Esercizi di Analisi 2

Contenuto esercizi scheda

Conti es. 4

A₁₄ = \[\begin{pmatrix}1 & -5 \\2 & 9\end{pmatrix}\]

det = \[\begin{vmatrix}\lambda - 1 & 5 \\-2 & \lambda - 9\end{vmatrix}\]= (\lambda - 1)(\lambda - 9) + 10 = (\lambda - 13)\lambda.

\lambda₁ = 13, \lambda₂ = 0

A₁₅ è den.def.inito negativo

A₁₅ = \[\begin{pmatrix}11 & -8 \\15 & 23\end{pmatrix}\]

det = \[\begin{vmatrix}\lambda - 11 & 8 \\-15 & \lambda - 23\end{vmatrix}\]= (\lambda - 11)(\lambda - 23) + 120 = \lambda^2 - 34\lambda + 333 = 0

\lambda_1,2 = \frac{38 \pm \sqrt{76}}{2} = 19 \pm \sqrt{76}

\lambda₁ = 15 < 0, \lambda₂ = 15 > 0

A₁₅ è indefinito

Es 2

f(x,y) = e^-x(1 - e^-y)

f: R² → R

∇f = (2xe^x(1-y), e^-x(-2xy))

∇_y = (0, -2xy^e-x)

(-2x+2y, e^-x(-2xy), 2y) = (e^-2x+2y/_e - x)

f_xx = e^-x(1 - (e^-y))

Lim f₀ = e^-2x+2y/_e - x

Lim f_y = 2y/_e^x = 0

Lim f_xy = 1 - 2/sub(e

Punto critico

{-2x+2xy/e^x = 0}

{2x/e^x = 0}

(x/e^x)₀/{2 + 2y} = 0

(2y/e^x)

{2y/e^x = 0}

(x/e^x)₀/{2 - 2y} = 0

{x/e^x = 0}

{x = 0}

(x = 0/e^x = 0})

(0,0):

{-2xy/e^x = 0}

{-2y/e^x = 0}

(0,0) pro cubo

y = e^x

∇

Ex 3

f(x,y) = xy(x-1 - 2x + y) = xy - 6x²y + 1x³y²

∇f = (y-12xy, y -2x) = 6x²1xy

Punto critico

{y - 2xy = 0}

{x/y = 1, xy = 1}

(x - 6x¹xy = 0)

Ex 6

f(x,y,z) = x⁴ + y⁴ + z⁴ - 12xy - 8xz + 16

∇f (x,y,z) = (4x³ - 12, 4y³ - 12, 4z³ - 8)

Hessf = ( 12x² 0 0 )( 0 12y² 0 )( 0 0 12z² )

Punti critici

case 1){x=3 {x=6 {x=6y=0 -> y=√3 -> y=-√3z=0 z=0 z=0Vet = {(6,0,0), (6,√3,0), (6,-√3,0) }

Hessf(6,0,0) = ( 432 0 0 )( 0 0 0 )( 0 0 -288 )

det=(-λ) * det {432, -288}= (-λ) (432*288)= -λ * 432 * -288λ₃ = 0Λ₁ = 0, Λ₂ = 720, λ₃ = 0Λ₃ = 0

Hessf(6,√3,0) = ( 432 0 0 )( 0 1296 0 )( 0 0 -288 )= ESPAX COME RANGO DEF. POS.Λ₁ = 0, Λ₂ = 1296, λ₃ = 0

(6,0,0) = SECU(6,√3,0) = MIN LOC(6,-√3,0) = MIN LOC

Hess(0,0)=⎛_{2 0}⎞⎜_{0 1}⎟⎝⎠

det⎜_{z-1 zx-1}⎟=(z-2)(0-4)-16=-8

λ₁²-4+16=0 λ=2±3√2/6 ±2√2/2 λ_1,2=1 ±√3 INDEFINITA

Hess(0,-1)=⎛_{2 0}⎞⎜_{0 1}⎟ESTATAMENTE CONE PRIMA

INDEFINITA

Hess(2,-1)=⎛_{2 0}⎞⎜_{0 4}⎟

λ_1,2λ₁=2/0 α λ_1,2α

⁽□⎵□Ƚø⁾

inum(2,-1)

ESERCIZIO

ϕ(x,y)=x²+2y²x²+y²

∇ϕ⎜_{2 x 2y - 2x}⎟

Hess⎜_{2 2x}⎟

Punto critico

⎜_{2y + 0}⎟ ⎜⎜₀⎟⎟ VET ⎜⎜_x=0⎟⎟

⎜_{ug - 2y+0}⎟ ug x - 0⎜⎟

VET ⎟ g=0⎟⎟

(x=3) (δ+1) (g-)(y=5) (x=2) (x=-2)

Hess((z,z-1))⎜_⎞⎟

Hess(0,z)=⎛ z 0 ⎟ λ_1,2/_₁₀ DEF NEG

Hess(0,-1)=⎜⎜+0∴u

⟨12⟩⟦»⟧yλ¹λ₁

λ²+u-4/8=0 Fu α=gλ₂^1,2CB

INDEFINITE

ES 39

f(x,y) = x³ + y³ − xy

T(∇) = (3x² − y, 3y² − x)

Hess = ( 6x -1 )      ( -1 6y )

Punti Critici

{3x² − y = 0    2yx³ − x = 0y = x³}{y = 3x²x(2x² − 1) = 0}

[ 0   0 ]

( 0, 0 )_SECA

ES 40

f(x,y) = x³ - 3y³ − xy

f: R² → R

T(∇) = (3x² − y, -9y² − x)

Hess = ( 6x -1 )      ( -1 -6y )

Punti Critici

{3x² − y = 0    -27x⁴ − x = 0y = x³}{y = 3x²x = 3x²}

( 0, 0 ) SECA

( 1 _{-1      3} ⁷ )_{MIN RR}

Esercizi fatti durante lezione

1. F(x,y) = (-xy, x²x+y)
2. w(x) = x
3. w(x) = ∫xy dx
4. w(x) = ∫(x²x) dx

(fx): ∂u/∂x = xy

U = ∫S xy dx = 1/2 x²y + C(y)

(fx): x³x = ∂u/∂y = d/dy (1/2 x²x + C(y)) = 1/2 x²x = C(y)

Ossia x³x + y = 1/2 x² x + C(y)

C'(y) non è = 0 quindi C(y) non è constante

Esercizi analisi dal libro

3.150 p.150

∂f(x,y)/∂x = e^-xcos (1+x²y²)

dy/dx = ∫ e^-xcos (1+x²y²)dy / (1+x²y²⁾

−∫ e^-xcos (1+x²y²) − ∫2xy(1+x²y²)dy / (1+x²y²⁾

∂f(x,y)/∂x = 2x∈ / 2xe^-x(1+x²y) / (1+x²y)

∂f(x,y)/∂y = x² ∈[cos(x) / (1+x²y²⁾

Es 4

∇F(x,y,z) = x ln x + y ln y

Trovare F

∂U/∂x = ln x + 1

∂U/∂y = ln y + 1

F(x,y,z) = (ln x + z, ln y + 1)

Es 5

∇F(x,y,z) = ( x / √[x²+y²], (2y³) / √[x²+y⁴] )

Trovare F

∂U/∂x = x / √[x²+y²]

∂U/∂y = (2y³) / √[x²+y⁴]

F(x,y,z) = ( x / √[x²+y²], (2y³) / √[x²+y⁴] )

Es 1

F(x,y,z) = (12x y² z⁶, ux y⁵ z⁵ + x⁶ y⁶ z⁴) Ω = R³

1. ∂F₁ / ∂x = 12 y² z⁶ ∂ / ∂y F₂(x,y,z) = ∂ / ∂x F₁(x,y,z) ✔
2. ∂F₁ / ∂y = x y⁵ z⁵ ∂ / ∂z F₂(x,y,z) = ∂ / ∂y F₁(x,y,z) ✔
3. ∂F₂ / ∂y = 12 x y z ∂ / ∂z F₁(x,y,z) = ∂ / ∂x F₂(x,y,z) ✔

Ω = R³ ⇒ Ω rotella (e convessa)

Es 2

F(x,y,z) = (12x y² z⁶, ux y⁵ z + x⁶ y⁶ y) Ω = R³

1. 8xy y³ z⁵ = 8x y³ z⁵ ✔
2. 2xy² = 2xy⁴ ✔
3. ux y³ z = ux y z ✘

∫_c(E) = ∫₀^x F₁(t,0) dt + ∫₀^y F₂(x,t) dt =

= ∫₀^x 5t² dt + ∫₀^y 3x t² + u t ³ dt =

= x³ + 5x y² + x y³

Check

2x⁵ - 3xy + y⁵ = F₂ ✔

5x⁴ - 3xy + uy ³ = F₂ ✔

∃ V è un pot di F

ES 4

F(x,y,z) = (e^x + 2xy z = y³, x² y x z = 2xy - e^x z x y³ + 1,1)

G(x,y,z) = (e^x + z x y² + x y², 3x ² y = z x y = x y, e^-x x y³ + 4)

F è esatta ☹

∫_c e^x + 2xy z +/= z x y✔

F non può essere esatta

G è esatta ☹

∫_A 2x² + 6x z

3x² y

G può essere esatto non esso fissato

G : Ω ⊆ ℝ

Ω è necessario (è es esatta)

G è esatta

Check

e^x = y! + 2xyz = δx ✔

-2 - zx y + 3x y! = G^z ✔

e^-x + x² y! = G_y ✔

∃ V è un pot di G