Analisi 1 Sintesi Teoria

DEF:

Un INSIEME è una collezione di elementi detti:

Proprietà:

I, E, ∈, ⊂, ⊂, ∪, ∩, ∖, ∅

Relazioni di Equivalenza:

• x ∼ x (rif.)
• x ∼ y ⇔ y ∼ x (simmetrica)
• x ∼ y ∧ y ∼ z ⇔ x ∼ z (transitiva)

C:

i² = -1; z = a + ib; z̅ = a - ib; |z| = √(a² + b²); i = √-1

|z|² = (a + ib)(a - ib) = a² + b²

MAGGIORANTE

Dato l'insieme A ⊆ ℝ, K ∈ ℝ, K è un Maggiorante (∃) K ≥ a ∀ a ∈ A

MINORANTE

Dato l'insieme A ⊆ ℝ, K ∈ ℝ, K è un Minorante (∃) K ≤ a ∀ a ∈ A

A

è LIMITATO SUPERIORMENTE se esiste almeno un M.

A è LIMITATO INFERIORMENTE se esiste almeno un m.

Un insieme è LIMITATO se è limitato sia superiormente che inferiormente.

MASSIMO (minimo dei Maggioranti):

x₀ ∈ E ⊆ ℝ e E ha un Max (∃) x₀ ≥ x ∀ x ∈ E

MINIMO (massimo dei Minoranti):

x₀ ∈ E ⊆ ℝ e E ha un Min (∃) x₀ ≤ x ∀ x ∈ E

L'estremo e l'infimo sono UNICI

ESTREMO SUPERIORE

E ⊆ ℝ

• i) sup (E) = ∞
• ii) E non è limitato
• iii) E ≠ ∅

ESTREMO INFERIORE

E ⊆ ℝ

Teorema Fundamental della Algebra

Sia p(t) un polinomio algebrico complesso in p(t) = c_nt^m + ... + c_mt + c_n, ammette almeno una soluzione complessa ∈ ℂ se (*z - ξ) ∈ ℂ, allora p(t) = 0

Corollario

Se p(t) = 0 ammette una equazione di grado n, allora ammette n soluzioni:

p(t) = c_n(t - t_i)

Spazio Metrico (X, d)

1. d(x,y) ≥ 0
2. d(x,y) = 0 → x = y
3. d(x,y) = d(y,x)
4. d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z) Disuguaglianza Triangolare

ℜ

• d(x,y) ≥ 0
• |x - y| = |y - x| ≥ 0 → x + y = y + x
• |x - z| ≤ |x - y| + |y - z| = |x - y + y - z| = |x - y| + |y - z|

Se ∈ ℂ ∈ ℜ, la ∀ x - i x - 🌲, B(x_o, ε) ∈ X_ε

• 1) |u + v| 0 |u - w| = |u' - v| 0 |u' - v + i v' 0 |u| 🌲 | u | + |v| * (1 + |u| + 2 * Re(u * v))
• 2) cos(|u| 🌲 |u| + |i v/uv|)
• 3) |u| 🌲 (|u| + |v| 🌲)|u| + |w| * (1 + |u|)
• 4) Complemento $\subset$ di $u$

Intorno

U ⊂ X intorno intorno ha x_o ∈ ∅ ∃ B(x_o, ε) ⊂ X_∅ x_o intorno U dentro frontiere circo partizionato (constante ≠ punto x_o)

• (X,t) Sfera aperta B(x_o, ε) ∃ ∈ X, d(x,x_o) ≤ ε (con ε ≠0)
• Sfera chiusa B(x_o, ε) &nef; z(x, d(x, x_o) ≤ ε (con ε > 0)

Proprietà

1. U ∈ ∪ U(x_o) ⇒ x_o ∈ U
2. U ∈ ∪ U_k ∈ ∪U ∈ U ∈ ∪U_k
3. Un U_k ∈ ∪ U(x_o) = ∫ U_k ∈ U(x_o)
4. U ∈ ∪U(ξ)

U ∈ ∪U(x) → ∃ epsilon ∈ 0: B(x_o, ε) ⊂ X_o

• V = B(x_o, ε), ma ≠ ∈ V d(y,x_o) < ε
• ε' = ε - d(x_o, y) > 0

ε ∈ V ∈ U

DEF. Sottosuccessione/estratta

...

Prop.

Se _kn limite = L allora anche qualsiasi sottosuccessione avrà lo stesso limite

Dim.

∀ ε > 0 ∃ 1/ε ∀ n ≥ 1 un tal |ε|

ε si avrà bn = b_nr

... un attributo di b_n...

Insieme Compatto

K ⊆ X → K è compatto ↔ ∀ X_n X_m ⊆ K |X_m j_j <x X_n i_i i_e m lim X_n - X

Un compatto è chiuso

(⇒)

Dim.

Se immonda K non è chiuso, allora ∃ x ∈ K ∀ ∀ n ∈ N X_n ∈ B(x_o)... K ≠ j più glamour lim X_n ∈ X

Un compatto è limitato

if x_o/∈ X, x