Analisi 2 appunti

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di roxas.94

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Esame Analisi matematica 2

Facoltà Ingegneria dell'informazione

Dal corso del Prof. Giacchetti Andrea

Università Università degli Studi di Roma La Sapienza

A.A. 2018-2019

115 pagine

Appunto

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Estratto del documento

PROGRAMMA

Teoria dell'approssimazione; successioni e serie di funzioni, con particolare riguardo a serie di potenze e serie trigonometriche
Funzioni di variabile complessa: trasformata di Laplace e sue applic. Transformata di Fourier(?)

SUCCESSIONI NUMERICHE (Richiami)

a valori reali

N: {0, 1, 2, ...}, naturali

successione di numeri reali è un'applicazione m ∈ N -> a_m ∈ R. Si denota con (a_m)_{m ∈ N} Per esteso a₀, a₁, a₂, ... a_m ...
successione a valori complessi è un'applicazione m ∈ N -> a_m ∈ C.

Esempi di successioni a valori complessi

Es¹ (1/m)_{m ∈ N, m ≥ 1} a_m = 1/m. Per esteso 1, 1/2, 1/3, ... 1/m ...
Es² (2^m)_{m ∈ N} a_m = 2^m. Per esteso 1, 2, 2², 2³, ... 2^m ...
Es³ ((-1)^m)_{m ∈ N} a_m = (-1)^m. Per esteso 1, -1, 1, -1, ... (-1)^m...
Es⁴ ((√m)^m)_{m ∈ N, m ≥ 1} a_m = √m. Per esteso 1, √2, √3, ..., √m, ...

Esempi di successioni a valori complessi

Es⁵ (1 + i^m)_{m ∈ N} a_m = 1 + i^m
Es⁶ (cos m + i sin m)_{m ∈ N} a_m = cos m + i sin m e^im formule di Eulero.

Definizioni

(a_m)_{m ∈ N} si dice limitato superiormente se ∃ b ∈ R: a_m ≤ b ∀m ∈ N
// limitato inferiormente se ∃ i ∈ R: a_m ≥ i ∀m ∈ N
limitato se è limitato sia inferiormente che superiormente, ossia se ∃ i, b ∈ R: a_m ≤ b ∀m ∈ N .

(equivalentemente se ∃I, B ∈ R ≤ I ≤ B ∀m ∈ I .) *

Es¹) è limitata (a = 0, b = 1)
Es²) è limitata inferioramente (a = 0, non lim. sup.)
Es³/Es⁴) sono limitate - (lim. inf. e sup.)

NB se a_m è complessa la definizione (3), a_m ≤ b NON ha alcun senso!

PROGRAMMA

I) Teoria dell'approssimazione; successioni e serie di funzioni, con particolare riguardo a serie di potenze e serie trigonometrìche.

II) Funzìoni di variabile complessa: trasformata di Laplace e sue applìc. trasformata di Fourier.

SUCCESSIONI NUMERICHE (Rìchiami)

a valori reali

_N = {0,1,2,...} naturali.

Successione di numeri reali è un'applicazione ^m ∈ ℕ → _{a_m} ∈ ℝ.
Si denota con {a_m}_m∈ℕPer esteso a₀, a₁, a₂, ... a_m...
Successione a valori complessi è un'applicazione m ∈ ℕ → ^a_m ∈ ℂ {.

Es1) {¹/_m}_m≥1 a_m = ¹/_m. Per esteso 1, ¹/₂, ^{1/₃,...,¹/_m,...}
Es2) {²^m}_m∈ℕ a_m = 2^m. Per esteso 1, 2, 2², 2³, ..., 2^m,...
Es3) {(-1)^m}_m∈ℕ a_m = (-1)^m. Per esteso 1, -1, 1, ..., (-1)^m, ...
Es4) {( n^m) }_m≥1 a_m = ^m√n. Per esteso 1, n^1/2, n^1/3, ..., n^1/m,...

Esempi di successioni a valori complessi

Es5) {(1+i)^m}_m∈ℕ a_m = (1+i)^m
Es6) {(cos m ⁺ i sen m)^m}_m∈ℕ a_m = cos m + i sen m_{; e^{i m} formule di Eulero.}

Definizìoni

(1) {a_m}_m∈ℕ si dìce limitata superiormente se ∃ b ∈ ℝ: a_m ≤ b ∐ m ∈ ℕ.

(2) {a_m}_m∈ℕ limitata inferiormente se ∃ a ڰ ℕ: a ≤ a_m ∐ m ∈ ℕ.

(3) {a_m}_m∈ℕ Limitata se è limitata sia inferiormente che superiormente, ossia se ∃ a, b ڰ ℕ: a ≤ a_m ≤ b; ∀ m ∈ ℕ.

Es 1) _è limitata (a = 0, b = 1)

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