Analisi (calcolo 1)

Calcolo I

Indice

• Numeri reali 5
• Successioni 9
• 2.1 Operazioni coi limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
• 2.1.1 Limiti finiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
• 2.1.2 Limiti infiniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
• Sottosuccessioni 19
• 3.0.1 Il numero di Nepero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
• Serie numeriche 23
• 4.1 Serie a termini positivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
• 4.1.1 Criteri di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
• 4.2 Serie a termini di segno variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

34 INDICE

Capitolo 1

Numeri reali

Definizione Una sezione di e' una coppia di insiemi che soddisfano queste proprietà: Q (E , E ) − +

1. 6 ∅E = −

2. 1∩ ∪E E =, E E = Q − −+ +

3. 2≤ ∈ ⇒ ∈y x E y E − −

4. non ha massimo E −

Osservazione Se . Se ciò non fosse, cioè se , ∈ ⇒ ∀x ∈ ≤ ⇒ ⇒ ∈y E y > x, E y x 3 y E − −+ cioè assurdo. ∈ ∩ ⇒ ∅ ⇒y E E 2 = − +

Definizione numero reale L'insieme dei numeri reali è l'insieme delle sezioni di . Un R Q è una qualunque sezione di . Q

Definizione (relazione d'ordine) se . 0 0 0 ≤ ⊂(E , E ) (E , E ) E E − −+ − −+

Allo stesso modo, per due numeri razionali ≤ ∈ ⇔ ≤x y, x, y Q E (x), E (x)) (E (y), E (y)) − −+ +

Definizione (somma) con 0 0 0 0 0 ∈ ∈(E , E ) + (E , E ) := (F , F ) F := (x + x : x E , x E ) − − − −+ + − −+

Verifichiamo che sia una sezione. (F , F ) − +

1. ; per verificare che prendo e considero la loro somma: 0 0 6 ∅ 6 ∅ ∈ ∈F = F = y E , y E − + + +

mostro che non appartiene a . Procediamo per assurdo. Se 0 0 ∈ ∃x ∈ ∈F y + y F , E , x − − − 0 0 0 E : y + y = x + x −

Ma 1 Sono una partizione di Q 2 e' una semiretta E −

56 CAPITOLO 1. NUMERI REALI

con 3 0 0 0 0 0 ∈ − − ∈ ∈ ∈ , y E 0 < y x = x y < 0 y E , x E , x E − + − +

2. ∩ ∅F F = − + perchè complementari ∪F F = Q − + . Se chiamo

3. Prendo con . Sarà 0 0 0 0 0 ∈ ∈ ∈ − ∈z Q : z = x + x x E , x E z x < x , x E − + −, sarà per ordinamento. Chiamo poi per cui 0 0 0 − ∈ ∈u = z x u E u = x, x E − − 0 0 0 0 ∈ ∈z = u + x = u + u , u E , u E − −

Quindi ∈z F − . Poichè non esiste

4. Prendiamo un elemento 0 0 0 ∃u ∈∈ ∈ ∈ max(E ),x + x F , x E , x E −− − −

Allo stesso modo, . La somma per 0 0 0 0 0 ∃u ∈E : u > x > x u + u > x + x , (u + u ) F − − qualunque elemento preso. non ha massimo. ⇒ F −

Definizione (esistenza elemento neutro) Nei razionali vale . La sezione x + 0 = x corrispondente a 0 è . Vorremmo che anche in ∈ ∈ ≥E (0), E (0)) = (x Q, x < 0), (x Q, x 0) − + fosse R (E , E ) + (E (0), E (0)) = (E E ) − −+ + , +

Verifichiamo che sia vero. Definisco . Devo verificare (F , F ) := (E , E ) + (E (0), E (0)) − − − −+ + +

0 0 ∈F := (x, x , x E , x < 0) = E − − −

Ho perchè . Allora . Verifichiamo il viceversa 0 0 0 ∈ ⇒ ∈ ⊂x + x < x, x E x < 0 x + x E F E − − − − − anchè sia valida l'uguaglianza.

4 ∃u ∈x inE , E , u > x − − ma il primo termine è e quindi tutto . Allora e i − ∈ ∈ ⊂x = (x u) + u < 0 u E F E F − − − − − due coincidono.

Allo stesso modo vale ∈E (x), E (x)) + (E (y), E (y)) = (E (x + y), E (x + y)) ∀(x, y) Q − − −+ + +

Definizione (esistenza elemento opposto) Definiamo opposto di la sezione (E , E ) − + al che (F , F ) − + ∈ 6 −F = (−y := y E , y = min(E ))F = Q F − −+ + +

Verifichiamo che sia una sezione.

1. perchè , e così anche ; 6 ∅ 6 ∅ 6 ∅F = E = F = − − +

2. per definizione;

3. −y, ∈ 6x < y E , y = min(E ) + +;

5 −x ∈ ⇒ ∈> y, y E x F −+

3 deriva dal fatto che è maggiorante di ∈y E E E −+ +

4 Vero perchè non ha max E −

5 Se ho un numero maggiore di un elemento di , anch'esso sta nell'insieme e sicuramente non ne è il minimo E + perchè > y

7 4. non ha massimo perchè il suo opposto non ha minimo. F E − +

Verifichiamo la validità dell'opposto. (E , E ) + (F , F ) = (E (0), E (0)) − − −+ + +

− ∈ ∈ 6(G , G ) := (E , E ) + (F , F ) = (x y : x E , y E , y = min(E )) − − − −+ + + + +

Poichè sia e quindi questo elemento , cioè abbiamo ∈ ∈ ⇒ − ∈x E , y E x y < 0 E (0) − −+ dimostrato la prima inclusione.

Prendiamo ora ; vogliamo che per cui . ∈ ∃x ∈ ∈ −z Q, z < 0 E , y E z = x y − +

Se . Procediamo per assurdo, cioè se non fosse così avremmo ∈y E , y + z inE −+ .

6 ∀y ∈ ∈E , y + z E , y + z < y + +

Ma allora anche e così via, cioè , ma allora sarebbe , ∈ ∀n ∈ ∈y + 2z E N, y + nz E E = Q + + + ma di conseguenza e abbiamo per ipotesi che entrambi non sono vuoti. ∅E = −

Definizione (prodotto) 0 0 0 0 ≥ ≥ ⇒E , E ) 0, (E , E ) 0 (E , E )(E , E ) = (F , F ) − − −+ + + − −+ +

dove 0 0 0 0 ≥ ∪ ∈∈ ≥ ∈ , x 0) (z Q, z < 0F = (xx , x E , x 0, x E − − − −

F = Q F −+

Verifichiamo che sia una sezione.

1. per definizione 6 ∅F = −

Per dimostrare prendo e voglio vedere che il loro 0 0 0 6 ∅ ∈ ∈F = y E , y > 0, y E , y > 0 + + + prodotto stia in . Procediamo sempre per assurdo. F +

Se . Poichè è tutto positivo, posso 0 0 0 0 0 0 ∈ ∃x ∈ ∈yy F , E , x > 0, x E , x > 0 : yy = xx − − − dividere senza cambiare verso della disuguaglianza, quindi

7 0y x= < 11 < 0x y

ma il primo termine è il rapporto tra un numero e uno assurdo. ∈ ∈ ⇒E E −+

2. per definizione

3. Prendiamo ; ci chiediamo se vale . 0 0 0 0 ∈ ∈ ⇒ ∈z < xx <∈ F , x E , x > 0, x E , x > 0 z F − − − − , ossia come

Dividiamo per . Allora scrivo come 0 0 0z z z ∈ ∈→ ⇒< x E E xx z z = − − x x x prodotto di un elemento e uno in . 0 ∈ ⇒ ∈E E z F − −−

4. . Poichè per ipotesi non hanno massimo, 0 0 0 0 0 ∈ ∈ ∈xx F , x E , x > 0, x E , x > 0 E , E − − − − −.

0 0 0 0 0 0 0 ∃u ∈ ∈ ∈> x, u E , u > x , u E : uu > xx , uu F − −−

Definizione (prodotto sezioni non positive)

6 Ricorda che z < 0

7 perchè vale ∀y ∈ ∈E , x E x < y −+

8 CAPITOLO 1. NUMERI REALI

000000 −[−(E≥ ⇒• )], E) = , E )(E, E) 0 (E , E )(E, E(E , E ) < 0, (E −−− +++ −−− +++

0 0 0 0 0 0 • ⇒ −[−(E(E , E ) < 0, (E , E ) < 0 (E , E )(E , E ) = , E )][(E , E )] − − −+ + + − − − −+ + +

Teorema (assioma di completezza) Dato un insieme limitato superiormente o ⊂A R inferiormente o . ⇒ ∃sup(A) inf (A)

Dim. teorema Sia l'insieme di certe sezioni; devo verificare che esista il A = (E , E ) − + minimo dei maggioranti. Per definizione, se (F , F ) := supA − +

1. cioè ; ∀(E ∈ ≤ ⊂, E ) A, (E , E ) (F , F ) E F − − − − −+ + +

2. . 8 0 0 0 0 ∀(F ⊂ ∀(E ∈ ⇒ ⊂, F ) : E F , E ) A F F − −+ − − −+

Sicuramente l'unione degli non qualcosa in più (lo voglio il più piccolo possibi- ⊂E F − −. Verifichiamo sia una sezione e valgano le due proprietà le). Definisco S EF := −− (E ,E )∈A− + precedenti.

1. per definizione; per prendo un maggiorante di A che esiste perchè l'insieme 6 ∅ 6 ∅F = F = − + è limitato superiormente. Prendiamo razionale, perchè se per assurdo 0∈ ⇒ ∈y y F y F ++, per definizione di . Ma per definizione (per ∈ ∈ ∈ ⊂y F F , y E , (E , E ) A E F − − − − − −+ . e la 2) assurdo perchè l'elemento non può stare in 0 0 ⇒ FF −+

2. per definizione

3. ∈ ⇒ ∃(E ∈ ∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈y < x F , E ) A : x E y E y F − − − − −+

4. 0 0 ∈ ⇒x E : x > x x inF − −

Per come abbiamo definito le due proprietà, esse risultano valide.

8 Ogni altro maggiorante deve essere maggiore dell'estremo superiore di A

Capitolo 2

Successioni

Definizione Una successione è una legge che associa ad ogni un numero reale . ∈ ∈n N a Rn

E' una collezione di numeri naturali indicizzati dai reali.

Definizione (successione convergente) Una successione si dice convergente (per →a nn) a , in simboli ∈+∞ l R oppure →lim a = l a l t→+∞ n n

se . Qualunque prendo, posso trovare un indice ∀ ∈ ∃ν ∈ ⇒ |a −> 0, R, N : n > ν l| < n

per cui la distanza tra e sia minore di ; a patto di prendere abbastanza grande, posso a l n n avvicinarmi a quando voglio. l .

|a − ⇔ − − ⇔ −l| < < a l < l < a < l + n n n

Da un certo punto in poi i punti della successione non escono dalla striscia, e questo deve (ν) valere per ogni sempre più piccolo.

Definizione (parte intera) ∈ ≤[x] = max(n N : n x)

Definizione (disuguaglianza triangolare) ∀a, ∈ ≤ |a| |b|b R|a + b| +

Dim. disuguaglianza triangolare ∀a ∈ ±a ≤ |a|R,Quindi |a ≥+ b| = a + b, (a + b) 0|a − −+ b| a b, (a + b) < 0

Vale inoltre . ||a| − |b|| ≤ |a + b|

Dim. . Per ottenere |a| |(a − |(a ≤ |a |b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a= + b) b| = + b + (−b)| + b| + + b| l'altra disuguaglianza basta applicare lo stesso ragionamento a b.

|b| |(a − |(a ≤ |a |a| ⇒ |b| − |a| ≤ |a= + b) a| = + b + (−a)| + b| + + b|

−|a ≤ |a| − |b| ≤ |a ⇔ ||a| − |b|| ≤ |a + b| + b| + b|

Teorema (unicità del limite) Se è convergente, il limite è unico. a n

9 10 CAPITOLO 2. SUCCESSIONI

Dim. teorema (per assurdo) Supponiamo , diversi tra loro, entrambi limiti della 0∃l, ∈l R successione. Applicando la definizione ∀ |a −> o∃ν : n > ν , l| < n 0 0 0 |a − |∀ , l < : n > ν> o∃ν n

Prendiamo : devono valere entrambe le disuguaglianze. 0|l−l | 0 < ,n > max(ν , ν ) 2 0 0 0|l − | |(l − − ≤ |a − |a − |l = a ) + (a l )| l| + l < 2n n n n 0 0|l−l | |l−l |⇒ > , <2 2

assurdo. 0 0|l−l | |l−l |⇒ ⇒<2 2

Definizione (definitivamente) Una proprietà di una successione vale definitivamente se vale maggiore di un , fissato. ∀n ∈ ∈N n N0

Definizione (successione limitata) Una successione si dice limitata superiormente (rispettivamente inferiormente) se ∃M ∈ ≤ ∀n ∈R : a M, Nn ] ∈ ≥ ∀n ∈[∃m R : a M, Nn

Una successione si dice poi limitata se lo è sia superiormente che inferiormente. 1

Teorema (convergente limitata) Se è limitata. → &ra