Analisi 2 - Sintesi Teoria

DEF:

Il gruppo vettoriale (V, +, ·) sul campo K.

Nota:

|| x || = √_i=1ⁿ Σ(x_iy) = || y − x ||

DEF:

U ⊆ V un dio combinazione lineare di v₁...v_n con coefficienti λ₁...λ_n t appross. V = λ₁v₁ + ... + λ_nv_n = Σ λ_jv_j

DEF:

U ⊆ V un KL n-uple

(1) U = U e V è chiamato lo span(v)

(2) λ₁ == solo su tutto (1 ≤ i ≤ n, λ_i ≠ 0 allora n_j)

R_α = Σ_i=1ⁿ λ_jy

DEF:

U₁, U₂ ... U_n ∈ U sono perinsimifei “indipendenti” (ie.

Σ λ_iv_i + λ_av_a = 0 λ_i = λ_n = 0)

DEF:

U₁U_n ⊆ ∪U → una parte libera

U₁...V_m sono lim. unilip.

DEF:

U₁U_n ⊆ V ⊆ A una prereura di propria incflondazione

V ∈ U₁...U_n (versione universale con i . di tutto trl hugr. raised above)

U ⊆ K_j nel ⌈V∑(j=1, λ)ⁿ y_j

=₁

Bose

Identità:

Generazione: Base in V_U = V : U₁ ... U_n è parte libera e riferimento di generazione

Suppose e_U un n-K U₁ ... U_n ⊆ PL manore

U_n ... U_n € E Base

U_n ... U_n ⊆ SdG&x in Klima

Dim:

=>

U_n...U₁ ⊆ PL maneir se λ_j ΣU_i λ₁ ... un Σ_j=1^j λ_j y_j pero dimunta Vi & è PL

allora e anche SdG

=>

QUID

=>

Ovvia

(Se non forma SdG...un V_i se...e Σ_j=i)

DEF: V V₀ su K, W <= U si dice sottospazio vettoriale di V <= > W <= U su K

Prop.: U <= V, dim V <= => 1)

• v ∈ U => λ ∈ K => λv ∈ W (somma inf. somma e prod. x scalare)
• u,v ∈ U => λu + v ∈ W

∀α∃β∈IR³ s.t.

• Prima per o intere per O O

DEF: Se V su IR di dimensione finita ∃ V_n Base di V (ampio, fini...)

Dim.: Se facciamo w ∈ W_m, 1λw_n// V_n. poiché V_m = Base ∃λ lim W_n W_⅓

• Quindi λV_x = individuo unico N stessa dim B ½

Teorema della Dimensione

Se v V su K di dimensione finita. Siano l w V. W si dice Base di V. Allora N = M

Regola di Cannone:

Sia v₂ cuo dic. di ·. cuo dic. di Alumina

dim (w_{1 +} v₁) dim (W_⅔)

DEF: Un A₃ di R dice prodotto scalare de una funzione < >

1. < V , W > ≥ 0 ∀ V ∈ U (definito positivo)
2. < v , v > = 0 <=> v = 0
3. < v , w > = < w , v > (simmetrico)
4. < λv + μz, w > = < λv, w > + μ < z, w > ∀ λ, μ ∈ R ∀ v,v₁, ω ∈ V (lineare)

Lemma (Disuguaglianza di Cauchy–Schwarz)

Sia w ∈ R con p, < > <v, v ω> ≤ <U, v >²> <w & W >+ W, W

Dim: Basta mostrare ciò

< U, w > = < u, ⍌ W > < > w ⍌ W

Ip

• 2. ⟨A^&sub2; w > < &sub1; + > 0 = < L^&sub40; α+>+< => W → ind

  Applicazione lineare (commutazione)

  f(λ v₁ + μ v₂) = λ f(v₁) + μ f(v₂)

  ∀ λ, μ ∈ K , ∀ v ₁ , v ₂ ∈ V

  Prop: V,W vari su K

  dim(W)(=) β _W = { w₁ … w_n }

  dim(W^!) : βW = {w₁ … w_n }

  f(u) = μu₁ + … + μ u_n

  B_{V}

  d_(λ)(μ )

  °a(→)

  f(u₁)

  ＼

  A(l ^λ) ／

  ＼

  azione matrix passage

  de B_{v}\K=e B_{v}\e M\2 matica N\(M e e e non cres column

  di column

  dei vetoni di B_{V}\K_matto nella vecchia base

  DEF: Una mat da m×m

  = A in K^m×m

  non diooanu invesi se det1 ≠ K ^m×m det(M) ≠ 0 → A _k = A^-1

  DEF: A ∈ K n die triangolare ≠ mA in K det(M) ≠ 0  ∃M ^{i^N} F ↻

  →_{lth_sx}

  "\frac{"

  diagonalale excel

  DEF: Si dice polinono caratteristico di A ∈ K^{m × m} (^\()x ) det(A − xI(Of^grano^)

  Prop