Analisi 2 appunti

Programma

1. Teoria dell'approssimazione: successioni e serie di funzioni, con particolare riguardo a serie di potenze e serie trigonometriche.
2. Funzioni di variabile complessa: trasformata di Laplace e sue applic.

Successioni Numeriche (Richiami)

• a valori reali

N: {0, 1, 2, ...} numeri

• Successione di numeri reali è un'applicazione m ∈ N → a_m ∈ R.
• Si denota con (a_m)_m∈N
• Per esteso a₀, a₁, a₂, ... a_n ...
• Successione a valori complessi è un'applicazione m ∈ N → a_m ∈ C.

• Es1) (1/m)_m≥1 a_m = 1/m. Per esteso 1, 1/2, 1/3, ... 1/m ...
• Es2) (2^m)_m∈N a_m = 2^m. Per esteso 2, 2², 2³, ... 2^m ...
• Es3) ((-1)^m)_m∈N a_m = (-1)^m. Per esteso 1, -1, 1, ... , (-1)^m ...
• Es4) (√^m)_m≥1 a_m = √^m. Per esteso 1, √2, √3, ... , √^m, ...

Esempi di successioni a valori complessi

• Es5) (1+i^m)_m∈N, a_m = 1+i^m
• Es6) (cosm + i^msinm)_m∈N, a_m = cosm + i^msinm, eⁱ formula di Eulero

Definizioni

1. (a_n)_m∈N si dice limitata superiormente se ∃ b ∈ R: a_n ≤ b ∀ n∈N
2. ... limitata inferiormente se ∃ a ∈ R: a ≤ a_n ∀ n∈N
3. ... limitata se è limitata sia inferiormente che superiormente, ossia se ∃ a, b ∈ R: a ≤ a_n ≤ b ∀ n∈N (equivalentemente se ∃ H2,3: |a_n| ≤ H ∀ n∈N). *

• Es1) è limitata (a = 0, b = 1)
• Es2) è limitata inferiormente (a = 0, non limit. sup.)
• Es3)/Es4) sono limitate (limit. inf. e sup.)

Nota: a_n è complessa la definizione (3), a ≤ a_n ≤ b NON ha alcun senso!

infatti da * segue che la|a| ≤ max{|a|,|b|}

Def. 1

(a_n)_n∈N converge a l ∈ R se ∀ε>0, ∃n∈N: ∀u>n_ε |a_n - l| < ε

si scrive lim a_n = ln→∞

Interpretazione grafica:

Se (l = 0) la successione si dice infinitesimaEsempio 1) (1/n)_n∈N è infinitesima (l=0) ( ∀ε>0 ∃n_ε ∈ N: ∀u>n_ε

1/u < ε) 1/u < ε < d = 1/u 1/ε d_ε = ⌊1/ε⌋

Def. 2

(a_n)_n∈N diverge positivamente se ∀A>0 ∃n_A ∈ N: ∀u>n_Aa_n > A si scrive lim a_n = +∞n→∞

(a_n)_n∈N diverge negativamente se ∀A>0 ∃n_A ∈ N: ∀n>n_Aa_n < -A si scrive lim a_n = -∞n→∞

Esempio 2) (2^u)_n∈N diverge posit. → risolvere 2^u > A(-2^u)_n∈N diverge negat.

f_n è conv. uniforme in ogni intervallo [0,a], 0 < d < 1

infatti 1) m fissato g_m = ^sup_x∈[0,d] x^u = d^m ∀m ∈ ℕ.

2) lim g_m = lim d^m = 0; ⇒ conv. unif. in (0,a)

Esercizio 1

Data la successione (f_n(x)), con f_n(x) = (x(1-x))ⁿ definita in [0,1]

trovare l'insieme di conv. puntuale A, la funzione limite f(x), dire

se la convergenza è uniforme in A; se non lo è, trovare almeno

un sottoinsieme di convergenza uniforme. L'insieme di conv. puntuale

è A = [0,1] la funzione limite f(x) è f(x) = 0 (cioè f(x) = 0 ∀x ∈ [0,1]

m fissato g_m = ^max_x∈[0,1](X(1-x))ⁿ = ^d_dx[(x(1-x))^m]

= m(x(1-x))^m-1 (-2x)

= (₁/²)(1-₁/²)^m = (₁/⁴)^m ∀u > 1

lim g_m = lim (₁/⁴)^m = 0

⇒ c'è conv. uniforme a f(x) = 0 in tutto A = [0,1].

Schema:

1. costruire g_m con m fissato
2. calcolare lim _m→+∞ g_m

Esercizio 2

f_M(x) = (_1+x/^2+x)^m definita in ℝ = [0,+∞)

L'insieme di conv. puntuale A è A=[0,+∞). Infatti per x = 0 si ha

₁/² che al limite tende a 0 ma anche per x ∈ (0,+∞) poiché

avremmo a = 1+x → a - a _x∈[0,+∞)

che al limite → ∅ ⇔ _a→+∞ a→0

f(x) = 0 (cioè f(x) = 0 ∀x ∈ A)

m fissato sup_x∈[0,+∞)(_1+x/^2+x)^m

di convergenza puntuale e la funzione limite f(x). Dire se la converg. è uniforme in A; se non lo è trovare almeno un sottoinsieme di A in cui lo è.

1. I = (0,+∞)
2. Pongo a = 1+log√x (perchè devo fissare x e muovere m!)
• se x ∈ I tale che a = 1+log√x < 1 allora f(x) = x
• se x ∈ I tale che a = 1+log√x = 1 allora f(x) = x/2
• se x ∈ I tale che a = 1+log√x > 1 allora f(x) = 0
3. A = (0,+∞) = I
• 1+log√x < 1 ⟺ 1 < log√x < 1 ⟺ e ¹ < √x < e ⟺ e^-2 < x < e² (qui f(x) = x)
• 1+log√x = 1 ⟺ e^-2 < x = e² (qui f(x) = x/2)
• 1+log√x > 1 ⟺ 0 < x < e^-2 ∪ x > e²
4. lim p_m(x) - f(x) = | x se e^-2 < x < e² | m->+∞ | x/2 se x = e^-2, x = e² | | 0 se 0 < x < e^-2 ∪ x > e² |
5. La convegen. non è uniforme in tutta A, perchè f e p_m sono tutte continue; per cui p_m(x) è continua ∀ m ∈ ℕ, in (0,+∞) e la f(x) ottenuta è discontinua in A. (Hb applicato il teorema sulla continuità del limite).
6. Lavoro nell'intervallo [0, e^-2) ∪ (e² + ∞) per comodità, in quanto la f(x) vale 0 in quell'intervallo. Scelgo d ≥ e² e vedo se in [α, β] c'è conv. unif. Verifichiamo: α-------------------------β--------+∞ 0 e^-2 e² fisso m J_m = sup x x ∈ [α, β] | 1 + log√x^m | | ≤ β 1 + (log√x^m) B = log e^m Il modulo tutto è positivo.

6) \( P_m(x) = (3 \sin x)^m \)

\( x \in I = \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \)

\( A = \overline{I} = \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \)

lim conv. punt.

\( P(x) = 0 \)

\(\lim_{m \to +\infty} P_m(x) \)

conv. e unif. in tutto A?

\( m \) fissato \( g_m = \sup_{x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)} (3\sin x)^m = 1 \forall m \in \mathbb{N} \)

\(\lim_{m \to +\infty} g_m = \lim_{m \to +\infty} 1 = 1 \neq 0 \) non c'è conv. unif. in \(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)\), tutto A.

3) PASSAGGIO AL LIMITE SOTTO AL SEGNO DI INTEGRALE

Calcolare

lim_m→+∞ ∫₂⁴ m²sen(¹/_m²x) dx

Si usa il teorema di passaggio al limite sotto al segno di integrale.

La successione è f_m(x) = ^m2sen/_1/(n²x). Dobbiamo provare

che la successione converge uniformemente in [2,4].

1_m = ^m2sen/_n²x tende a * quindi

converge

puntualmente a 1/x

In [2,4] lim_m→+∞ f_m(x) = f(x) = ¹/_x

* lim_m→+∞ m^xsen(¹/_m²x) = lim_m→+∞

sen(¹/_m²x)

= ¹/_m²x = 1

Devo provare che la convergenza è uniforme in [2,4]:

m fissato g_m = sup^x∈[2,4]| m²sen(¹/_m²x) - ¹/_x| =

|sen(

x∈[2,4]

)

d

dx

= -¹/_x²

= -¹/_x² + cos (¹/_m²x) ¹/_x²

= -¹/_x² (-1+cos(¹/_m²x)) ≤ 0

q_m = ¹/_q - ^m2sen(¹/_m2) ∀m∈N

lim_m→+∞ q_m = 0

e

è conv. uniforme in [2,4]. Posso provare il

limite sotto al segno di integrale.

12101 12

1)

f_m(x) = ^mx/_1+m³x² x∈I = R

A = R

f(x)∈lim_m→+∞ f_m(x) = 0