Analisi 2 - Appunti

FUNZIONI

f: A → B

Per esempio

A = [a, b]

A = ]a, b]

scalare: Variabile x

FUNZIONI IN PIÙ VARIABILI

R² ⊂ R²

Per individuare il punto appartenente ad A scrivo (x, y)

∀(x, y) ∈ A: f(x, y) ∈ R

Costruiamo una relazione che definisca il punto in A

f: A → B

A ⊂ R²

B ⊂ R

A ciascuna coppia di valori (x, y) è associato un solo valore in R₂

x = ascissa

y = ordinata

P = punto di coordinate (x, y)

f(P)

(x, y) lo possiamo vedere come componenti di un vettore.

Il vettore v ha componenti (V_x, V_y).

Posso vedere:

• (x, y) variabile
• P(x, y)
• v
• x₂ (x, y)

Caso R³

• f(x, y, z)
• f(P) dove P = (x, y, z)
• f(_x) dove _x = (x, y, z)

Caso R^m

• x₁, x₂, x₃, ..., x_m m variabili
• f(x₁, x₂, ..., x_m)
• f(_x) PER^m

_x = (x₁, x₂, ..., x_m) P = (x₁, x₂, ..., x_m)

ESEMPIO

• f(x, y) = e^xy + sinx + 2y
• f(x, y) = 3x²y + 4xy³

z = f(x, y) x -> f(x) = y rappresentazione grafica del piano xy (x, y) |-> f(x, y) = z

Per rappresentare la funzione f bisogno dello spazio in 3 dimensioni "rappresentazione grafica nello spazio cartesiano."

Si viene a creare una superficie individuata da f

GRAFICO DELLA f

G(f) = {(x, y, z) ∈ R³ t.c. (x, y) ∈ A e z = f(x, y) z ∈ B} P: A |-> B A ⊂ R² B ⊂ R

A = insieme di definizione B = insieme dei valori della f

INSIEME LIMITATO DI R^m

A ⊆ R^m A si dice limitato se esiste un intervallo aperto che lo contiene

INTORNO DI UN PUNTO

P_o ∈ R^m   ε ∈ R

I_ε (P_o) = {P ∈ R^m t.c. |P - P_o| < ε}

I_ε (P_o) = I_ε (x_o) = {x ∈ R t.c. |x - x_o| < ε}

-ε < x - x_o < ε

x_o - ε < x < x_o + ε

I_ε (P_o) = {(x,y) ∈ R² t.c. ^√(‾(x - x_o)² + (y - y_o)² < ε²})

Circonferenza di centro (x_o, y_o) e raggio ε

Abbiamo una circonferenza o in R³ una sfera, e per questo parliamo di interno circolare

Punto interno: se dato P intorno ad A, posso scegliere un intorno i cui infiniti punti appartengono ad A

Punto di frontiera: se dato P non appartentente ad A, posso scegliere un intorno in cui infiniti punti appartengono ad A

Insieme aperto: se ogni suo punto è interno

Punto di accumulazione: se per ogni intorno esistono infiniti punti appartenenti ad A

P ≠ p appartenere ad A ma non è di accumulazione e isolato

Esercizi

Come individuare il dominio delle funzioni in due variabili

f(x,y)= ^x+y+2/_x-4

Dominio di definizione

• x + y + 2 ≥ 0
• y ≥ -x - 2
• x ≠ 4

x = 0 y = -2x = 1 y = -3x = 2 y = -4

f(x,y) = 3x ^ln(4y² - x)

Dominio

• 4y² - x > 0
• 4y² > x

Abbiamo una parabola orizzontale

y = 1 x = 4

Esercizio

lim_x,y→(0,0) ^{4x2 y2}/_{x² + y²}

Essendo il grado massimo lo stesso siamo sicuri che il limite non esiste

y = kx genera retta per (0,0)

ESEMPIO

f(x, y) = sin ^y/_x+y

∂f/∂x = cos ^y/_x+y (-y (x+y)^-2)

∂f/∂y = cos ^y/_x+y (x+y)^-1

ESEMPIO

f(x, y) = √(x² + y²) = (x² + y²)^1/2

∂f/∂x = 1/2 (x+y)^1/2-1 (2x) = ^2x/_√x²+y²

∂f/∂y = 1/2 (x+y)^1/2-1 (2y) = ^y/_√x²+y²

DERIVATE PARZIALI SUCCESSIVE

f(x) → f'(x) → f''(x)

f(x,y) → f_x(x,y) → f_xx(x,y), f_xy(x,y)

f_y(x,y) → f_yx(x,y), f_yy(x,y)

f_xy(x,y) = ∂/∂y (∂f/∂x) = ∂²f/∂y ∂x

ESEMPIO

f(x, y) = x³y² + x²y

f_x = 3x²y² + 2xy

f_y = 2x³y + x²

f_xx = 6xy² + 2y

f_xy = 6x²y + 2x

f_yx = 6x²y + 2x

f_yy = 2x³

Teorema di Clairaut - Schwartz

Se m e n derivate parziali seconde sono continue, le derivate parziali miste coincidono.

f(x,y) - f(0,0) = f_x(0,0) x + f_y(0,0) y + σ(x,y) √(x²+y²)

⁷/_x²+y² = 3

lim (x,y) -> (0,0) ⁷/_x²+y² = 0

ESERCIZIO

f(x,y) = ^5x²y/_√(x²+y²) per (x,y) ≠ (0,0)

f(x,y) = 0 per (x,y) = (0,0)

Per vedere se è continua provo se

lim f(x,y) = f(0,0) ?

(x,y) -> (0,0)

lim ^5x²y/_√(x²+y²) = 0 ?

(x,y) -> (0,0)

0 ≤ ∣ ^5x²y/_√(x²+y²) ∣ = ∣ ^5x²y/_x²+y² ^x²+y²/_√(x²+y²) ∣

= ∣ ^5x²y/_x²+y² ∣∣ √(x²+y²) ∣ ≤ ∣ 5y ∣ √(x²+y²) ∣

x²/_x²+y² ≤ 1 => ∣ ^5x²y/_x²+y² ∣ √(x²+y²) ≤ ∣ 5y ∣ √(x²+y²) ¹

Per il teorema dei carabinieri la funzione tende a 0

Vediamo se è derivabile in (0,0) applicando la definizione di derivata parziale.

f_x(0,0) = lim h->0 ^{f(h,0) - f(0,0)}/_h = ^0-0/_h = 0

f_y(0,0) = lim h->0 ^{f(0,h) - f(0,0)}/_h = ^0-0/_h = 0

Se f è differenziabile in (0,0)

f(x,y) - f(0,0) - [f_x(0,0)x + f_y(0,0)y]

/√(x²+y²) = σ(x,y)

lim (x,y)->(0,0) f(x,y)/√(x²+y²) = 0

lim (x,y)->(0,0) 5x²y/_x²+y² = 0

0 ≤ ∣ ^5x²y/_x²+y² ∣ ≤ ∣ 5y ∣ -> 0

Per il teorema dei carabinieri la funzione tende a 0.

ESEMPIO

P_o (1,2)

V⃗ (0.5,0.5)

• x = 1 + t 0.5
• y = 2 + t 0.5

Se t_o prendo t = 1

• x = 1,5
• y = 2,5

Il vettore ha una sua norma

|V⃗| = √x₂ + α₂ = √0,5² + 0,5² = 1/√2

A ma conviene prendere i vettori che abbiano norma unitaria.

Considero V⃗ = (V₁, V₂)

|V⃗| ≠ 1 = √V₁² + V₂²

W⃗ = (V₁/|V⃗| V₂/|V⃗|)

In questo modo la norma sarà

|W⃗| = 1

|W⃗| = √(V₁² + V₂²)/|V⃗|² = 1

DERIVATA DIREZIONALE DI f

È il valore se esiste ed è finito, di:

lim t->0 f(x_o + t x₂, y_o + t (x₂) - f(x_o, y_o)

Considerando i vettori particolari

i⃗ = (1,0)

j⃗ = (0,1)

trovo le derivate parziali rispetto a x e y