Analisi 2 - Appunti

Funzioni

f: A → B

• A ⊆ ℝ
• B ⊆ ℝ

Per esempio:

• A = [a,b]
• A = ]a,b[

Scalare: variabile x

Funzioni in più variabili

ℝ² ⊆ ℝ²

Per individuare le punto appartenente ad A assumo (x,y) ∀ (x,y) ∈ A: f(x,y) ∈ ℝ

Costruiamo una relazione che definisce il punto in A:

f: A → B

• A ⊆ ℝ²
• B ⊆ ℝ

A ciascuna coppia di valori (x,y) è associato un solo valore in ℝ²

• x = ascissa
• y = ordinata

P = punto di coordinate (x,y) f(P)(x,y) possiamo vedere come componenti di un vettore

Il vettore → _p ha componenti (Vx, Vy)

Posso vedere: (x,y) variabile P(x,y) → _p(x,y)

Funzioni

f: A → B

• Per esempio A = [a,b]
• A = ]a,b[

Scalare o variabile x

Funzioni in più variabili

ℝ² A → R

Per individuare se il punto appartiene ad A scrivo (x,y) ∀(x,y) ∈ A: f(x,y) ∈ R

Costruiamo una relazione che definisce il punto in A:

f: A → B

• A ⊆ R²
• B ⊆ R

A ciascuna coppia di valori (x,y) è associato un fiso vettore in R²

• x = ascissa
• y = ordinata

P = punto di coordinate (x,y) f(P)(x,y) ∈ B possiamo vedere come componenti di un vettore

Il vettore ^V ha componenti (Vx, Vy)

Posso vedere: (x,y) variabile P(x,y)^V(x,y)

Caso R³

f(x, y, z) f(P) dove P: (x, y, z) f(x) dove x: (x, y, z)

Caso R^m

• x₁, x₂, x₃, ..., x_m m variabili

f(x₁, x₂, ..., x_m) f(x) x: (x₁, x₂, ..., x_m) f(P) P: (x₁, x₂, ..., x_m)

Esempio

• f(x, y) = e^xy + sinx + 2y
• f(x, y) = 3x²y + 4xy³

z = f(x, y) x -> f(x) = y rappresentazione grafica del piano xy (x, y) |-> f(x, y) = z

Per rappresentare la funzione f bisogna dello spazio in 3 dimensioni

Rappresentazione grafica nello spazio cartesiano

Si viene a creare una superficie individuata da f

Grafico della f

G(f) = { (x, y, z) ∈ R³ t.c. (x, y) ∈ A e z = f(x, y) }

z ∈ B

P: A |-> B

• A ⊆ R²
• B ⊆ R

A = insieme di definizione

B = insieme dei valori della f

Nel caso (x, y, z) per rappresentarlo avrei bisogno di uno spazio a quattro dimensioni, che non riusciamo a visualizzare. In questo caso si parla di ipo superficie

Curve di livello

f : A ⊆ R² → B ⊆ R

c ∈ R che appartiene all'insieme dei valori della f f(x, y) = c

Da curve di punti x, y in cui la funzione f ha sempre il valore c. I punti (x, y) + c. f(x, y) = c individuiamo una curva di alpee

Esempio

• f(x, y) = √x² + y²
• √x² + y² = 2
• x² + y² = 4

Equazione di una circonferenza di centro (x_o, y_o) e raggio rc

(x - x_o)² + (y - y_o)² = rc²

Quindi è una circonferenza di centro (0,0) e raggio 2. Le curve di livello sono circonferenze con centro nell'origine e raggio C.

Dominio

f(x) = √x + 2

È definito per x + 2 ≥ 0 → x ≥ -2

Esempio

f(x,y):= (x²·y) / (x-y)

Perché sia definita x-y=0     x≠y

A=ℝ² − { (x,y) + c. y=x }

Norma euclidea

Dato v∈ℝ^m

v (v₁,v₂,...,v_m)

Si definisce norma euclidea di v e si indica ||v||₂ ||v|| ||v||

||v||=√(∑_i=1^m(v_i)²)

Esempio

• v = (0,2,4)     ||v|| = √0²+2²+4² = √20
• v = (3,−3)     ||v|| = √3²+3² = √18

Norma o modulo P = (x₁,y₁)     Q = (x₂,y₂)

Si definisce distanza di P da Q |P-Q|