Analisi 2: Funzioni vettoriali

ANALISI 2

^R² insieme di coppie ordinate di numeri reali

^R² = { (x₁, y₁) : x, y ∈ ^R }

^R³ insieme di terne ordinate → spazio tridimensionale

Elementi di ^R², ^R³ si dicono vettori.

v = (x, y) ∈ ^R² v = (x, y, z) ∈ ^R³

→ componenti dei vettori

• In ^R² e ^R³ posso definire la somma

v₁ = (x₁, y₁) v₂ = (x₂, y₂)

v₁ + v₂ = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)

• In ^R² e ^R³ posso definire il prodotto per uno scalare

λ ∈ ^R v = (x₁, y₁)

λ ∙ v = (λ ∙ x, λ ∙ y)

Con queste due operazioni ^R² e ^R³ hanno struttura di spazio vettoriale

• In ^R² e ^R³ è possibile definire il prodotto interno

v₁ = (x₁, y₁) v₂ = (x₂, y₂)

<v₁, v₂> = x₁x₂ + y₁y₂ ∈ ^R

* ritorna numero non vettore

Proprietà del prodotto interno

1. ∀ α, β ∈ ^R ∀ v₁, v₂, v₃ ∈ ^R², ^R³ vale

<α v₁ + β v₂, v₃> = α < v₁, v₃> + β < v₂, v₃>

→ linearità

2. ∀ v₁, v₂ vale

<v₁, v₂> = <v₂, v₁>

→ simmetria

Def

Si dice norma di un vettore v il numero reale non negativo:

||v|| = √(v₁² + v₂²) ≥ 0

{v} = (x, y)

v = xc₁ + yc₂

• La norma di un vettore è la sua lunghezza
  • (Teorema di Pitagora)
  • Potenze del triangolo rettangolo

Def

Un vettore di norma 1 si chiama versore

• Si chiamano versori fondamentali di ℝ²
• e₁ = (1, 0)
• e₂ = (0, 1)
• In ℝ³ si hanno
• e₁ = (1, 0, 0)
• e₂ = (0, 1, 0)
• e₃ = (0, 0, 1)

Teoremi

1. ||v|| = 0 se e solo se v = 0
   • Proprietà di Annullamento
2. ∀λ ∈ ℝ vale ||λv|| = |λ| ||v||
   • Proprietà di Omogeneità
3. || ≤ ||v₁|| ||v₂||
   • Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz
4. ||v₁ + v₂|| ≤ ||v₁|| + ||v₂||
   • Disuguaglianza Triangolare
5. | ||v₁|| - ||v₂|| | ≤ ||v₁ - v₂||
   • Disuguaglianza Triangolare Inversa

Dimostrazioni

DEF Due piani sono paralleli se hanno vettori normali paralleli.

FUNZIONI VETTORIALI

di una variabile

DEF Una funzione vettoriale di una variabileF : D ⊂ ℝ → ℝ² (F : D ⊂ ℝ → ℝ³) con D sottoinsieme di ℝ.- F(x) = (F₁(x), F₂(x))- F(x) = (F₁(x), F₂(x), F₃(x))

Queste funzioni non presentano differenze concettuali rispetto ad Analisi 1.

Dato D ⊂ ℝ & x_o ∈ ℝ, si dice che x_o è punto di accumulazione per D se∀ ε>0 l'intervallo (x_o-ε, x_o+ε)contiene almeno un punto ∈ D, ≠ x_o.

Si dice che +∞ (e rispettivamente -∞) è punto di accumulazione per D se D non è superiormente (e rispettivamente inferiormente) limitato.

ℝ̅ = ℝ ∪ {-∞, +∞}

Retta reale estesa

DEF Sia F : D ⊂ ℝ² → ℝ² x_o ∈ ℝ punto di accumulazione per D.Sia poi l = (l₁, l₂) ∈ ℝ²si dice che lim_x→xo F(x) = l se

lim_x→xo f₁(x) = l₁ e lim_x→xo f₂(x) = l₂

lim_x→xo F(x) = (lim_x→xo F₁(x), lim_x→xo F₂(x))

Per una curva regolare è ben definito e diverso dal vettore nullo il versore tangente

t(t) = r'(t) / ||r'(t)|| ∀t ∈ (a, b)

Se la curva è regolare a tratti il versore tangente è definito tranne che al più un numero finito di punti.

Def Data una curva regolare γ ed un punto t₀ ∈ [a, b] si definisce retta tangente in γ(t₀)

la retta (γ(t₀) + tγ'(t₀)) t ∈ ℝ

punto di passaggio

vettore direzione

Rettificabilità

r : [a, b] → ℝ³

Poligone con numero di punti presi sulla curva

Partizione β = {α₀ = a < α₁ < … < α_n = b}

∀i = 0..n poniamo p_i = r(α_i)

P_β poligonale associata a βla sua lunghezza è

l(P_β) = Σ_i=1ⁿ ||p_i - p_i-1|| = Σ_i=1ⁿ ||r(α_i) - r(α_i-1)||

Def una curva si dice rettificabile se ilsup l(P_β) ∞ con β curva finita

Se sup è finito = lunghezza della curva.

Se r è rettificabile il valoresup l(P_β) = L(r)

Teorema

Se r è una curva regolare, allora r è rettificabile eL(r) = ∫_a^b ||r'(t)|| dt

L'integrale della velocità istantanea