Analisi 2 - parte 1

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Revisionato il 17/05/2026

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Serie di potenze. Richiami sulle serie numeriche: criteri di convergenza, convergenza assoluta e convergenza semplice. Serie di potenze in campo reale: proprietà principali; derivazione e …

Esame Complementi di analisi e statistica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Ferrario Benedetta

Università Università degli Studi di Pavia

A.A. 2013-2014

88 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Ripasso

I

y² ≤ x² ⇒

|y| ≤ |x|
y ≤ x
y ≤ -x
-y ≤ x ⇒ y ≥ -x

Nel I quadrante vale y ≥ x

II

A = {1, 2, 3}

B = {x ∈ ℝ: 2 < x < 4}

A ∩ B = {1, 3}

= {2, 3}

III

o(t) per t → 0 significa

lim_t→0 o(t)/t = 0

X ⇒ B allora

B ⇒ A
non A ⇒ non B
non B ⇒ non A

Ripasso

I

y² x² ⇒

y ≥ x
y ≤ x
-y ≥ x
-y ≤ x

Nel I quadrante val ò y ≥ x

II

A = {1, 2, 3}

B = {x ∈ R : 2 < x ≤ 4}

A ∩ B = {1, 3}

III

o(t) per t → o significa

lim_t→o o()/t = o

X

A ⇒ B allora

B ⇒ A
non A ⇒ non B
non B ⇒ non A

Fattore m = e^m _ln (m⁶) m^m m⁵ m!

log (m⁶) _ln m m⁵ e^m

(15)

circonferenza centro (x₀, y₀) raggio R

ellisse centro (x₀, y₀) e semiassi a, b

(x - x₀)² + (y - y₀)² = R²

(x - x₀)²_a + (y - y₀)²_b = 1

Serie numeriche

Dato una successione si adenom: a₀, a₁, a₂...

si chiama serie

∑a_k = a₀ + a₁ + a₂ + a_n + ...

Converge? - qualitativo

A quanto? - quantitativo

s₀ = a₀
s₁ = a₀ + a₁
s₂ = s₁ + a₂ = a₀ + a₁ + a₂
s₃ = s₂ + a₃

s_n = s_n-1 + a_n

Studiare il comportamento delle serie ∑a_k

significa studiare il comportamento delle successione delle somme parziali (risolta)

{ s_n }^∞_n=0

Def.

Si dice che la serie ∑a_n puo avere 3 tipi di comportamento

è convergente a un numero ∈ R → significa che

lim s_n = s

n → +∞

∑ divergnte a +∞, significa che

lim s_n = +∞

n → +∞

analogo per -∞

Esempio

a_k = ¹/_k² converge

a_k = ^-1/_k diverge a -∞

a_k = ¹/_k diverge a +∞

a_k = (-1)^k irregolare

Serie armonica

∑_k=1 ¹/_k = +∞ è la serie armonica

∑_k=1 ¹/_k^p converge se p > 1 diverge a +∞ se p ≤ 1

Serie geometrica

∑_k=0 q^k con q ∈ ℜ

diverge a +∞ se q ≥ 1
converge a ¹/_1-q se -1 < q < 1
è irregolare se q ≤ -1

Teorema condizione necessaria per la convergenza

1^a Se Σ_k=0^+∞ a_k converge

TS Allora lim_k→+∞ a_k = 0

Il viceversa non è veroÈ necessario ma non sufficiente

Useremo la controimmagine, cioè

Se lim_k→+∞ a_k non esiste o è diversoda 0 allora la serie Σ_k=0^+∞ a_k non converge

s_n = S_n-1 + a_na_n = S_n - S_n-1

lim_n→+∞ a_n = lim_n→+∞ (S_n - S_n-1) = lim_n→+∞ S_n - lim_n→+∞ S_n-1= S - S = 0

Resto di una serie convergente

Se Σ_k=0^+∞ a_k converge

Definiamo r_n = Σ_k=n^+∞ a_k = a_n + a_n+1 + ... (è una serie)

S = Σ_k=0^+∞ a_k = Σ_k=0^n-1 a_k + Σ_k=n^+∞ a_k

Σ_k=0^+∞ a_k = a₀ + a₁ + ... + a_n + r_n

Teorema

Per una serie convergente si ha che

lim _n→∞ a_n = 0

Serie a termini positivi e criteri di studio

a_n > 0 ∀k

confronti
confronto asintotico
a radice
a rapporto

Serie a segni alterni

a_k = (-1)^k b_k con b_k assolutamente positivo ∀k

Leibniz

Altri ca

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