Analisi armonica e di Fourier

Analisi Armonica e di Fourier

• Algebra di Banach, C^*-algebre
• L¹(G), L^∞(G), L¹(G) con G gruppo locale compatto abeliano
  • casi particolari G = ℝ^d, G = ℤ, G = ℤ/mℤ = ℤ_m, G = ℤ/nℤ
• L²(ℝ)
  • buoni nuclei
  • funzione di Meyer-rosa
  • fenomeno di Gibbs

Folland, A Course in Abstract Harmonic Analysis (fino a pagina 16)

Rudin, Fourier Analysis on Groups

ℝ² = ℂ?

26 Febbraio 2018

1. Sperimentalmente sì
   • (come sapere ℝ dei)
2. ℝ² lo vediamo come spazio vettoriale, e il sim-lagattico
   • unico come spazio vettoriale quando ha dimensione 1 ma algebricamente no

3. topologicamente sì

{(x, y)|t = √(x²+y²)}

|z| = √z = |√(x+ijŷ(x+jŷ)) = √(x²+ŷ²)

Possiamo definire una distanza ℝ^d spazi di Banach = spazio vettoriale normato completo

Che è un'algebra di Banach con un'operazione interna

che sia bilineare e associativa

• (x+y)z = zx + yz
• (x+y)z = zx + yz

e inoltre compatibile con la

norma cioè ||xy|| ≤ ||x|| ||y||

Un'algebra di Banach si dice

Banach se è definita un'operatore tale che

1. x** = x ∀ x ∈ A
2. (x+y)* = x* + y* ∀ x, y ∈ A
3. (x²)* = x* ∀ x, z ∈ A

L'operazione di algebra per un vettore

Esempio 1

C'è un'algebra di Banach e m c

vedo ℂ → ℂ

vettore reale

falso

Esempio 2

Anche le matrici quadrate formano

l'algebra di Banach

nel caso di matrici reali T = trasposto

nel caso di matrici complesse T = agiunto

operatori limitati formano una

coefficiente semisomma con norma

||H|| = spazio di Hilbert

||T(ξ)||

x ≠ 0 ||x|| = 1

• (xy)* = y* x*

e verifichiamo che è una ^*-algebra su Banach

• ∀ a ∈ H con ||a||=1
• μ= ||T**T_B(b)(t)|| ≥ ||T||² ||a||

ESEMPIO 4

(a*_nx)_m

• PROPRIETÀ: ||a * b||=||a|| ||b|| ∀ a,b ∈ t

PROPRIETÀ

(e - x) S_N = e - x^N+1 e ho che

S_N (e - x) = e - x^N+1

Per quanto riguarda la convergenza

^∞∑ |x^m| ≤ ^∞∑ |x|^mm=0                                                m=0

|x|─ ≤ |x| |y| (perché compatibiltà dei prodotti della norma)

⇒ convergenza assoluta ⇒ convergenza in un algebrico ai Banach

lim   (e - x)         ∑ x^m  =    lim    (e - x) S_N                 m=0 N→∞                                            m=0             N→∞

limN→∞

e - x^N+1 = e

infatti lim   x^N+1 = 0 infatti lim                        |x|^N+1 = 0     (N→∞)                                                                               N→∞                                                                                                 

da cui ho(e-x)^∞∑   x^m   = e                                                                            m=0

= (e anche

(∑ ^∞x^m) (e - x) = e)

LEMMA

lim         (e - x)^-1 - e  = (con |•x•|•β

x→0                                                                                                                       

(e - x)^-1 - e= (∑ ^∞ x^m) - e                                                                                   &

Poniamo _|x|→∞ ^lim ||R_λ(x)||=0 (⇑ = ^lim Ra(x)) def

allora B_|x|→1

dove B_|x|→1 = { a ∈ C : |a| ≤ |x|∥y|

Dim

Consideriamo ^lim _a→ao R_a(x) - R_ao(x) / a-a_o

= ^lim _a→ao (a-a)R_a(x)R_ao(x) a-a_o

= -R_ao(x) ^lim _a→ao R_a(x) = -(R_ao(x)) ² α∈

^lim _|x|→∞ ||(ae-x)^-1|| = ^lim _(a)→ao ||(e-1/λ x)^-1|| × 1/|a||

e dunque è α∈

(iii) Sia a ≠ Θ(x) ovvero a ∉ C ≠ Θ(x)

Allora abbiamo ae-x è invertibile in A Ma l'insieme A’ degli elementi invertibili è aperto in A

Allora ∃ε>0 tale che B_ε