Analisi 1 Sintesi Teoria

DEF:

Un INSIEME è una collezione di elementi detti:

Proprietà:

• I
• E
• ⊂
• ⊆
• ∪
• ∩
• /
• Ø

Insiemi numerici:

Axiomi di Peano:

• (1, N)
• 1 Ø
• 1 = a
• σ(a) 6 = 1
• σ(a) = σ(b)

(a ∈ N)

Relazione di Equivalenza:

1. x ∼ x (riflessiva)
2. x ∼ y ⇔ y ∼ x (simmetrica)
3. x ∼ y ∧ y ∼ z ⇒ x ∼ z (transitiva)

Proprietà di campo:

1. Prop. associativa
2. Prop. commutativa
3. Elem. neutro
4. Elem. inverso
5. Prop. di annullamento
6. Prop. distributiva
7. Elem. reciproco
8. Elem. opposto

Gruppo abeliano: gruppo + commutativo

C:

z : z = a + ib, z̅ = a - ib, |z| = √² + b²

Formula di De Moivre:

z = ρ(cos θ + i sin θ), z̅ = ρ(cos θ - i sin θ), 1/z = ρ^-1

De Moivre: zⁿ = µ[cos(nθ) + i sin(nθ)]

modulo, moltiplicazione esponenti si sommano

a = ρcosβ, b = ρsinβ, θ = arctg(b/a)

C NON è un campo ordinato

Dim:

Supponiamo che esista un ordine x

1 > 0 ∧ 2 > 0 ⇒ 2 > 1² ∧ 0

MAGGIORANTE

Dato l'insieme A ⊆ ℝ, K ∈ A (Maggiore set)

K ≥ a ∀ a ∈ A

MINORANTE

Dato l'insieme A ⊆ ℝ, K ∈ A (Minour set)

K ≤ a ∀ a ∈ A

A è LIMITATO SUPERIORMENTE se possiede almeno un Mag.

A è LIMITATO INFERIORMENTE se possiede almeno un Min.

Un insieme è LIMITATO se è limitato sia superiormente che inferiormente.

MASSIMO (maggiore dei maggioranti)

x₀ ∈ E ⊆ ℝ è il Massimo ↔ x₀ ≥ x ∀ x ∈ E

MINIMO (minore dei minuranti)

x₀ ∈ E ⊆ ℝ è il Minimo ↔ x₀ ≤ x ∀ x ∈ E

L'estremo e il minimo sono unici

Estremo superiore

i

• sup (E) = +∞
• E non limitato
• ∀ α: E infinito

ESTREMO INFERIORE

∈ ℝ

DEF: Un INSIEME è una collezione di elementi detti

Relazioni di Equivalenza:

• x = x (riflessiva)
• x ~ y y ~ x (simmetrica)
• x ~ y, y ~ z => x ~ z (transitiva)

C

• z = a + ib, z̄ = a - ib, |z| = √(x² + b²)
• i = √(-1)

z = ρ (cos θ + i sin θ), z̄ = ρ (cos θ - i sin θ), |z| = ρ De Moivre: zⁿ = ρⁿ (cos (nθ) + i sin (nθ)), Identità geometriche

• a) 3 > 2 i > 0 i ≤ 0 i ~.
• b) 2 i > 0 i ~ (-1) i ~ - (x² < 1).
• x ∉ ℝ

MAGGIORANTE

Dati l'insieme A ⊂ ℝ, K ∈ A; K è Maggiorante (≤)

K ≥ a ∀ a ∈ A

A è LIMITATO SUPERIORMENTE

se esiste almeno un Magg.

MINORANTE

Dati l'insieme A ⊂ ℝ, K ∈ A; K è Minorante (≥)

K ≤ a ∀ a ∈ A

A è LIMITATO INFERIORMENTE

se esiste almeno un Min.

Un insieme è LIMITATO se è limitato sia superiormente che inferiormente.

MASSIMO (minimo dei maggioranti)

x₀ ∈ E ⊂ ℝ e Massimo (≤) x₀ ≥ x ∀ x ∈ E

MINIMO (minimo dei minori)

x₀ ∈ E ⊂ ℝ e Minimo (≥) x₀ ≤ x ∀ x ∈ E

L'estremo e il minimo sono UNICI

ESTREMO SUPERIORE

E ⊂ IR

• sup (E) = ∞
• E non è limitato
• c ≠ ∅

ESTREMO INFERIORE

E ⊂ IR

• inf (E) = -∞
• a ≠ ∞

Teorema fondamentale dell'algebra

Ogni polinomio a coefficienti complessi di grado n

P(t) = a_ntⁿ + ... + c_nt + c_n

ammette almeno una soluzione complessa t ∈ ℂ. P(t_n) = 0

Quindi P(t) = (t - t₁) Q(t) → P_nisimo di grado n-1

Corollario

se P(t) = 0 una equazione di grado n. Allora ammette n soluzioni:

Q(t) = a₀(t - t₁)

_{(t - tn)}

Spazio Metrico (X,d)

• d(x,y) ≥ 0, d(x,y) = 0 ↔ x = y
• d(x,y) = d(y,x)
• d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z) → Disuguaglianza Triangolare

in ℝ :

• |x - y| ≥ 0
• |x| + |y| = |x + y| → x + y = x
• |x - z| ≤ |x - y| + |y - z| = |x - y| |y - z|

in ℂ :

• t + u + v = 0 ↔ 1-bc
• |t-u| - |u-t| * |v - t| →

INTRODUZIONE

U ∈ X intorno intorno a x₀ ↔ ∃ B(x₀,ε) ⊂ U ↔

intorno contiene il punto x

* (X,μ) Striscia ape