Analisi 2 - Teoria

Parte CIIT

Serie

Def. (Serie convergente)Sia (a_k) uma succ. in IR, poniamo S_m = Σ a_k a₀+...+a_m ∀ m ∈ IN Si dice che la serie Σ a_k converge se S_m converge e allora si pone _k lim S_m = GR e si chiame somma della serie. (S_m) = succ. delle somme parziali e la serie si dice conservatisi.

Def. (Serie divergente)Se (S_m) è divergente allora Si dice che la serie diverge e seΔ lim S_m = ∞ la serie è è assalome.

Def. (Serie assol. convergente)Sia (a_k) succ. in IR, la serie Σ a_k si dice assoluta convergente se Σ |a_k| converge.

Criterio del confronto

• Siamo (a_k)_k∈IN succ reali non negative.
• Se 0 ≤ a_k ≤ b_k ∀ k ∈ IN
• e Σ b_k converge ⇒ Σ a_k converge
• e Σ b_k diverge ⇒ Σ a_k diverge

⇒ confronto assimilato: siamo (a_k)_k∈IN succ reali non negative a_k = b_k + o(b_k) per k → ∞ ⇒ Σ a_k converge ⇔ Σ b_k converge

Criterio del rapporto

Sia (a_k)_k∈IN succ. in IR a terrmini non negativo

1. Se I < 1 : a_k+1 < ≤ I a_k ∀ k => la serie converges
2. Se I > 1 : a_k+1 > ≥ I a_k ∀ k => la serie diusinget

1. Se lim (a_k+1/a_k) = < L < 1
2. Se lim (a_k+1/a_k) = 1 and (a_k+1/a_k)

Serie AlternanteSia Σ (−1)^k a_k a_k ≥ 0 si dice serie a segni alternanti prot.

• (i) Se k pari ⇒ (−1)^k a_k ≠ 0
• (ii) Se k dispari ⇒ (−1)^k a_k < 0

Criterio di LeibnizSe (a_k)_k∈IN succ decrescente a_k ≥ 0 se Σ (−1)^k a_k è convergente

• ⇒ Se Σ (−1)^k a_k è convergente

PARTI e CITI

_CONFRONTO

Sia (a_k) una succ. in ℝ, poniamo S_m = a₀+...+a_m ᐧ m ∈ ℕ. Si dice che la serie Σa_k converge se S_m converge e allora S_m è successione delle somme parziali e la serie si dice CONVERGENTE.

_DIVERGENZA

Se (S_m) è divergente allora si dice che la serie diverge e se a lim S_m = ∞ la serie è DIVERGENTE.

_{ASSOL. CONVERGENZA}

Sia (a_k) succ. in ℝ, la serie Σ |a_k| si dice ASSOLUTAMENTE CONVERGENTE se Σ |a_k| converge.

_CRITERI

• Siamo (a_k), (b_k) succ. reali non negative. Se a_k ≤ b_k ∀k ∈ ε

_CONFRONTO

• Siano (a_k)_k∈ℕ, (b_k)_k∈ℕ succ. reali non negative

• Se ∀ (k ≥ 1): a_k ≤ b_k, tutte le due serie convergono o divergono
• → Se ∑ a_k converge, > a_k + b_k convergono: => ∑ a_k convergente ∑ b_k converge

_RAPPORTO

• Sia (a_k)_k∈ℕ succ. in ℝ.

• 1) Se l < 1, ∀k, a_k+1/ la serie converge
• 2) Se l > 1, ∀k, a_k+1/ l => la serie diverge

• → rapporti asintotici: sia (a_k) succ. non negativa

• 2) Se lim (k→∞) |a_k+1|/|a_k| < 1 => la serie converge
• 3) Se lim (k→∞) |a_k+1|/|a_k| > 1 => la serie diverge

_ALTERNATA

Sia ∑ (-1)^ka_k , a_k ≥ 0. Si dice serie di segni ALTERNANTI.

• 1) Se k pari => (-1)^k a_k > 0
• 2) Se k dispari => (-1)^k a_k < 0

_{CRITERIO DI LEIBNITZ}

Se (a_k)_k∈ℕ succ. decrescente, a_k ≥ 0 se lim (k→∞) a_k = 0 => ∑ (-1)^ka_k è CONVERGENTE.

(COMPLESSI)

DEF (NUM. COMPLESSI)Sia l'insieme C dei numeri complessi: H={(a,b), a,b ∈ R} con le operazioni:(a,b)+(c,d) = (a+c,b+d) ; (a,b)*(c,d) = (ac-bd,ad+bc)C è un campo con queste operazioni: elemento somma (0,0) , elemento prodotto (1,0)Identifichiamo R con {(a,0); a ∈ R} e poniamo i : (0,1) e verifichiamo i² = -1 ; i* : (0,1),(0,1) -> (-1,0) = -1

DEF (FORMA ALGEBRICA)(a,b) = a+ib dove a+ib si dìa forma algebrica dei num. complessi.Diciamo che M a+ib |