Analisi 1 (sunto)

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Applicazione tra insiemi

Un'applicazione tra due insiemi A e B è una legge di natura qualsiasi che associa ad ogni elemento a di A uno ed un solo elemento b di B. Si immagina di f tramite la legge φ.

Dominio

Insieme di definizione per il quale la funzione f ha significato.

Codominio

Insieme delle immagini (immagine del Dominio). L'immagine dell'insieme è l'insieme delle immagini.

Insieme di Arrivo

Insieme dei valori contenute l'insieme dei valori assunti da B. φ(A):

Funzione Suriettiva

Una funzione si dice suriettiva se ogni elemento dell'insieme di arrivo è immagine di almeno un elemento dell'insieme di partenza B. φ(A):

∀ b ∈ B ∃ a ∈ A: f(a) = b

Funzione Iniettiva

Una funzione si dice iniettiva se ogni elemento del codominio è immagine di al più un elemento del dominio (A e solo A nel Codominio):

∀ a ∈ A, a₁ ≠ a₂ → f(a₁) ≠ f(a₂)

Funzione Biettiva

Una funzione si dice biiettiva quando si dice iniettiva che suriettiva. Una funzione biettiva ha l'inversa:

(f ∘ g)(x) = x ∀ x ∈ A

Funzione Strettamente Crescente / Decrescente

∀ x₁, x₂ ∈ A, x₁ < x₂ → f(x₁) < f(x₂)

∀ x₁, x₂ ∈ A, x₁ < x₂ → f(x₁) > f(x₂)

Funzione Crescente/Decrescente

∀ x₁, x₂ ∈ A, x₁ < x₂ → f(x₁) ≤ f(x₂)

∀ x₁, x₂ ∈ A, x₁ < x₂ → f(x₁) ≥ f(x₂)

Funzione Pari

Una funzione è definita pari se f(-x) = f(x). La simmetria esiste nell'asse delle y.

Funzione Dispari

Una funzione è definita dispari se f(-x) = -f(x). La simmetria esiste nell'origine.

Insieme limitato superiormente/inferiormente

∀x ε E ∃ R ∀ z ε R: z > x/z < x

Minorante/Maggiorane

Si dice min. maj. quel valore t/z D/E si dice

Insieme limitato

Un insieme si definisce limitato quando Es. es. sup. che inf.

∀x ε E ∃ R | x _inf.

Estremo superiore

M e’ estr _sup {x, ∀x ε E &}

∀ε > 0 x, ∃ ε R: x₀ + ε

Estremo inferiore

L e’ estr _inf {x, ∀x ε E &}

∀ε > 0 E, C ε R: x₀ +

Minimo/Massimo

Si definisce minimo/massimo quel valore m/M quando ∃ E/E

m/M ∀x ε

Teorema (estr. sup estr. inef)

(ipotesi) E ε R ed estrin inf

(tesi) il e’

Teorema massimo minimo

(ipotesi) E ε R E insieme finito

(tesi) ∃ m M assolut

Punto di accumulazione

∀ x₀ ε ∃ ε R | x < x && x₀ ∃ D(E)

Teorema (punto di accumulazione)

(ipotesi) E ε R, x₀ ε D(E)

(tesi) ∀ε > 0 ∃

Teorema (Bolzano-Weierstrass)

(ipotesi) E ε R E insieme contenente infiniti punti

(tesi) E ∃ x ε R x₀ ∃ D(E)

Teorama (Bolzano-Weierstrass, stesso)

(ipotesi) E ε R limite + insieme contenente infiniti punti)

(tesi)∃ x ε R: x₀ + acc. di punti x₀ infiniti

Operazioni tra funzioni

(e) _Dominio di {f(x);g(x)} F(x): F'(x) - d'intersezione tra dominii

delle funzioni fog

f(x) + t(x). Per fare i propri vari Si guardi e denominatore

di f vario.

Oscillazione

L’oscillazione os(f) è definita come l - L

Funzioni composte

Una funzione composta di del tipo f^og))

g: A → B

f: B → C

affinche f^og(x) allorag: ε

A_f^og ε ∀y ε Cis: D_f^og^og

Criterio di iniettività

(ipotesi) f: D ε R, f strettamente monotona

(tesi) f è iniettiva in D

Dimostrazione

per assurdo, supponiamo f non iniettiva ∃x ε R, x₀ = :

per ipotesi f è strettamente monotona(fx_{0+ - x0+ )}

x - x_{0 + f(x) sub x0+) → per assurdo f(x.bool)}

per(x,x^{)xsub> - x₀ per x_0&}&

contraddizione x f(x) x_{l(x0ft :}

(ipotesi) sub {d ε R - C ε).

(tesi) f^{-l - C ε → f is D ε}

-¹ iniettiva monotona

Criteri del rapporto e della radice (per le serie)

so |lim (a_n+1/a_n)| < 1 → somma conv con a_n|a_n| diverge o indeterminato, caso dubbio

se a_n > 0 lim a_n^1/n = l, se l < 1 → somma conv con a_n, l > 1 → somma diverge, l = 1 caso dubbio

Teorema di Leibniz:

(a_n)_n≥0 a = (a_n) con a_n > 0 > C_n, D_n, C_m, D_m, Σ₁^∞ a_n convergente

Limiti Funzionali

f convergente per x → x₀, ∀ε > 0 ∃δ>0   |∀x|<x₀|< δ → |f(x) - L|<ε

f diverge pos. x → c° (E): ∀δ >0 ∃ε <0 –→ x ∃x₁,x₂∈ D(f)→∞→

Teorema della Permanenza del Segno

(ipotesi) f:_J⇒R ⊂(E)E⊂R (tesi) \lim{f}(x)_{x∈ J⇒x0}

Teorema sulle Funzioni Monotone:

(ipotesi) f:[a,b] → R gia monotona su_J⇒R (L=f(o)-inf [AJ⇒R,B])

Sviluppo di Maclaurin

Una funzione sviluppata in serie di Taylor in x₀ è definita sviluppo di Maclaurin.

Problema del resto (caso globale). Formula di Lagrange

f:(I)_stretta ⊆ A ⊆ R, X × ε A f (x)=a₀ + f ^'(a₀)(x-x₀) + _/(c)(f (n)(x)) f (n)(kε)(x-x₀)ⁿ/_n! {

∀f ∈ C⁽ⁿ⁾[(x₀ , x₁+µ)], {R_m(x) = (x - x₀)ⁿ}. {

Osservazione:

la formula serve solo per dare una stima del resto in x.

Problema del resto (caso asintotico)

f ∈ C(I), {f (x) = P_m(x) + R_m}, n = n+1 ^a_n(x-x0).

poiché f non dipende da n, stabilito solo P_m(in |Rm|≤|s_m|, s_m = inf |P_n|^xεI)

questa è la serie fequel associata ad f (·).

La formula del resto vale previa

solo da f è (x₀) = ⁰;.^['](/m) Quando

f(= , x = x₀) se S arriva a , f E ( senza etic f (m),} e analitica è in f₀}

Alle{} [_del= dell']f intrusi R resta in Cui svelati f,}',f = ψ  in

serie di Taylor:

Condizioni per la Sviluppabilità in serie di Taylor

f:(I)_stretta ⊆ C[(x₀ , x₀+µ)] IMRF N ^F(uc=I; M x ε I, x¹∩N ε N

(stad){ R _mm⇒r₀

Dimostrazione:

Considero fserie ∫^{(f)(x+e_i x)}

{f(series)(x) + f({x₀})/x} = I([f_m(X-x)] - P_m(1)], ≈ (R_n)+[P_m(1)(x)]).{ R_(n) da}

Considero x ∈ |R ±^(x-l)| _LF[ (n-I)] S{x

elaborato [un_R^0(xn);)

Funzioni iperboliche

1. coshx∗ R. Funzione pari coshx : R_ | f→ x, y > i
2. sinhx = ^{e_−x ≠ X ∈[/;}