Analisi 3 - Sintesi Teoria

Serie di potenze

DEF: Ʃf_n = a_n (X - X₀)ⁿ = Ʃ_M=0^∞ a_n (x - x₀)^M = a₀ + a₁(x-x₀) + a₂(x-x₀)²

Teorema della convergenza puntuale

Ʃ_n=0^∞ a_n xⁿ una serie di potenze centrali nell'origine L = max_n √|a_n|

Allora la serie converge se |x|<R non converge se |X| > R

Dim:

L = max_n √|a_n| |x| < R |x|>R

∑ |a_n| Xⁿ + Ʃ {1/( |x| )}ⁿ Ɛ 0 allora |a_n| < L + _{Ɛ = {null}})

Ʃ |x|^E A ∞ Ʃ_Ɛ>0 Σ ( ∑ |a_n| Xⁿ ) > ( ∑ ( ∑ ( ∑|a_n| Xⁿ ) > ( ∑ ( L - Ɛ )

Teorema convergenza totale

Ʃ_n=0^∞ a_n xⁿ una serie di potenze con R > 0; sia O < E < R allora la serie converge totalmente in [-R+Ɛ , R-E]

Dim:

fm(x) = an x^m [ |f_m| = fm(x) | ≤ |a_n| R - (1)

norma < ∞ di una ft che può convergere)

DEF: Convergenza puntuale f_n(x) → f(x) ∀x ∈ E ∀Ɛ>0 ∃ N ∈ ℕ : ∀ n ≥ N → |f_m(x) - f(x)| < Ɛ

DEF: Convergenza uniforme f_n → ƒ uniforme in E ∀Ɛ>0 ∃ N_{f(x) + Ɛ} ∀ n >

Comanda: ƒz ∞ una non esprimibile in serie di potenze?

ƒ(x) = e^x2, x ≠ 0

0, x = 0

Teorema di Abel

∑ a_n xⁿ = f(x) | R=1 ∀ x ∈ (-1,1)

allora lim_x→1 f(x) = ∆

alcuni casi

S_m(x) = ∑_k=0^m c_k x^k = c₀ + ∑_k=1^m (∆_k - ∆_k-1) x^k

∑_k=0^m ∆_k x^k = g₀ + ∑_k=1^m ∆_k x^k - ∑_k=1^m ∆_k x^k+1

= c₀ + ∑_k=1^m ∆_k x^k - x ∑_k=1^m ∆_k x^k

= ∆_m x^m + (1-x) ∑_k=0^m ∆_k x^k = (1-x) ∑_k=0^m ∆_k x^k

piche per x < 1, ∆_m è limitato

f(x) = lim_m S_m(x) = (1-x) ∑_m=0^∞ ∆_m x^m

∆ = lim_m ∆_m = (1-x) ∑_m=0^∞ x^m

|f(x) - ∆| = (1-x) ∑_n=0^∞ (∆_n - ∆) x^m

1. ∆_n - ∆ ≤ 0 ∀n 2. M ≥ ∆ = ∑_n=0^∞ (∆_n - ∆) x^m + (1-x) ∑_{m > n}^∞ (∆_n - ∆) xⁿ

(ν+1) 2M (1-x)

∀ε>0 ∃δ>0 i - x < x ≤ 1 => |f(x) - ∆| < ε e col lim_x→1 f(x) = 3

Teorema di convergenza totale

f è regolare e tutte in E - T - I, f(x) 2π periodica, ∀ x ∈ *

Se ∫ approssima f in C (I R) in particolar e ∫ (f * π) ≈ f (f * π). Allora S_n ⇒ f totalmente in R.

Dim

f(x) = (x)

f(x) = ∑_k 1_nX_k, Ψ(x) come vi pare { X₁, X_k 2π periodicità

a_n = -¹/_π ∫₋₁^π f(x) dx

b_n = ∫^π_−π ^{f(x) cos(nx)}/_π =

a_n = ∑^∞_m=1(a_ncos(nx))

^{∑_m=1∞ (a_n +β*_m)} _{∞ m=1} 1 ^c_n

¹ ≤ 1