Analisi (calcolo 1)

Calcolo I

Fabiola

2

Indice

1 Numeri reali 5

2 Successioni 9

2.1 Operazioni coi limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.1 Limiti niti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.2 Limiti inniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Sottosuccessioni 19

3.0.1 Il numero di Nepero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Serie numeriche 23

4.1 Serie a termini positivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.1.1 Criteri di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2 Serie a termini di segno variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3

4 INDICE

Capitolo 1

Numeri reali

Denizione Una sezione di e' una coppia di insiemi che soddisfano queste proprietà:

Q (E , E )

− +

1. 6 ∅

E =

−

2. 1

∩ ∪

E E =, E E = Q

− −

+ +

3. 2

≤ ∈ ⇒ ∈

y x E y E

− −

4. non ha massimo

E

−

Osservazione Se . Se ciò non fosse, cioè se ,

∈ ⇒ ∀x ∈ ≤ ⇒ ⇒ ∈

y E y > x, E y x 3 y E

− −

+

cioè assurdo.

∈ ∩ ⇒ ∅ ⇒

y E E 2 =

− +

Denizione numero reale

L'insieme dei numeri reali è l'insieme delle sezioni di . Un

R Q

è una qualunque sezione di .

Q

Denizione (relazione d'ordine) se .

0 0 0

≤ ⊂

(E , E ) (E , E ) E E

− −

+ − −

+

Allo stesso modo, per due numeri razionali

≤ ∈ ⇔ ≤

x y, x, y Q E (x), E (x)) (E (y), E (y))

− −

+ +

Denizione (somma) con

0 0 0 0 0

∈ ∈

(E , E ) + (E , E ) := (F , F ) F := (x + x : x E , x E )

− − − −

+ +

− −

+

Verichiamo che sia una sezione.

(F , F )

− +

1. ; per vericare che prendo e considero la loro somma:

0 0

6 ∅ 6 ∅ ∈ ∈

F = F = y E , y E

− + + +

mostro che non appartiene a . Procediamo per assurdo. Se 0 0

∈ ∃x ∈ ∈

F y + y F , E , x

− − −

0 0 0

E : y + y = x + x

−

Ma

1 Sono una partizione di Q

2 e' una semiretta

E − 5

6 CAPITOLO 1. NUMERI REALI

con 3

0 0

0 0 0 0 ∈

− − ∈ ∈ ∈ , y E

0 < y x = x y < 0 y E , x E , x E

−

+ − +

2. ∩ ∅

F F =

− + perchè complementari

∪

F F = Q

− + . Se chiamo

3. Prendo con . Sarà

0 0 0 0 0

∈ ∈ ∈ − ∈

z Q : z = x + x x E , x E z x < x , x E

− + −

, sarà per ordinamento. Chiamo poi per cui

0 0 0

− ∈ ∈

u = z x u E u = x, x E

−

− 0 0 0 0

∈ ∈

z = u + x = u + u , u E , u E

− −

Quindi ∈

z F − . Poichè non esiste

4. Prendiamo un elemento 0 0 0 ∃u ∈

∈ ∈ ∈ max(E ),

x + x F , x E , x E −

− − −

Allo stesso modo, . La somma per

0 0 0 0 0

∃u ∈

E : u > x > x u + u > x + x , (u + u ) F

− −

qualunque elemento preso. non ha massimo.

⇒ F −

Denizione (esistenza elemento neutro) Nei razionali vale . La sezione

x + 0 = x

corrispondente a 0 è . Vorremmo che anche in

∈ ∈ ≥

E (0), E (0)) = (x Q, x < 0), (x Q, x 0)

− +

fosse

R (E , E ) + (E (0), E (0)) = (E E )

− −

+ + , +

Verichiamo che sia vero. Denisco . Devo vericare

(F , F ) := (E , E ) + (E (0), E (0))

− − −

+ + +

0 0

∈

F := (x, x , x E , x < 0) = E

− − −

Ho perchè . Allora . Verichiamo il viceversa

0 0 0

∈ ⇒ ∈ ⊂

x + x < x, x E x < 0 x + x E F E

− − − −

anchè sia valida l'uguaglianza.

4

∃u ∈

x inE , E , u > x

− −

ma il primo termine è e quindi tutto . Allora e i

− ∈ ∈ ⊂

x = (x u) + u < 0 u E F E F

− − − −

due coincidono.

Allo stesso modo vale ∈

E (x), E (x)) + (E (y), E (y)) = (E (x + y), E (x + y))∀(x, y) Q

− − −

+ + +

Denizione (esistenza elemento opposto) Deniamo opposto di la sezione

(E , E )

− +

al che

(F , F )

− + ∈ 6 −

F = (−y := y E , y = min(E ))F = Q F

− −

+ + +

Verichiamo che sia una sezione.

1. perchè , e così anche ;

6 ∅ 6 ∅ 6 ∅

F = E = F =

− − +

2. per denizione;

3. −y, ∈ 6

x < y E , y = min(E )

+ +

;

5

−x ∈ ⇒ ∈

> y, y E x F −

+

3 deriva dal fatto che è maggiorante di

∈

y E E E −

+ +

4 Vero perchè non ha max

E

−

5 Se ho un numero maggiore di un elemento di , anch'esso sta nell'insieme e sicuramente non ne è il minimo

E +

perchè > y 7

4. non ha massimo perchè il suo opposto non ha minimo.

F E

− +

Verichiamo la validità dell'opposto.

(E , E ) + (F , F ) = (E (0), E (0))

− − −

+ + +

− ∈ ∈ 6

(G , G ) := (E , E ) + (F , F ) = (x y : x E , y E , y = min(E ))

− − − −

+ + + + +

Poichè sia e quindi questo elemento , cioè abbiamo

∈ ∈ ⇒ − ∈

x E , y E x y < 0 E (0)

− −

+

dimostrato la prima inclusione.

Prendiamo ora ; vogliamo che per cui .

∈ ∃x ∈ ∈ −

z Q, z < 0 E , y E z = x y

− +

Se . Procediamo per assurdo, cioè se non fosse così avremmo

∈

y E , y + z inE

−

+ .

6

∀y ∈ ∈

E , y + z E , y + z < y

+ +

Ma allora anche e così via, cioè , ma allora sarebbe ,

∈ ∀n ∈ ∈

y + 2z E N, y + nz E E = Q

+ + +

ma di conseguenza e abbiamo per ipotesi che entrambi non sono vuoti.

∅

E =

−

Denizione(prodotto) 0 0 0 0

≥ ≥ ⇒

E , E ) 0, (E , E ) 0 (E , E )(E , E ) = (F , F )

− − −

+ + +

− −

+ +

dove 0

0 0 0 ≥ ∪ ∈

∈ ≥ ∈ , x 0) (z Q, z < 0

F = (xx , x E , x 0, x E

− − −

−

F = Q F −

+

Verichiamo che sia una sezione.

1. per denizione

6 ∅

F =

−

Per dimostrare prendo e voglio vedere che il loro

0 0 0

6 ∅ ∈ ∈

F = y E , y > 0, y E , y > 0

+ + +

prodotto stia in . Procediamo sempre per assurdo.

F +

Se . Poichè è tutto positivo, posso

0 0 0 0 0 0

∈ ∃x ∈ ∈

yy F , E , x > 0, x E , x > 0 : yy = xx

− − −

dividere senza cambiare verso della disuguaglianza, quindi

7

0

y x

= < 1

1 < 0

x y

ma il primo termine è il rapporto tra un numero e uno assurdo.

∈ ∈ ⇒

E E

−

+

2. per denizione

3. Prendiamo ; ci chiediamo se vale .

0 0 0 0

∈ ∈ ⇒ ∈

z < xx <∈ F , x E , x > 0, x E , x > 0 z F

− − −

− , ossia come

Dividiamo per . Allora scrivo come

0 0 0

z z z

∈ ∈

→ ⇒

< x E E x

x z z =

− −

x x x

prodotto di un elemento e uno in .

0

∈ ⇒ ∈

E E z F

− −

−

4. . Poichè per ipotesi non hanno massimo,

0 0 0 0 0

∈ ∈ ∈

xx F , x E , x > 0, x E , x > 0 E , E

− − −

− −

.

0 0 0 0 0 0 0

∃u ∈ ∈ ∈

> x, u E , u > x , u E : uu > xx , uu F

− −

−

Denizione (prodotto sezioni non positive)

6 Ricorda che z < 0

7 perchè vale

∀y ∈ ∈

E , x E x < y

−

+

8 CAPITOLO 1. NUMERI REALI

0

0

0

0

0

0 −[−(E

≥ ⇒

• )]

, E

) = , E )(E

, E

) 0 (E , E )(E

, E

(E , E ) < 0, (E −

−

− +

+

+ −

−

− +

+

+

0 0 0 0 0 0

• ⇒ −[−(E

(E , E ) < 0, (E , E ) < 0 (E , E )(E , E ) = , E )][(E , E )]

− − −

+ + +

− − −

+ + +

Teorema(assioma di completezza) Dato un insieme limitato superiormente o

⊂

A R

inferiormente o .

⇒ ∃sup(A) inf (A)

Dim.teorema Sia l'insieme di certe sezioni; devo vericare che esista il

A = (E , E )

− +

minimo dei maggioranti. Per denizione, se

(F , F ) := supA

− +

1. cioè ;

∀(E ∈ ≤ ⊂

, E ) A, (E , E ) (F , F ) E F

− − − − −

+ + +

2. .

8

0 0 0 0

∀(F ⊂ ∀(E ∈ ⇒ ⊂

, F ) : E F , E ) A F F

− − −

+

− − −

+

Sicuramente l'unione degli non qualcosa in più (lo voglio il più piccolo possibi-

⊂

E F

− −

. Verichiamo sia una sezione e valgano le due proprietà

le). Denisco S E

F := −

− (E ,E )∈A

− +

precedenti.

1. per denizione; per prendo un maggiorante di A che esiste perchè l'insieme

6 ∅ 6 ∅

F = F =

− +

è limitato superiormente. Prendiamo razionale, perchè se per assurdo

0

∈ ⇒ ∈

y y F y F +

+

, per denizione di . Ma per denizione (per

∈ ∈ ∈ ⊂

y F F , y E , (E , E ) A E F

− − − − − −

+ .

e

la 2) assurdo perchè l'elemento non può stare in 0

0

⇒ F

F −

+

2. per denizione

3. ∈ ⇒ ∃(E ∈ ∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈

y < x F , E ) A : x E y E y F

− − − − −

+

4. 0 0

∈ ⇒

x E : x > x x inF

− −

Per come abbiamo denito le due proprietà, esse risultano valide.

8 Ogni altro maggiorante deve essere maggiore dell'estremo superiore di A

Capitolo 2

Successioni

Denizione Una successione è una legge che associa ad ogni un numero reale .

∈ ∈

n N a R

n

E' una collezione di numeri naturali indicizzati dai reali.

Denizione (successione convergente) Una successione si dice convergente (per →

a n

n

) a , in simboli

∈

+∞ l R oppure →

lim a = l a l

t→+∞ n n

se . Qualunque prendo, posso trovare un indice

∀ ∈ ∃ν ∈ ⇒ |a −

> 0, R, N : n > ν l| <

n

per cui la distanza tra e sia minore di ; a patto di prendere abbastanza grande, posso

a l n

n

avvicinarmi a quando voglio.

l .

|a − ⇔ − − ⇔ −

l| < < a l < l < a < l +

n n n

Da un certo punto in poi i punti della successione non escono dalla striscia, e questo deve

(ν)

valere per ogni sempre più piccolo.

Denizione (parte intera) ∈ ≤

[x] = max(n N : n x)

Denizione (disuguaglianza triangolare) ∀a, ∈ ≤ |a| |b|

b R|a + b| +

Dim.disuguaglianza triangolare

∀a ∈ ±a ≤ |a|

R,

Quindi |a ≥

+ b| = a + b, (a + b) 0

|a − −

+ b| a b, (a + b) < 0

Vale inoltre .

||a| − |b|| ≤ |a + b|

Dim. . Per ottenere

|a| |(a − |(a ≤ |a |b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a

= + b) b| = + b + (−b)| + b| + + b|

l'altra disuguaglianza basta applicare lo stesso ragionamento a b.

|b| |(a − |(a ≤ |a |a| ⇒ |b| − |a| ≤ |a

= + b) a| = + b + (−a)| + b| + + b|

−|a ≤ |a| − |b| ≤ |a ⇔ ||a| − |b|| ≤ |a

+ b| + b| + b|

Teorema (unicità del limite) Se è convergente, il limite è unico.

a n 9

10 CAPITOLO 2. SUCCESSIONI

Dim.teorema (per assurdo) Supponiamo , diversi tra loro, entrambi limiti della

0

∃l, ∈

l R

successione. Applicando la denizione

∀ |a −

> o∃ν : n > ν , l| <

n 0

0

0 |a − |

∀ , l <

: n > ν

> o∃ν n

Prendiamo : devono valere entrambe le disuguaglianze.

0

|l−l | 0

< ,n > max(ν , ν )

2 0 0 0

|l − | |(l − − ≤ |a − |a − |

l = a ) + (a l )| l| + l < 2

n n n n

0 0

|l−l | |l−l |

⇒ > , <

2 2

assurdo.

0 0

|l−l | |l−l |

⇒ ⇒

<

2 2

Denizione(denitivamente) Una proprietà di una successione vale denitivamente se

vale maggiore di un , ssato.

∀n ∈ ∈

N n N

0

Denizione (successione limitata) Una successione si dice limitata superiormente (ri-

spettivamente inferiormente) se ∃M ∈ ≤ ∀n ∈

R : a M, N

n ]

∈ ≥ ∀n ∈

[∃m R : a M, N

n

Una successione si dice poi limitata se lo è sia superiormente che inferiormente. 1

Teorema (convergente limitata) Se è limitata.

→ &ra