Analisi 2: Funzioni vettoriali

ANALISI 2

² insieme di coppie ordinate di numeri reali

² = { (x, y) : x, y ∈ ^}

³ insieme di terne ordinate → spazio tridimensionale Elementi di ² e ³ si dicono vettori.

v = (x, y) ∈ ² v = (x, y, z) ∈ ³

componenti dei vettori

• In ² e ³ posso definire la somma. v = (x₁, y₁) v = (x₂, y₂)

v + v = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)

• In ² e ³ posso definire il prodotto per uno scalare. λ ∈ v = (x, y)

λ.v = (λ.x, λ.y)

Con queste due operazioni ² e ³ hanno struttura di spazio vettoriale

• In ² e ³ è possibile definire il prodotto interno. v = (x₁, y₁) v = (x₂, y₂)

〈v, v〉 = x₁x₂ + y₁y₂ ∈ → è dunque numero non vettore

Proprietà del prodotto interno

1. ∀ α, β ∈ ∀v, v, v ∈ ³, ³ vale

〈α v + β v, v〉 = α 〈v, v〉 + β 〈v, v〉 → linearità

2. ∀v, v vale

〈v, v〉 = 〈v, v〉 → simmetria

ANALISI 2

R² insieme di coppie ordinate di numeri reali

R² = { (x, y) : x, y ∈ R }

R³ insieme di terne ordinate → spazio tridimensionale

Elementi di R² e R³ si dicono vettori.

v = (x, y) ∈ R²

v = (x, y, z) ∈ R³

componenti dei vettori

• In R² e R³ posso definire la somma

v₁ = (x₁, y₁)

v₂ = (x₂, y₂)

v₁ + v₂ = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)

• In R² e R³ posso definire il prodotto per uno scalare

λ ∈ R

v = (x, y)

λ · v = (λ · x, λ · y)

Con queste due operazioni R² e R³ hanno struttura di spazio vettoriale

• In R² e R³ è possibile definire il prodotto interno

v₁ = (x₁, y₁)

v₂ = (x₂, y₂)

< v₁, v₂ > = x₁ · x₂ + y₁ · y₂ ∈ R

(→ è sempre numero non vettore)

Proprietà del prodotto interno

1. ∀ α, β ∈ R ∀ v₁, v₂, v₃ ∈ R³, R³ vale

< α · v₁ + β · v₂, v₃ > = α < v₁, v₃ > + β < v₂, v₃ >

• → Linearità

2. ∀ v₁, v₂ vale

< v₁, v₂ > = < v₂, v₁ >

• → Simmetria

DEF

Si dice norma di un vettore y il numero reale non negativo

||v|| = √> > 0

• ∼ la norma di un vettore è la sua lunghezza
• (Teorema di Pitagora)

DEF

Un vettore di norma 1 si chiama versore

• Si chiamano versori fondamentali di R²
• e₁ = (1,0)
• e₂ = (0,1)

In R³ si hanno

• e₁ = (1,0,0)
• e₂ = (0,1,0)
• e₃ = (0,0,1)

Teoremi

1. ||v|| = 0 se e solo se v = 0
2. Proprietà di annullamento
3. ∀ λ ∈ R vale λ ||v|| = ||λ v|| || λ ||
4. Proprietà di omogeneità
5. |<v₁, v₂>| ≤ ||v₁|| ||v₂||
6. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz
7. ||v₁ + v₂|| ≤ ||v₁|| + ||v₂||
8. Disuguaglianza triangolare
9. | ||v₁|| - ||v₂|| | ≤ ||v₁ - v₂||
10. Disuguaglianza triangolare inversa

Dimostrazioni

DEF

Si definisce angolo tra due vettori non nulli v₁ e v₂ l’unico numero θ ∈ ℝ₊ ∈ [0, π] tale che

cos θ = (v₁, v₂) / (||v₁|| ||v₂||)

DEF

Due vettori con prodotto interno nullo sono ortogonali ↔ v₁ ⊥ v₂

DEF

Due vettori v₂ e v₂ si dicono paralleli (v₁ || v₂) se esiste una costante c ∈ ℝ, c ≠ 0 tale che v₁ = c v₂

Per convenzione il vettore nullo è parallelo a tutti i vettori.

Prodotto vettoriale in ℝ³

DEF

Dati v₁ = (x₁, y₁, z₁) e v₂ = (x₂, y₂, z₂) si definisce prodotto vettoriale fra v₁ e v₂ il vettore

v₁ ∧ v₂ = (y₁z₂ - z₁y₂, z₁x₂ - x₁z₂, x₁y₂ - y₁x₂)

I, j, v₁ × v₂

Trucco del determinante formale

| i j k |

| x₁ y₁ z₁ |

| x₂ y₂ z₂ |

Calcolo il determinante della "matrice"

i (y₁z₂ - z₁y₂) - j (x₁z₂ - z₁x₂) + k (x₁y₂ - x₂y₁)

Vettore risultante è perpendicolare al piano individuato da v₁ e v₂ verso → regola della mano destra

Proprietà

• v₁ ∧ v₂ = - v₂ ∧ v₁ ANTI COMMUTATIVA
• v₁ ∧ (v₂ + v₃) = v₁ ∧ v₂ + v₁ ∧ v₃ DISTRIBUTIVA
• ∀λ ∈ ℝ (λv₁) ∧ v₂ = λ (v₁ ∧ v₂)
• v ∧ v = 0
• e₁ ∧ e₂ = e₃     e₂ ∧ e₃ = e₁
• e₃ ∧ e₁ = e₂ PERPENDICOLARITÀ

Significato geometrico

• Si può dimostrare || v₁ ∧ v₂ || = || v₁ || || v₂ || senθ con θ ∈ [0, π]
• La norma di v₁ ∧ v₂ = area del parallelogramma individuato da v₁ e v₂

Area = || v₁ || h h = || v₂ || senθ Area = || v₁ || || v₂ || senθ

• Si può dimostrare che v₁ è parallelo a v₂ se e solo se θ = 0 o θ = π;se e solo se v₁ ∧ v₂ = 0.

RETTE e PIANI in ℝ³

DEF Una retta in ℝ² è il luogo geometrico dei punti

{(x, y) | ax + by = c}con a, b, c ∈ ℝ , 0, 0 non entrambi nulli.

b = 0 ➡ a ≠ 0 ➡ x = ^c/_a RETTA VERTICALE

b ≠ 0 ➡ by = -ax + c ➡ y = -^a/_bx + ^c/_b

y = mx + q RETTA OBLIQUA

La retta è individuata univocamente da un vettore

v_o (passaggio per P_o) e da un vettore direzione d, parallelo alla retta.

v_o + t d

al variare di t ∈ ℝ, varia la retta

Equazioni parametriche della retta in ℝ²

Questa procedura si estende facilmente a ℝ³

Piano in ℝ³

Consideriamo vettore n ≠ 0 ∈ ℝ³ e v_o ∈ ℝ³

Def

Si dice piano il luogo geometrico dei punti v ∈ ℝ³: v - v_o 1 n

Equazione cartesiana del piano

Funzioni Vettoriali di una variabile

DEF Una funzione vettoriale di una variabileF : D ⊆ ℝ ⟶ ℝ² (F : D ⊆ ℝ ⟶ ℝ³) con Dsottoinsieme di ℝ- F(x) = (F₁(x), F₂(x))   F₁, F₂ : D ⟶ ℝ                                        in ℝ²- F(x) = (F₁(x), F₂(x), F₃(x))

Queste funzioni non presentano differenzeconcettuali rispetto ad Analisi 1.

Dato D ⊆ ℝ e x₀ ∈ ℝ, si dice che x₀ èpunto di accumulazione per D se

∀ ε>0 l'intervallo (x₀ - ε, x₀ + ε) contiene almeno un punto ∈ D, ≠ x₀.

Si dice che +∞ (e rispettivamente -∞) èpunto di accumulazione per D se D non èsuperiormente (e rispettivamente inferiormente)limitato.

ℝ_e = ℝ ∪ {-∞, +∞}retta reale estesa

DEF Sia F : D ⊆ ℝ² ⟶ ℝ² x₀ ∈ ℝ_e punto di accumulazione per D.Sia poi l = (l₁, l₂) ∈ ℝ²

Si dice che &displaystyle \lim_{x \to x_0} F(x) = l se&displaystyle \lim_{x \to x_0} F_1(x) = l_1 e &displaystyle \lim_{x \to x_0} F_2(x) = l_2

&displaystyle \lim_{x \to x_0} F(x) = \left( \lim_{x \to x_0} F_1(x) \lim_{x \to x_0} F_2(x) \right)

• Affinché il limite non esista basta che non esista il limite di una delle componenti
• Continuano a valere il teorema di unicità del limite e il teorema sulle operazioni

DEF

D ⊆ R, x₀ ∈ DSi dice che F: D → R² è continua in x₀

Se sono continue in x₀ le sue due componenti F₁ e F₂, entrambe.

[Analogo in R³]CONTINUITÀ

Teorema

D ⊆ R    F: D → R² g: D → R

F e g continue in tutti i punti di D allora la funzione h(x) = <F(x), g(x)> è continua in tutti i punti di D. In particolare N_F: D → R, N_F (x) = || F(x)|| è continua in tutti i punti di D.

L₀ caso particolare f(x) = g(x)

DERIVABILITÀ

DEF Sia F: (a,b) → R² e sia x₀ ∈ (a,b).Si dice che F è derivabile in x₀ se sono derivabile le sue componenti in x₀, F₁ e F₂.

Se F è derivabile in x₀, il vettore F' (x₀) = (F'₁ (x₀) F'₂ (x₀)) si chiama VETTORE

DERIVATO

Teorema     REGOLI DI CALCOLO

Siano F e g funzioni vettoriali definite su (a,b) e sia x₀ un punto di (a,b).

Se F e g sono derivabili in x₀ allora

1. La funzione f+g è derivabile in x₀

Inoltre (f+g)'(x₀) = f'(x₀) + g'(x₀)

2. h: (a,b) → ℝ derivabile in x₀,

allora hƑ è derivabile in x₀.

(hƑ)'(x₀) = h'(x₀) Ƒ(x₀) + h(x₀) Ƒ'(x₀)

3. Sia φ: (c,d) → (a,b) è iniettiva e

sia z₀ ∈ (c,d) : φ(z₀) = x₀ e φ è

derivabile in z₀.

f ο φ: (c,d) → ℝ² (o ℝ³) è derivabile in z₀

e (f ο φ)'(x₀) = F'(z₀) ⋅ φ'(z₀)

4. La funzione è derivabile in x₀

e < f, g >'(x₀) = 〈 f'(x) , g'(x) 〉 + k < f(x) , g'(x) 〉

INTEGRABILITÀ

DEF

Sia F: [a,b] → ℝ² F è integrabile su

[a,b] se sono integrabili le sue componenti

F₁, F₂. In tal caso

∫_a^b F(x) dx = (∫_a^b F₁(x) dx, ∫_a^b F₂(x) dx)

TEOREMA

Sia F una funzione vettoriale definita su [a,b]

ed integrabile nell'intervallo.

Allora ‖F‖ è integrabile su [a,b]

∥∫_a^b F(x) dx∥ ≤ ∫_a^b ‖F(x)‖ dx

TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO

Sia F una funzione vettoriale definita su [a,b]

tale che tale vettore F ∈ F¹[a,b] allora

∫₀^x F'(x) dx = F(b) - F(a)

F₁ e F₂ derivabili con derivata continua

in (a,b)

CURVE nel PIANO e nello SPAZIO

Si dice CURVA una funzione continua r: I → ℝ³

• con I⊆ℝ intervallo -> insieme immagine r(I)
• Si chiama SOSTEGNO della CURVA Se il sostegno è contenuto in un piano, la curva si dice PIANA.
• In particolare, una funzione continua r: I → ℝ² è una curva piana.

Notazione

r(t) = (x(t), y(t), z(t)) =

• x(I), y(I) ⊆ ℝ
• Curva piana → r(t) = (x(t), y(t))

1. v₀ = (x₀, y₀)      v₁ = (x₁, y₁)
2. f: [0,1] → ℝ²
3. r(t) = (t x₁ + (1-t) x₀, t y₁ + (1-t) y₀)
4. Sostegno è il segmento tra v₀ e v₁.
5. La curva è il modo di percorrere il segmento.

2) Dato f: I → ℝ continua

• Si chiama CURVA CARTESIANA
• Associata ad f e si indica con
• r_f(t) = (t, f(t))

3. r: I → ℝ² con I=[0,2π]
4. r(t) = (cos t, sen t) descrive
5. la CIRCONFERENZA UNITARIA

4. r(t) = (cos 2t, sen 2t)     t ∈ [0, π]
5. Sostegno è uguale a circonferenza ma viene percorsa a velocità doppia.

5. r(t) = (cos³ t, sen³ t)     t ∈ [0, 2π]
6. Sostegno è detto ASTROIDE.

5_e r(t) = (Rcos t Rsen t, ct)

t ∈ ℝ R,c, >0 costanti fissate

la curva descrive un elica cilindrica

6_e r(t) = (Ae^tcost A e^tsen te^bt)

t ∈ ℝ a>0 b ∈ ℝ

la curva descrive una spirale logaritmica.

Proprietà

Def una curva si dice semplice se presi due

tempi distinti t₁ e t₂ di cui almeno uno

all'interno dell’intervallo, vale

r(t₁) ≠ r(t₂) ⟶ non si autointerseca

Curva non semplice

Curva semplice

Def Una curva f definita su [a,b] si

dice chiusa se r(a) = r(b)

Def Una curva f definita su [a,b]

si dice regolare se

• È semplice
• È di classe C¹
• r'(t) ≠ 0 ∀t ∈ (a,b)

In questo contesto il vettore derivato

si chiama vettore velocità e la sua norma

si chiama velocità scalare.

Def Una curva f definita su [a,b] si

dice regolare a tratti se esiste una

partizione

{ a = a₀ < a₁ < a₂ < ... < a_n-1 < a_n = b } di [a,b]

tale che la restrizione di f a [a_i, a_i+1]

è regolare per i = 1 ... n

L’astroide è regolare a tratti

Per una curva regolare è ben definito e diverso dal vettore nullo il versore tangente

\(\mathbf{T}(t) = \dfrac{\mathbf{r}'(t)}{\| \mathbf{r}'(t) \|}\) \(\forall t \in (a, b)\)

Se la curva è regolare a tratti il versore tangente è definito tranne che al più un numero finito di punti.

Def

Data una curva regolare \( \gamma \) ed un punto \( t_0 \in [a, b] \) si definisce retta tangente in \( \gamma(t_0) \)

la retta \( \mathbf{r}(t_0) + t \mathbf{r}'(t_0) \quad t \in \mathbb{R} \)

punto di passaggio

vettore direzione

Rettificabilità

\(\gamma: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^3\)

Poligonale con numero di punti presi sulla curva

Partizione \(\beta = \lbrace a_0 = a, a_1, a_2, \ldots, a_n = b \rbrace\)

\(\forall i = 0 \ldots n \quad \text{chiamo} \quad p_i = r(a_i)\)

La poligonale associata a \(\beta\)

La sua lunghezza è

\(l(\gamma_\beta) = \sum_{i=1}^{n} \| p_i - p_{i-1} \| = \sum_{i=1}^{n} \| r(a_i) - r(a_{i-1}) \| \)

Def

Una curva si dice rettificabile se il

\(\sup_{\beta} l(\gamma) < \infty\)

Se \(\sup\) è finito → lunghezza della curva

Se \(\gamma\) è rettificabile il valore

\(\sup_{\beta} l(\gamma) = L(\gamma)\)

Teorema

Se \(\gamma\) è una curva regolare, allora \(\gamma\) è rettificabile e

\(L(\gamma) = \int_{a}^{b} \| \mathbf{r}'(t) \| dt\)

→ Integrale della velocità

• In realtà il Teorema vale assumendo solo f ∈ C¹[a,b]
• Il teorema vale anche per curve regolari a tratti

Esempio curva non rettificabile

f: [0,1] → R

f continua

n > 1 fissato

Osserva.

Serie armonica divergente che tende a +∞

CURVA EQUIVALENTE

Due curve r₁: [a,b] → R³

r₁(t) = r₂(φ(t))

La funzione φ si chiama cambiamento ammissibile di parametro (c.a.p.)

NOTIZIONE