Teoria Analisi B - prima parte

Definizione di funzione continua

Sia IRM un intervallo. Diciamo che una funzione f definita su IRM è continua in un punto x₀ se per ogni valore ε > 0 esiste un valore δ > 0 tale che se |x - x₀| < δ allora |f(x) - f(x₀)| < ε.

Diciamo che una funzione f definita su IRM è continua se è continua in ogni punto di IRM.

Indicheremo con CIA l'insieme delle funzioni continue in IRM.

Una funzione f definita su IRM è limitata se esiste un numero M tale che |f(x)| ≤ M per ogni x in IRM.

Diciamo che un sottoinsieme di IRM è compatto se è limitato e chiuso.

Diciamo che un sottoinsieme di IRM è archi-commesso se per ogni coppia di punti x₁ e x₂ in IRM esiste una funzione lineare L definita su un intervallo [a, b] tale che L(x₁) = f(x₁) e L(x₂) = f(x₂).

Diciamo che una funzione f definita su IRM è archi-commessa se è commessa per ogni intervallo [a, b] contenuto in IRM.

Siamo interessati a studiare le proprietà delle funzioni continue. In particolare, vogliamo capire quando una funzione è archi-commessa.

continuedicontinuaè perché funzionicomposizioneµ Yfix81810 eaµ o 11a81811i Yaµ 2Ag archiè commesso perTeorema WeierstrassdiIRAf C AA IREGcompatto ef èA compattoTeorema Bolzano Weierstrassdif archiCE AA compattocommesso eperIf fA 1e min mpxDerivataDef direzionaleSia IRIR E 12 aperto Ef 2 Xo IR ttoIR EE fissatosia oue ufixflatterSe IRIggy E fixtul aaaachiamo aaaafa naaaaa uaua fine nel punto 2EXoinSe Irmdellaè basevettore din canonica eun ne 0,1 00oderivatala chiama derivata parzialesiXo te gno81081 00 l'mindica consie a to oderivata parzialeDefSia 1kmE 2 sir1 fapertoderivabilecheDiciamo f ainè parzialmente sexerispetto aderivabile nellaè direzione 2ine xeu 1 faxesSIderivata limtal diIn chiameremo parziale f inrispettocaso xa oJef Gradiente EIRIRf A 1aperto2 e EXoDefiniamo indi f Xogradiente 081081 008 xo a i OxaOxDef differenzialeSia Irm IR8 1E aperto 21 EDiciamo è Iche Tff indifferenziabile aXo E se

XoIlxoth hatifaesexolime oe 11h11noSe linearel'applicazionef inf didifferenzialedifferenziabile inè definiamoXo XoIRM IR h hFfche djdj XoeXoXo operase teneewww III Xo11Il alè delf l'equazione tangenteTILLYy graficox pianoXoUna dimostrarloincontinuain Saprestièdifferenziabilefunzione XoSe f incontinuain è1è XodifferenziabileDimostrazione è f8 hfieno teoremaIE di Swartzh il CauchyNhl11TISA 118 xo per 1IE h1h il teorema delTISA oO 5181XoENTIS confrontoper0 g1111Gt il hitwthwthdefinizione dise odifferenziale oper a othSix fuo continuaèquindi inf9 eXofffftwthlynCome la matrice vettorialiJacobianadefiniscesi funzioniperIRMSia IR2 1f apertoE Iche OjaiV91Xo E e Xosupponiamo mimatriceDefiniamo la diJacobiana ff fuatofII scritta righexo perVfm xoIJg Ffm scritta colonneXo Xox perIIcon iEsempioI Singcosix eey yx 1123IRf SimII 1 e xx y 1 eII cosyX ay èIslay ea sin cosyDifferenziale di compostafunzioneuna1kmSia la2 apertoEf 2 NIR81 52

EMM PgI differenziabile in f1E indifferenziabilee Yor XigIRf èa differenziabile in Xoago il diventainoltre differenzialee dd djf fXo dgdog ea Xoo Xogog xo yo oIRM SIRd g Xogo Jh hd of Xo9Xo a gog vale laJ1J Jg Igog toa della catenaregolaÈ IIf0 111 Ixgox IIII 019 111 ix isinix11194 0 ÌTeorema mediodel valor di LagrangeIRMSia IRf E I2 1 aperto differenziabile in 1H ZZ TISIXfA 8t.c ZEEx a EY y yy X yx cSignificato geometrico animatrail 1conterrà 11xsegmento e 814Ynel 7proiettato punto 8 zjfieDimostrazioneF t t altf gf yx y oEsitoItepentiti Iecarigiunge ex 8 ipotesixdiggerenziabiafFF if x inya laa èalti descrivereo funzione xsegmentounE E EiettarsiF è di differenziabilidifferenziabile funzioniperché è composizioneF derivabileIO II ed Ioe C è isu variabilePer del valor realeteorema di diil medio Lagrange funzioni unaper7 Y iIIo t.cE TIf 8FLI TT tlTIF F X91Tf ax yy yao ZxX C2Che divuol Cclassedire che è CcosaLa funzione unala matrice Hessiana fdi può essere definita come segue: <h2>Funzione unala matrice Hessiana fdi</h2> Come definisce si IRSia Indichiamo delle1 laE fIR TRclasse derivabilil1 funzioniaperto con at leUj derivatecheparzialmente talierispetto parzialin xee1 eaII continue Wjin a lsono mfunzioni AIRf continua dia 2 puntoinfa 2c ogniGIIR 7t.cc 8 Vja 2 Ea C a l nTIteIR 7c a a2 ti8a cE l nch7 tit.c an 2 IR1 E l nIRMSia E2sirf 2 2aperto f Eindifferenziabile Xo0fI f o JXo Yoa mlKsupponiamoe OxaoxIndichiamo Hg Heissianala matrice fdix mcon m in Xo02g XooOx Oxox oxD8 eXo 02gXo XoOxmox Oxmoxntra continuità derivabilitàLegame e diSe se f è indifferenziabilefc 1puntoogniDimostrazioneLo risultaIR in IRdimostriamo ugualemain1 h81fix h TI fix h so11h11ha h ha7EXix fI eah hayah hax Gfy xx x ahither fa hah81f sthff hih xf x xyha yx x yyy ehi hat valordelDato teorema dimedioche il1fa c Lagrangeapplicareposso realevariabiledi 1funzioniperI On E02 0,1t.ca 9hat8I hahhhxth ytoaha xto y yxhi hatTeorema SchwarzdiIRMEA aperto 028028 t'E Aj8 AAcE Kai mxx Ricorda che il tag <h2> viene utilizzato per creare un titolo di secondo livello.

aAjax opoxHg simmetricaQuindi flyè Hg xx xrelativoDefinizione minpunti maxSia f IRIR 2 Ea relativoUn didice1 si fEpunto maxio per75 5f Bhfix aEf nEse Xoxo c relativoUn dice di min fsiE apunto Xo perI VXf B 55 f fixse ae nx Xoo c eTeorema èFermatdiSia IRsirf 2 E in7 f Aaperto differenziabilerelativoE minpuntoa die max oGItu IRe 0n XooDimostrazioneSia relativominimo fXo un perSia f B ar erXocsoHX B Ef fixre e Xo XoSia IRme n o IFuItut4 FunEXo iFu Fu IB teAMlt XoEFit tfoe ETÀFlo 7 IntteII I E Eun9 Xoo FBI rXoF ha relativominimo inun 0F è derivabile differenzialidiperché composizione funzioniF IfTillett lo t ao Xonxopodi derivazioneregolaPer Fermat della compostafunzioneanalisi Adi In IRtu E ooxo uFormula Peanosecondodi restoclassediTaylor efunzioni conperSia Irm aEE aperto a Xof c1 e I Hg 112fixf TIf e 11x Xo XoXo x XoXoxx percriticodiDefinizione puntoSia f IRIR aperto2a E1 è critico FfE punto inf è differenziabilef se eXo Xo oun Xoper

La condizione relativa al punto minore.