Analisi (calcolo 1)

X

s = 1 + c + ... + c = c =

n n+1

1 + c

k=0

Quando facciamo tendere all'innito, il comportamento della serie dipenderà dal limite

n

della successione e quindi in denitiva da . Si hanno vari casi

n+1

c c

1 ∈

c R 23

24 CAPITOLO 4. SERIE NUMERICHE

|c|<1 In questo caso risulta

• n+1

lim c = 0

n→∞

e dunque la serie geometrica converge, e la sua somma è

∞ 1

k

P c =

k=0 1−c

;

c>1 In questo caso si ha

• n+1

lim c = 0∞

n→∞

e dunque, tenendo conto che il termine del denominatore è minore di zero, si ha

−

1 c ∞

lim a =

n→∞ n

diremo allora che la serie diverge;

c=1 In questo caso non possiamo usare la formula (4.2) perchè se tutti i termini

• c = 1

della serie sono e dunque . Di conseguenza, anche in questo caso la serie

1 s = n + 1

n

diverge;

c=-1 In questo caso la successione assume alternativamente i valori e e pertanto

• −1

1

le somme parziali assumono alternativamente i valori e . Di conseguenza la serie è

0 1

indeterminata, cioè non converge nè diverge;

c<-1 Abbiamo un comportamento simile al precedente, con la successione che assume

• s n

alternativamente valori positivi e negativi, che in valore assoluto tendono all'innito.

Abbiamo di nuovo una serie indeterminata.

Riassumendo si ha 1 |c| < 1

1−c

∞ k ≥

P c = diverge c 1

k=0 ≤ −1

indeterminata c

Denizione (serie telescopica) In generale, se i termini di una serie sono del tipo

a k

−

a = b b

k k k−1

si ha n − − − −

P

s = a = b b + b b + ... + b b = b b

n k 1 0 2 1 n n−1 n 0

k=1

e di conseguenza, se la successione tende a un valore nito :

b b

n

∞ −

P a = b b

k k 0

k=1

Serie di questo tipo si chiamano serie telescopiche. 25

4.1. SERIE A TERMINI POSITIVI

4.1 Serie a termini positivi

Un posto particolare hanno le serie a termini positivi, cioè le serie con , infatti per

≥

P a a 0

k k

queste serie la successione delle somme parziali è crescente, e quindi ha sempre limite. si tratta

solo di stabilire se questo sia nito (e in questo caso la serie converge) o (la serie diverge).

+∞

Abbiamo dunque il seguente teorema.

Teorema Sia una serie a termini positivi, e sia la successione delle somme parziali.

P a s

k n

Se la successione è limitata superiormente la serie converge, altrimenti diverge a . In

s +∞

n

questo caso le somme parziali forniscono approssimazioni per difetto.

Un risultato analogo vale per le serie a termini negativi, che possono solo convergere o

divergere a ; in questo caso le somme parziali forniscono approssimazioni per eccesso.

−∞

Denizione (serie armonica) Con questo nome si indica la serie

∞ 1

P

k=0 k

che essendo a termini positivi può essere convergente o divergente: in questo caso, la

successione delle somme parziali risulta non limitata superiormente, per cui la serie diverge.

4.1.1 Criteri di convergenza

L'esempio della serie armonica mostra che il fatto che il termine generico di una serie tenda

a n

a zero non è suciente a garantirne la convergenza: una seria può divergere anche se i suoi

termini diventano innitesimi. La condizione è però necessaria.

→

a 0

n

Teorema Se la serie è convergente, allora la successione è innitesima.

∞

P a a

k n

k=0 lim a = 0

n→∞ n

Dimostrazione Se la serie converge, la successione delle somme parziali ha un limite

s n

nito . Lo stesso avverrà per la successione e quindi

s s n−1

− −

lim a = lim (s s ) = s s = 0

n→∞ n n→∞ n n−1

Il teorema ci dà una condizione necessaria per la convergenza: anchè una serie converga

è necessario che il termine generico tenda a zero. Come tutte le condizioni necessarie essa

può però essere usata per dimostrare che una serie non converge: infatti se si troverà che la

successione non tende a zero, la serie non potrà essere convergente, ma sarà divergente

P

a a

n n

o indeterminata. Sorge dunque il problema di trovare condizioni sucienti: nel caso di serie a

termini positivi, è spesso utile confrontarle con altre serie, di cui si conosce la convergenza o la

divergenza.

Criterio del confronto

Siano e due serie e supponiamo che per ogni intero si abbia

P P

a b n

k k ≤ ≤

0 a b

n n

Allora, se la serie converge, converge anche la serie e si ha

P P

b a

n n

26 CAPITOLO 4. SERIE NUMERICHE

∞

∞ ≤ P

P b

a k

k k=0

k=0

Viceversa, se la serie diverge, allora diverge anche .

P P

a b

k k

In altre parole, se converge la serie più grande converge anche la più piccola, se diverge la

più piccola, diverge anche la più grande.

Dimostrazione Indichiamo con le somme parziali delle due serie; si ha ovviamente

s , t

n n

. Se ora la serie è convergente, le somme parziali saranno minori della sua

≤ P

s t b t

n n n n

somma T ∞

n ≤ P

P b = t

b

t = k

k

n k=0

k=0

Poichè saranno minori di anche le somme parziali della serie , che essendo

≤ P

s t t a

n n n

a termini positivi risulterà pertanto convergente. Siccome poi tutte le somme parziali sono

s n

minori di , lo sarà anche il loro limite, per cui

t ∞

∞ ≤ P

P b

a k

k k=0

k=0

Se invece la serie diverge, deve divergere anche l'altra, perchè se questa converge, per

P a k

quanto appena dimostrato dovrebbe convergere anche la .

P a k

Attenzione! Il teorema non è valido se le serie non sono a termini positivi.

In generale la serie ∞ 1

P

k=1 p

k

è convergente per ogni , divergente per .

≤

p > 1 p 1

Criterio del confronto asintotico

Siano due serie a termini positivi, e supponiamo che si abbia

P P

a , b

n n a

lim = L < +∞

n

n→∞ b

n

Allora, se la serie converge convergerà anche la serie .

P P

b a

n n

Dimostrazione .

Dalla denizione di limite si ha che a

∀ ∀n − < L +

> 0∃N : > N L < n

b

n

In particolare si può prendere ed usare il secondo lato della diseguaglianza; esisterà allora

= 1

un valore per cui per ogni . Per questi allora

a

N < L + 1 n > N n

n

b

n 0 < a < (L + 1)b

n n

e poichè la serie converge, convergerà anche l'altra serie.

P P

(L + 1)b = (L + 1) b

n n

Osserviamo che se risulta allora si ha anche

L > 0 b 1 ∞

lim = <

n

n→∞ a L

n

e dunque in questo caso la serie converge solo se converge la serie . Normalmente

P P

a b

n n

le serie con cui si confronta sono quella geometrica o anche la serie armonica generalizzata

∞ 1

P

n=1 α

n 27

4.2. SERIE A TERMINI DI SEGNO VARIABILE

che converge se , diverge se . In particolare, data una serie a termini

≤ P

a > 1 a 1 a n

positivi risulta a

a ∞

lim n a = lim <

n

n→∞ n n→∞ 1

na

allora la serie converge, se invece si ha

P a

n lim na = L > 0

n→∞ n

allora la serie diverge, infatti in questo caso il criterio del confronto asintotico restituisce

come limite e quindi la serie data si comporta come la serie armonica, che diverge.

L

Criterio della radice

Sia una serie a termini positivi, e supponiamo che risulti

P a n 1 = L

lim a n

n

n→∞

Se la serie converge, se diverge.

L < 1 L > 1 1

Dimostrazione Supponiamo prima . Preso .

1−L 1−L

∃N ∀n

L < 1 = , : > N a < L + =

n

n

2 2

Di qui segue che per si ha

n > N 1−L n

)

a < (

n 2

La serie a destra è una serie geometrica di ragione e quindi converge; per il criterio del

< 1

confronto convergerà anche la serie data. 1

si ha da un certo in poi e quindi

Se ora , prendendo 1+L

L−1 −

> L =

N a

L > 1 > n

n

2 2

1+L n

) > 1

a > (

n 2

In particolare, la successione non tende a zero, quindi la serie diverge.

a n

Criterio del rapporto

Sia a termini positivi, e supponiamo che risulti

P a n a

n+1

lim = L

n→∞ a

n

Se la serie converge, se diverge.

L < 1 L > 1

Dimostrazione Si usa lo stesso procedimento utilizzato per il criterio della radice. 2

4.2 Serie a termini di segno variabile

I risultati mostrati no ad ora richiedono tutti che le serie in questione siano a termini positivi

(o almeno lo siano da un certo punto in poi); essi cessano di valere se viene meno questa ipotesi.

2 Giusti pg. 210-211

28 CAPITOLO 4. SERIE NUMERICHE

Assoluta convergenza

Teorema Sia una serie qualsiasi, e supponiamo che la serie dei valori assoluti sia

|a |

P P

a k k

convergente. Allora converge anche la serie di partenza, e si ha

∞

∞ |a |

| ≤

| P

P a k

k k=1

k=1

Una serie per la quale converge la serie dei valori assoluti si dice assolutamente con-

P a k

vergente. Il teorema precedente si può allora enunciare dicendo che una serie assolutamente

convergente è convergente.

Possiamo applicare il teorema dell'assoluta convergente in combinazione con dei criteri del

paragrafo precedente (confronto, radice, rapporto). Si ha allora

1. Se e la serie converge, allora converge anche la serie e dunque

|a | ≤ |b | |b | |a |

P P

n n n n

anche la serie ;

P a n

2. Se 1

|a |

lim = L < 1

n

n→∞ n

la serie converge e dunque converge anche la serie . Se invece , la

|a |

P P a L > 1

n n

successione non tende a zero, e quindi la serie diverge, e la serie non

|a |

P P

a a

n n n

converge;

3. Se risulta |a |

n+1 = L< 1

lim

n→∞ |a |

n

la serie converge e di conseguenza converge la serie . Se invece la

|a |

P P a L > 1

n n

successione non tende a zero, e quindi la serie diverge, e la serie non

|a |

P P

a a

n n n

converge;<