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Funzioni in più variabili (nomenclatura)
lunedì 15 ottobre 2018
Il primo tipo di funzioni affrontate in questo corso sono funzioni reali di più variabili a valori scalari:
X ⊂ ℝn → ℝ n ≥ 2
Una seconda classe importante di funzioni è quella delle funzioni a valori vettoriali o campi vettoriali:
f: X ⊂ ℝn → ℝm con m ≥ 1, x(x) = [f1(x), ..., fm(x)], x per x ∈ X
dove fi(x) sono n funzioni a valori scalari, da X in ℝ.
Dominio naturale
Il dominio naturale di una funzione è il più grande sottoinsieme di ℝn per cui elementi ha senso scrivere f(x).
Intorno sferico
Dati x ∈ ℝn, ε ∈ ℝ, si dice intorno (sferico) di x di raggio ε (o palla di centro x e raggio ε) l'insieme:
Bε(x) = {y ∈ ℝn : d(x,y) < ε} = {y ∈ ℝn : ||x−y|| < ε}
Esempio:
Punto di accumulazione
L'insieme Sε(x)= {y ∈ ℝn : |x−y| = d(x,y)= ε} è delle sfere di centro x e raggio ε. Dalla definizione di intorno derivano ulteriori definizioni sui punti.
- Si dice punto di accumulazione p per E un generico punto x ∈ E, se per ogni intorno Bε(x) esiste y ∈ Bε(x)−{x} tale che y ∈ E.
- Si dice punto isolato di E se non è di accumulazione per E.
Insieme limitato
Un insieme E ⊂ ℝn si dice limitato se esiste punto tale che E ⊂ Br(x), ovvero esiste raggio tale che |xx|
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