Analisi 2 - Teoria

Parte 3

SERIE

(Serie numeriche)

Sia (ak)_k∈N una succ. in IR poniamo Sm=Σ^m_k=0 ak=a0+...+am ∀m∈IN

Si dice che la serie Σ_k=0 ak converge se Sm converge e allora si pone

lim_m Sm=GR e si chiama somma della serie. (Sm)_k succ. delle somme parziali

Se la serie si dice convergente.

(Serie divergenti)

Se (Sm)_m è divergente allora Si dice che la serie diverge e se

alim Sm =± oo la serie è oscillante.

(Serie assolutamente convergente)

Sia (ak) succ. in IR, la serie Σ_k ak si dice assolutamente convergente se

Σ|ak| converge.

CRITERI DI CONFRONTO

Siamo (ak)_k∈N e (bk)_k∈N succ. reali non negative

Se 0 ≤ ak ≤ bk ∀k∈N

se Σ bk converge ⇒ Σ ak converge

se Σ ak diverge ⇒ Σ bk diverge

→ confronto asintotico: siamo (ak)_k∈N, (bk)_k∈N succ. reali non negative

ak = bk + o(bk) per k→+∞ ⇒ Σ ak converge ⇔ Σ bk converge

CRITERIO DEL RAPPORTO

Sia (ak)_k∈N succ. in IR a termini non negativi

1) se lim_k→+∞ a_k+1/a_k < 1 ⇒ la serie converge

2) se lim_k→+∞ a_k+1/a_k > 1 ⇒ la serie diverge

→ rapporto asintotico: sia (ak) succ. non negativa

1) se ∃ lim_k→∞ |a_k+1/a_k| = c < 1 ⇒ la serie Σ_k ak converge

2) se ∃ lim_k→∞ |a_k+1/a_k| > 1 ⇒ la serie Σ_k ak diverge

CRITERIO DELLE SERIE A SEGNI ALTERNI

(Serie a segni alterni)

Sia Σ_n(-1)ⁿ a_n con a_n ≥ 0. Si dice serie a segni alterni perché:

1) se k pari ⇒ (—k) ^0 ≥ 0

2) se k dispari ⇒ (—k) ^1 a_k ≤ 0

CRITERIO DI LEIBNITZ

Se (ak)_k∈N succ. decrescente, a_k≥0 se lim_k→∞ a_k=0 ⇒

⇒ Σ (—k)^n a_k è convergente

Complessi

Def (Num. Complessi) Sia dato l'insieme C dei numeri complessi: C = {(a,b), a,b ∈ R} con le operazioni: (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d); (a,b)∗(c,d) = (ac−bd, ad+bc) C è un campo con queste operazioni: elemento somma (0,0), elemento prodotto (1,0) Identifichiamo R con l'insieme {(a,0); a ∈ R} e poniamo i = (0,1) e verifichiamo i² = −1; i.e.: i·(1,0) = (1,0); i·(0,1) = (0,1); = −1.

Def (Forma algebrica) (a,b) = a+ib dove a+ib si chiama forma algebrica dei num. complessi. Diciamo che l'immaginario è identificato.

Def (Forma trigonometrica) Sia z ∈ C un numero complesso: z = ρ (cos θ + i sen θ) è definita come forma trigonometrica del numero complesso z = a+ib ed ρ = | | a + ib | |

Def (Radici n-esime) Sia M un numero naturale M ∈ N. In C un polinomio di 2° grado a coefficienti reali ha due radici (reali distinte), coincidenti, complesse e coniugate z ∈ C si dice esponenziale uniforme se z = |z| (ei θ) ed n-ima radice n-esima di z è necessariamente del tipo w = n |z| ei θ + 2kπ con k ∈ Z

Def (Prolunga di Cauchy)

Sia X : I → R con I intervallo di R tale che t₀ ∈ I. Diciamo che

Soluzione di Cauchy

$ \phi \in \mathcal{C}^{1} (I, \mathbb{R})$ 1) X ∈ C¹ (I,R) 2) ∀ t ∈ I $(\ \dot x (t) = \phi (x,t)) ) A$ 3) ∀ t ∈ I $ (s (t) = g (x (t), t)" ) )$

Se x(t) ∈ C(I,(I,R) $ = sol_\psi \ \varphi$ (toss) $ il \ problema \ di \ Cauchy \rightarrow \ \psi \in \ I.$

Teo (Unicità delle soluzioni)

Se |φ|, φ ∈ C(I,(I,R) ({t₀, x₀} ∈ A, il problema di Cauchy ha soluzione locale unica s < ∫ I, D ≡ {x ∈ C(I,ε] π₀, t₀) @} Rm e la soluzione è unica su ogni intervallo

Sia A ∈ Rn t⁻ aperto ≠ p = C¹ ((I, Rm) ({t_{0,x}}) ∈ A, il problema ha soluzione massimale unica e la soluzione z è la primitiva tale che x(t₀) x(t₀)

DEF. (INTEGRALE DI JACOBIANO)

Sia f : A→ℝⁿ apto, c ∈ A, sia f' differenziabile in c e detta matrice Jacobiana di f in c' la matrice associata

Jac_f(c)=(^∂f_i(c)/_∂xj)

Se f : ℝ^m→ℝⁿ , g : ℝ^p→ℝ^m c'è c' allora:

(^{∂f₁(c↑t)}/_∂xj)

a^t(ⁿ√x)-∑^{m 1/n}...

DEF. (DIFFERENZIALE DI COMPOSIZIONI)

Siamo A, C ⊂ ℝ apto, f : A→B e g : B→ℝ^k, c' ∈ A

Se f' è differenziabile in c' e g′ è differenziabile in g(c), si ha

g′∘f differenziabile in c' e:

d (g∘f)(c)=d (g)(^f(c))

TEO. VALORE MEDIO (LAGRANGE)

Sia f : [a,b] → ℝ continua, c