Analisi armonica e di Fourier

Analisi armonica e di Fourier

• Algebra di Banach, C*-algebre
• L¹(G) L^q(G), l^q(G) con G gruppo locale compatto abeliano, casi particolari: G = IR, G = Z, G = T (I ≡ [0, 1]) / s = 1
• L¹(IR)
• Buoni nuclei
• Funzione ai meteerorsa
• Fenomeno di Gibbs

Folland, A course in Abstract Harmonic Analysis (fino a pagina 16)

Rudin, Fourier Analysis on Groups

26 Febbraio 2018

IR² = C?

• Analiticamente sì (come sapere dai ex)
• IR² lo consideriamo come spazio vettoriale, e C simul logico vettoriale spazio retinuale complesso di dimensione 1, ma algebricamente no
• Topologicamente sì
• {(x, y)}₁ = √x² + y²
• |z| = √(x + iy)(x - iy) = x² + y²
• Possiamo definire una distanza

IR^d spazi di Banach = spazio vettoriale normato completo

Analisi armonica e di Fourier

• Algebra di Banach, C*-algebre
• L¹(G) L^q(G) con G gruppo locale compatto abeliano, casi particolari G = IR, G = Z, etc
• ⊕L¹(IR)
• Buoni nuclei
• Funzione di Weierstrass
• Fenomeno di Gibbs

Folland, A course in Abstract Harmonic Analysis (fino a pag. 16)

Rudin, Fourier Analysis on Groups

26 Febbraio 2018

IR² = ℂ?

• Inalcanzabilmente sì (come sapere dai di)
• IR² lo consideriamo come spazio vettoriale, e ℂ=IR constatato inoltre come spazio vettoriale complesso ha dimensione 1, ma algebricamente NO
• Topologicamente sì
• d[(x,y)]=√x² + y² |z| = √(x+iy)(x-iy) = x² + y²

Possiamo definire una distanza

IR^d spazi di Banach = spazi vettoriale normato completo

Che è uno spazio di Banach con un'ulteriore operazione interna:

E × E → E che sia bilineare e associativa, cioè (x + y)z = xz + yz, x(y + z) = xy + xz

Non è detto che sia commutativo e inoltre "compatibile" con la norma, cioè ‖xy‖ ≤ ‖x‖ ‖y‖.

Un'algebra di Banach, si dice se è definito un operatore tale che

• (1) x * x° = x° x ∀ x ∈ A
• (2) (x + y)° = x° + y° ∀ x, y ∈ A
• (3) (x²)° = x² * ∀ x ∈ A ||.|| crescente

Esempio 1

C è un'algebra di Banach e ha che x * = x E uno * operatore con involuzione non è commutativo nel caso di matrici reale = trasposta nel caso di matrici complesse * = trasposta coniugata

Esempio 2

Anche le ⟨N⟩ Hilbert, un qualsiasi C con, la Banach operatori normali

Es operatore limitato con norma algebra di Banach cm A: IR² → IR² e → hIR → h dove h è spazio di Hilbert1[H B(H)] ≠ 0 1 ≤ 1

1T(x)1111T112 11T112 x ≠ 011T(x)11 = 11 11211 per esistente (x, y) * = y * x *

Una ^*-algebra di Banach è anche una C^*-algebra di Banach se ||z^*z|| = ||z||²

Nota: si può vedere che ||z||² = ||z^*|| infatti ||z||² = ||z^*z|| = ||z^*|| ||z|| ∀ z ≠ 0 ⇒ ||z|| = ||z^*||

Adesso dato ||x|| ≤ 1 ho che ||z*|| = ||x^*x|| con x* al posto di x ||x^*x|| = ||x^*|| ||x|| = ||x||² → ||x^*|| ho che ||x||² ≤ 1 ⇒ x^*x

Ora, dato ⊙ ho che ||x^*x|| = ||x^*|| ||x^*|| ||x|| ≤ ||x^*||² - ||x||²

Quindi ho ||x^*x|| = 1 ∴ ||x^*x|| = ||x||²

Siano A, B algebre un'applicazione lineare φ : A → B è anche OMOMORFISMO se φ(x^y) = φ(x) φ(y) ∀ x, y ∈ A

Se A e B sono ^*-algebre allora φ è anche ^*-OMOMORFISMO se φ(z^*) = φ(z)^* ∀x ∈ A

Sia S ⊂ A un'algebra. Dico che A è insieme GENERATO da S se A = {combinazione lineare finita o prodotti finiti di Elementi di ^∞^j = 1, T 2 x^(j) − 2 x^(j) →}

Esempio 1

Sia K compatto e considero A = (Ś(K)) insieme delle