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Ripasso
I
|4| ≥ x² ⇒
- 4 ≥ 1 · x¹
- x² ≤ 4
- -2 ≤ x ≤ 2
- -√2 ≤ x √2
Nel I quadrante
vale x ≥ x
II
A = {1, 2, 3}
B = {x ∈ ℝ : 2 < x < 4}
A ∩ B = { }
= {2, 3}
III
o(t) per t → 0 significa
lim (o(t)/t) = 0
t → 0
X → B allore
- B ⇒ A
- non A ⇒ non B
- non B ⇒ non A
fattorizzare m = em √m log(m6) m7 m5 m!
log(m6) √m m m5 em
(1)
una circonferenza centro (x0,y0) raggio R
ellisse centro (x0,y0) e semiassi a,b
(x-x0)2 + (y-y0)2 = R2
(x-x0)2/(a2) + (y-y0)2/(b2) = 1
Teorema
Per una serie convergente si ha che
lim n → ∞ an = 0
Serie a termini positivi e criteri di studio
an > 0 ∀k
- confronti
- confronto asintotico
- radice
- rapporto
Serie a segni alterni
ak = (-1)k bk con bk assolutamente positivo ∀k
Leibniz
Altra cosa
- Convergente assoluta
∑ k=1∞ sin k / k4 = sin 1 / 14 + sin 2 / 24 + sin 3 / 34 + sin 4 / 44 + sin 5 / 55 ...
Il segno dipende dal numeratore. Varie tra +1 e –1
Comportamento?
1 / kk Converge
sin k. ? → | sin k | ≤ 1
|ak| xk ≤ Mqk con M > 0
0 < q < 1
- Σ qk converge → serie geometrica, allora
- Σ Mqk converge → criterio confronto
Σ |ak xk| converge
C. Radice
Se k=0∞ αk xk è la serie di potenze
Se lim k√|αk| esiste (finito o ∞)
Allora si può determinare R
Ponendo L = limk→∞ k√|αk| si ha:
- 0 < L < ∞ ⇒ R = 1/L
- L = 0 ⇒ R = ∞
- L = ∞ ⇒ R = 0
1. Fisso x tale che -R < x < R con R = 1/L
Studio la serie numerica k=0∞ |αk| xk
k√|αk| xk = k√|αk| . k√|xk| ▻ k√|αk| . |x| ──>
per k→∞k≠0
L . |x| < 1
Uso criterio radice per la serie k=0∞ |αk xk| e devo che converge ⇒ x ∈ (-R, +R) ➡ converge
Esempio, in cui il risultato cambia a cambio
ordine dei limiti
an(x) = bn x
limx → 0 (limn → ∞ an(x) = limn → ∞ limx → 0 bn x = 0)
limn → ∞ bn x
±∞ se x>0
−∞ se x<0
DIVERSI
Prendo R>0 (fino a ∞)
-R - - - - - 0 - - - - - ±R
−R 0 ±x ±x2
prendo 0< x ≤ x n ≤ M
|ak xk| = |ak xk|||x||xn|
<M
∀ x ∈ [-r, r]
q ∈ (0, 1)
quindi: |ak xk| = |ak xk|||x||xn|
<= M qn
Teorema
I.P.
Sia data la serie di potenze
Se R>0;
Sia per ogni [-r; r] &subin; I (0<r R)
T.S.
∃ M>0; ∃ q ∈ (0, 1)
|an xn| ≤ M qk
∀ n ∈ N, ∀ x ∈ [-r, r]
da una serie
geometrica convergente
Generalizzando
f(x) = Σ ak (x - x0)k, x ∈ I ak = f(k)(x0) / k!
Allora una funzione converge se:
f(x) = Σk=0∞ ak (x - x0)k
Esempio
ex = Σ xk / k!, x ∈ R
sen x = Σ x0 = 0
f(x) = sen x → f(0) = 0, d0 = 0 f'(x) = cos x → f'(0) = 1, d1 = 1 f''(x) = -sen x → f''(0) = 0, d2 = 0 f'''(x) = -cos x → f'''(0) = -1, d3 = 1 / 3!
d2k+1 = (-1)k / (2k+1)!
Quindi: sen x = Σ (-1)k x2k+1 / (2k+1)! = x - x3/3! + x5/5! - x7/7!
L = limk→∞ |ak+1| / |ak| = limk→∞ (2(k+1)!) / (2k+1)! = limk→∞ 1 / ((2k+3)(2k+2)) → 0 → R = +∞
z = √(x2 + y2)
= g(√x2 + y2), con g(ξ) = ξ
Se y = 0 z = √x2 = x
Se x = 0 z = y
z = a - √ x2 + y2
z = x2 + a y2
1 = x2 + 4y2 ⇒ ellisse
100 = x2 + 4y2 ⇒ 1 = x2/100 + y2/25
PARABOLOIDE ELLITTICO
generale z = x2/a2 + y2/b2
IP
Sia D ⊆ Rm
x ∈ D
DEF
x è punto
- interno: ∃ Ur(x) ⊆ D
- esterno: x è punto interno del complementare Dc
- di frontiera: Θ (Ur(x) contiene punti di D e Dc)
Esempio
R(x, y) = √(3 - x2 - y2)/(ex - ey)
Δo = D excl valplo lo circunfer. Δ = circonferenza e segmento (-x)
Δ = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 3}
- p.to interno (1.5, 0.5)
- p.to esterno (4, 2)
- p.to frontiera (3, 0)
NOTATION
- Δ è insieme aperto: Tutti i p.ti sono interni
- &overline;Δ è insieme chiuso Dc è aperto
- Δo: insieme dei punti interni di Δ
- ∂Δ: insieme di punti di frontiera di Δ
- &overline;Δ: chiusura Δ ∪ ∂Δ
ψ → f(xo, y) = ĝ(u) definita in un intorno di yo
ĝ'(yo) = limk→0 ĝ(yo+k) - ĝ(yo) / k = limk→0 f(xo, yo+k) - f(xo, yo) / k
≝ ∂f / ∂y (xo, yo) se esiste finito il limite
derivata parziale prima rispetto a y
Esempio
f(x,y) = x ⋅ y5
ĝ(x) = f(x, xo) ĝ'(yo) = f(xo, yo)
∂f/∂x = 2 ⋅ x ⋅ y5
∂f/∂y = x ⋅ 5y4
Esempio
f(x,y) = sen(x-y) in (0, 0)
∂f/∂x = 1 ⋅ cos(x-y) ∂f/∂y = -1 ⋅ cos(x-y)
g(x) = sinx => ĝ(x) = cosx
∂f/∂x (xo, yo) = cos(xo-yo) e ∂f/∂y (xo, yo) = - cos(xo-yo)
Eq piano tangente al grafico di z = f(x,y) nel punto (xo, yo, f(xo, yo))
- z - f(xo, yo) = m1 (x-xo) + m2 (y-yo)
- y = yo
- z - f(xo, yo) = m1 (x-xo) + m2(y-yo)
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