Analisi 2 - Teoria

DOMINIO REGOLARE

Un dominio regolare è decomponibile in un numero finito di domini, ognuno dei quali è un dominio regolare rispetto ad uno degli assi x,y.

Se D è un dominio regolare, le sua frontiera ∂D è unione di un numero finito di curve aventi in comune, a due a due, al più i punti estremi.Ogni dominio regolare è limitato e misurabile.

DOMINIO NORMALE E REGOLARE RISPETTO A x E y

- RISPETTO A x

Siano α: d(x) e β(x) due funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato [a,b]⊂ℝ, con a<x<b tali che d(x)≤β(x) ∀ x∈[a,b]

• D:{(x,y) ∈ ℝ²: a≤x≤b; α(x) ≤ y ≤β(x)}

Regolare se le due funzioni, oltre che continue, sono anche di classe C¹ in [a,b].

- RISPETTO A y

Siano γ: γ(y) e δ=(y) due funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato [c,d]⊂ℝ tale che γ(y) ≤ d(y) ∀ y ∈[c,d]

• D:{(x,y) ∈ ℝ²: c≤ x ≤ d; γ(y) ≤ x ≤ d(y)}

Regolare se le due funzioni, oltre che essere continue, sono anche di classe C¹ in [c,d].

Definizione di curva regolare e retta tangente

1. Sia I un intervallo chiuso e limitato _[a,b]. Diciamo che una curva φ: I → R² è regolare se l’applicazione di φ è di classe C¹ e in I: _[a,b]   ∀ t ∈ (a,b) il vettore φ'(t) = (x'(t), y'(t)) è diverso dal vettore nullo.

   Analiticamente (x'(t))² + (y'(t))² > 0   ∀ t ∈ (a,b).

2. Assegnati due valori distinti t₀ e t₁ ∈ (a,b) del parametro t, si considera la retta passante per φ(t₀) e φ(t₁) poiché tali punti hanno rispettivamente la coordinata uguale a (x(t₀), y(t₀)) e (x(t₁), y(t₁)) la retta ha equazione:

   (x - x(t₀))( y(t₁) - y(t₀)) - ( y - y(t₀))( x(t₁) - x(t₀)) = 0

   Se φ è una curva regolare, dividendo l’espressione precedente per t₁ - t₀ e ponendo al limite per t₁ → t₀ si ottiene la retta di equazione:

   (x - x(t₀)) y'(t₀) - ( y - y(t₀)) x'(t₀) = 0

   Essa è passante al vettore t'(t₀) di coordinate (x'(t₀), y'(t₀)) che viene detto vettore tangente alla curva nel punto φ(t₀), mentre il vettore unitario (versore) si chiama versore tangente.

Teorema di convergenza assoluta di una serie di potenze data la convergenza della serie in x₁ ≠ x₀

Se la serie ∑ a_k (x_k - x₀)^k converge in un punto x₁ ≠ x₀, allora converge assolutamente in tutti i punti x per i quali riesca |x - x₀| < |x₁ - x₀| ossia interni al cerchio di centro x₀ e raggio |x₁ - x₀|.

Infatti dimostriamo, per ipotesi, la serie ∑ a_k (x_k - x₀)^k converge e poniamo il suo termine generale, ovvero il modulo:

• ^∞∑ |a_k| |x₁ - x₀|^k ≤ M

Consideriamo il modulo del termine generale della serie data, per |x - x₀| < |x₁ - x₀| si può maggiorare così:

• |a_n (x - x₀)^k| = |a_k| |x₁ - x₀|^k | (x - x₀) / (x₁ - x₀)|^k ≤ |H| |(x_k - x₀) / (x₁ - x₀)|^k

La serie è maggiorata da una serie geometrica di ragione < 1 e quindi convergente. La serie ∑ a_k (x_k - x₀) quindi assolutamente convergente per |x - x₀| < |x₁ - x₀|.

Teorema di derivazione per serie

Se la serie ∑ φ_e(x) è convergente in un intervallo A ⊆ R , se le singole φ_e(x) sono derivabili in A e se la serie ∑ φ'_e(x) è uniformemente convergente in A, allora la funzione somma della serie data è una funzione derivabile in A e risulta :

• d/dx ∑ ^∞ l=1 φ_e(x) = ∑ ^∞ l=1 (d/dx φ_e(x))

Integrale curvilineo di una forma esatta e indip. dall'integrazione

Se la forma \( Xdx + Ydy + Zdz \) è un differenziale esatto in un campo connumo A, delle \( F(x,y,z) \) una qualunque sua primitiva e fissati comunque due punti P', P'' ∈ A per ogni curva generalmente regolare γ ⊆ C A, congiungente P' a P'' si ha:

\[\int_\gamma Xdx + Ydy + Zdz = F(P'') - F(P') \]

onde l'integrale curvilineo della forma non dipende dalla curva γ scelta per congiungere P' a P''. In particolare se P' = P'', cioè se γ è un'arbitraria curva chiusa generalmente regolare si ha

\[\int_\gamma Xdx + Ydy + Zdz = 0 \]

dimostrazione: Se γ è una curva regolare, tenendo conto del teorema di derivazione delle funzioni composte, ni ha:

\[\int_\gamma Xdx + Ydy + Zdz = \int_{t'}^{t''} \{f_x[x(t), y(t), z(t)] x'(t) + f_y[...]y'(t) + f_z[...]z'(t)\} dt = \]

\[= \int_{t'}^{t''} \frac{d}{dt} F [x(t), y(t), z(t)] dt = F[x(t''), y(t''), z(t'')] - F[x(t'), y(t'), z(t')]. \]

= F(P'') - F(P')

SERIE DI FUNZIONI (CONV. CONV. PUNT. CONV. UNIF.)

Considerate la serie di funzioni     \(\sum\limits_{l=1}^{\infty} \varphi_l(p)\) dove le \(\varphi_l(p)\) sono tutte definite in un medesimo insieme \(E \subseteq \mathbb{R}\), lo studio della serie riporta allo studio della successione \(\{f_n(p)\}\) delle sue somme parziali

\(f_n(p) = \sum\limits_{l=1}^{n} \varphi_l(p), \ \forall n \in \mathbb{N}\)

Diciamo che la serie è convergente in \(E\) se tale è la successione \(\{f_n(p)\}\) e poniamo

\(f(p) = \sum\limits_{l=1}^{\infty} \varphi_l(p) = f(p) = \lim\limits_{h \to \infty} f_n(p) = \lim\limits_{h \to \infty} \sum\limits_{l=1}^{h} \varphi_l(p)\)

La \(f(p)\) così trovata è la somma della serie analizzata.

La relazione nulla, tenendo conto che nel caso attuale la differenza \(f(p) - f_n(p)\) è la serie resto di ordine \(h\) data da

\(r_n(p) = \sum\limits_{l=h+1}^{\infty} \varphi_l(p), \ \forall p \in E\)

Affinchè però la serie sia convergente \(\forall p \in E\) è che valga

\(\lim\limits_{n \to \infty} f_n(p) = 0, \ \forall p \in E\)

Cioè comunque si ass. in \(E\) esista un \(U_\varepsilon(p): \ \forall h > U_\varepsilon(p)\) valga

\(\left| \sum\limits_{l=h+1}^{\infty} \varphi_l(p) \right| < \varepsilon \ \forall p \in E\)

Convergenza puntuale

\(\lim\limits_{h \to \infty} \left| \sum\limits_{l=h+1}^{\infty} \varphi_l(p) \right| < \varepsilon, \ \forall p \in E\)

Convergenza uniforme

Se la serie \(\sum\limits_{l=1}^{\infty} u_l(p), p \in E\) ha somme parziali equilmitsate, cioè \(\forall h \in \mathbb{N} \ \forall p \in E\) sia \(\left| \sum\limits_{l=1}^{h} u_l(p)\right| \leq M \)

Con \(M\) costante opportuna e se la successione di numeri reali \(\{c_1, c_2, \ldots, c_h\}\) è una annetta ed infinitesima, allora la serie \(\sum\limits_{l=1}^{\infty} c_l c_l(p) \ \text{è}\) uniformemente convergente in \(E\).