Analisi 2 (sunto)

Funzioni di più variabili reali a valori reali

Sia f(x) : ℝⁿ → ℝ = y dominio di f x vettore ∈ ℝⁿ

Viene definita funzione reale di dominio ⊆ ℝⁿ tramite in cui a ogni elemento di è associato un elemento L'immagine di è l'insieme L'immagine è l'insieme di valori associati a tutti vettori x : φ = {y ∈ ℝ | y=f(x) x ∈ dom f } f : dom f → ℝ φ = Im f

Il grafico φ = {(x,y) ∈ ℝⁿ⁺¹ | y = f(x) x ∈ dom f } {(x,f(x)) | x ∈ dom f} {(x,y) ∈ ℝⁿ⁺¹ | y = f(x)

Insiemi di livello

Un insieme di livello K è l'insieme dei valori x per i quali f(x) . k cost K E imm g-¹ (y) X ∈ dom( ℝⁿ | ℝⁿᵏ

Topologia in ℝⁿ

Un intorno di raggio r ∈ ℝ, di centro X₀ φ(x₀,r) :={x ∈ ℝⁿ | x₀·10 | φ(x) ∈ φx, 0 < |x - x₀| < δ} ε E ⊆ F C

Teorema sull'algebra dei limiti

Teorema di unicità del limite

(ipotesi) i limiti f g + f(x) → g(x) x → x₀(tesi) questo è unico

Teorema del confronto dei cambiamenti

(ipotesi) f(x) φ(x) ψ(x) (ipotesi) f = 0(tesi) indire i f(x) φ(x) ψ(x)

Condizione necessaria ma non sufficiente per l'esistenza dei limiti

Un punto x₀ differenze di ℝⁿ non è possibile stabilire un limite per esercitare dentro

Criterio sufficiente per l'esistenza dei limiti in ℝⁿ

Comporre il cambiamento di coordinate (x,y) c,x, perciò Y₀,p parecnindipendentemuovendod mandando l(x 0) c 0 (x1) (2δ→ (f(x_0) (=) f(x_0)).

Passi tutto precisando (il limite della f :\)

wevo differenza. Consideriamo tutti nom. og principali

la limitatezza il mondo itereale;

mo in [ (\sum |\text{}{x}_m,\ m ] \ge d_n m [\( \forall \, e_{m} ; \ m_n ; \mathbf{....}]

\text{cast} \neq M(\sum \left[ [\frac{\partial f}{\partial x_1}) (\frac{\partial f}{\partial x_1} )]

\text{osservazione:}

in \( \mathbb{R} \) la differenziabilità coincide con la derivabilità \Rightarrow la derivabilità implica la continuità

Teorema del differenziale

(ipotesi) \( d(x) : (x) \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \), fissiamo continuità [differenziale in U(x), e [...])

nel lle derivate parziali df f sono continue in x

(tesi) \( f \) differenziale in x

Interpretazione geometrica v(ос)

Piano tangente: Supposing ox pavens { fx: (x) \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} diff. x := x a deri proxima

nel costo: consideriamo jj (oggetti pointo grafico: tornare camo e lle [direzioni]

\(\sum[(f) (s) + (ringh; r in \Delta P = x_0 - 1, ) (end); + x_1, View at: De(np) = (x - x_0) + x_0 \le V bar

(vedyou \perp result mod. t, fv < and > real^3 integral)€[s, sel) e \{{x}dx}@dec ≤ll/ - pes ) assistiamo

sul li pum (quathy (postavm) - limit e R edifiziabilitimpart (ovo franco tang)"\] gono \)

cuple (provv)w taglio decilds {{ }}} g(x)

x(t) : [c,e) R^n : t |> x(t) con x(c) = x

x per ogni t in [c, e)

per ogni vicino (y,g(x)) = g(x(c)) con (y = g(x)), y=costa. (x(c)) = g(x)

Taylor sulla della funzione implicita da R^m a R^n:

Taylor sulla della funzione implicita di x(t) in un punto reale con o(e,0) derivata di x(t) in un punto

vicino.

Osservazione

deriva Lagrange (x(t),c,n) derivata del suo dominio

Taylor nella dimostrazione x(t), t >(i+1,i+n) uguale con o(e,0) calcolata in x

g(x,e) e per t_(c e anche

per g(x+0)

dominata da tutta calcolata di x(t) - x(t) a cui si applica la da n > m.

Per teorema della derivata Le prime funzioni di x(t) y, y >(i-1,i+n)), e.g., yp_(i) + yp_(n) |> x.

In altre parole Lagrange delle funzioni da R in Rⁿ la con;

c ^ Lora (V : U(x_0,c)) (Q) prima derivata di f^2 -> sup) c.

Estremi assoluti su insiemi compatti ("metodo diretto")

Per il test Vi(e, o), un insieme compatto K a confronto con (p la continua, quindi ha sempre o

perzero Insiemi di funzioni apertura e definizione di ^{(g(x+0) + g(x)}

punto), calcoli, ,

g(x +0), teoria aperta Le un for inclusione.

Restatogli Cauchy residue inoltre chiusa definita limitata in tinta. Tale ^u(x), vicina a punti q (o un test e per dividare che i). Tale dati punti successione di f_theta(n,2i+1) in a