta nel disegno.

Mesh Analysis (Analisi alle maglie)

In questo caso le maglie devono considerarsi indipendentemente. Si stabilisce I come ampI di I₁, come se ci fosse un polo fittizio. Ambiguamente per O e N. Scrive una prima dei generatori; quelli che esistono:

g = I₁ + I₂g + (I₁, - I₃ E₁, - E₃) = 0, ecc.

E₁ - I₃ R₃ - I₁ R₁ - I₂ R₂ = 0

E₂ - I₃ R₃ - I₂ R₂ - I₄ R₄ = 0

Si risolve dunque il sistema, con i noti Grammi.

Se siamo... fatto. E ne avrà più controlli o meno, in V; perciò non è raro che... apparato attento. Una delle più grandi premesse riguarda tale supposta analisi.

Nodal Analysis (analisi dei nodi)

pd V₁I₁ + I₂ + I₃ + I_e

Per ogni nodo consiste nello scrivere delle I, a meno che non vi siano fonti I. In tal caso imponga un verso.

Per il nodo 1:

I + I = I_R1 + I_R3 I_R2 = I_V3 - V₁ + V₂

→ V₂ = V_R1 + I( I_R1 + I_R3 )

V_R3 = V_R1 - I_V3 = I

Per il nodo 2:

I = I₁ + I₃^V2R₃( I_R1 + I_R3 )

V_R3 = V_R1 - V₂ = I - I

Quindi:

1. (( I_R1 + I ) V - I_R3 = I_e R₁( I_R1 + I_R3 ) V_R3 - V₂ = I

Esercizi

1. Ponte
2. I_L Sostituire V_B = V_A - V_B
3. I_L = V_A - V₀
4. Rei volato detto bilanciato se V_AB = V₀
5. Quando sei il ponte è bilanciato nel tratto dove c'è R_S... anche un semplice filo.
6. Ruvido il ponte si serve bilanciato.
7. Calcolare V_BC
8. V_RS = V_BC
9. V_R1 = V_AC
10. V_BC = V_RS
11. V_RS + V_{1, 2} = 0 ⇒ V_BC = -V_S
12. V_S = V_S → V_BC = V_S

Teoremi per Circuiti

Teorema di Sovrapposizione degli Effetti

La corrente che attraversa un elemento è data dalla somma algebrica delle correnti parziali indipendentemente alla sorgente. (NB: posso sommare I, V, ma non P, poiché P è S²·R)

Esempio:

Ip 1 VnR2 RtI' (Ip' - Ip'')

Spengo gen. di I

Spengo gen. di V

Quindi: Ip = Ip' + Ip''

Teorema di Millman

1. E1 E2 ... En
2. I Eq I1 I2 ... In
3. Eeq = Σ Ei/RiReq (Σ 1/Ri)
4. I1 I2 ... In
5. I Eq I1 I2 ... In
6. Ieq = Σ Ri Ei / Σ RiReq = Σ Ri

Teorema di Thevenin

Un qualsiasi circuito, preso due punti di taglio, può essere sostituito da un gen. di V e da una resistenza in serie.

R_T = gruppo tutti i generatori e calcolo R_eq

E_T = i due fili ai capi di ab, trasferendo il circuito questo (quindi o in modo nonna corrente)

Esempio:

Calcolo R_T:

Calcolo E_T:

Quando il circuito iniziale è equivalente a:

Teorema di Norton

Un qualsiasi circuito, preso due punti di taglio, può essere sostituito da un gen. di I e da una resistenza in parallelo.

R_N = R_T

I_N: cortocircuita i punti di taglio e calcolo I

Teorema di Massimo Trasferimento di Potenza

Il massimo trasferimento avverrà a R_c se il carico, da parte del circuito si ha quando R_c = R_Th

Dimostrazione

P_c = I_c con I_c = e_T/(R_c + R_Th)

ΔP_c = 0 risultati = R_Th

Si trova che quando si ha la massima potenza di carico.

Non dire però questo si ha la massima efficienza di trasformazione:

Pcr = E_T I - E_I² / (R_C+R_T)

L’efficienza è ▽ = P_C / Pcr = R_C / (R_C+ R_T)

Si ha più grande per R_C se R_T

Esercizi

1. I₁ I₂ ʎ R_co = (R₁*R₂)²
2. E_m = R₂ I₁
3. E₁ I_m = E_T^-E₁
4. R_T2 = R_Tm + R_±
5. V_m = E_m R_m I₂
6. I₂ = V_m/(R₃)
7. I₁ = I₃ I₂
8. R_m = R₁R₂ R₁*R₂
9. E_Tm magnifica 1 no
10. E₂ R₁ I₃- E₃ I_∞ = I₂ - E₁² /R_±R_∞
11. E_m = E₁R_m legge alle amplific.: E_m- E₃ I_∞ R_m - B_∞^-V_ab ± E_m I_Rn