Analisi 1 - Raccolta completa lezioni, appunti, esercizi

Name: Analisi 1 - Raccolta completa lezioni, appunti, esercizi
Brand: Skuola.net
Price: 7.99 EUR
Availability: InStock
Author: dannymaths

Revisionato il 14/05/2026

di dannymaths

Publisher

Vota

Contenuto verificato e approvato dal Team di Esperti di Skuola.net

La dispensa contiene lezioni, appunti ed esercizi passo per passo per poter studiare in modo completo gli argomenti per l'esame di Analisi 1.Gli argomenti trattati sono i seguenti.Funzioni: …

Esame Analisi matematica I

Facoltà Ingegneria dell'informazione iii

Università Politecnico di Torino

A.A. 2016-2017

111 pagine

Appunto

Scarica

Estratto del documento

Analisi 1: Lezioni, appunti ed esercizi

Limiti notevoli

lim_x→0 (sin x) / x = 1
lim_x→∞ (1 + 1/x)^x = e
lim_x→0 ((1 + x)^k - 1) / x = k
lim_x→0 tg x / x = 1
lim_x→0 ln(1 + x) / x = 1
lim_x→0 (e^x - 1) / x = 1
lim_y→0 (e^y - 1) / y = 1
lim_x→0 (1 - cos x) / x² = 1/2
lim_x→0 f₂(3x) / 3x = 3
lim_x→0 (2^x - 1) / x = ln 2
lim_x→0 ln(1 + √2 x) / √2 x = √2
lim_x→0 ln_a(1 + x) / x = 1/ln a
lim_x→0 ln(1 + sin x) / sin x = 1
lim_x→0 ln(1 + sin x) / x * sin x / x = 1
lim_x→0 (e^x - cos √x) / x = lim_x→0 (e^x - 1 - cos √x) / x = lim_x→0 [(e^x - 1) / x + (1 - cos √x) / x] = 3/2

Proprietà asintotiche

Se f₁(x) ~ g₁(x) e f₂(x) ~ g₂(x) per x→x₀ ⇒ f₁(x) ⋅ f₂(x) ~ g₁(x) ⋅ g₂(x)
Se f₁(x) ~ g₁(x) e f₂(x) ~ g₂(x) per x→x₀ ⇒ f₁(x) / f₂(x) ~ g₁(x) / g₂(x) per x→x₀
Se f(x) ~ ϕ(x) per x→x₀ ⇒ ([f(x)]^α ~ [ϕ(x)]^α per x→x₀)

sin x ~ x | 1 - cos x ~ (1/2)x² | tan x ~ x | e^x - 1 ~ x | ln(1+x) ~ x
(1 + x)^α ~ 1 + αx per x→0
e^f(x) - 1 ~ f(x) per f(x)→0

Ordine di infinitesimo e parte principale

Se per x → 0 f(x) ≈ k x^α (con α > 0) si dice che:
f(x) è un infinitesimo di ordine α
k x^α è la parte principale.

Esempi

Esempio 1: Determinare ordine di infinitesimo e parte principale di f(x) = sin x.
sin x ≈ x per x → 0.
Quindi f(x) è un infinitesimo di ordine 1 con p.p. x.

Esempio 2: Determinare ordine di infinitesimo e parte principale di f(x) = cos x - 1.
cos x - 1 ≈ -¹/₂ x² per x → 0.
Quindi f(x) è un infinitesimo di ordine 2 con p.p. -¹/₂ x².

NB: f(x) ≈ k x^α è equivalente a f(x) = k x^α + o(x^α).

Esempio di ordine di infinitesimo

Determinare ordine di infinitesimo e p.p. di f(x) = √(1+x) - √(1-x) - x.
Se non posso ricondurmi alle equivalenze asintotiche, devo ricorrere agli sviluppi di Taylor, in questo caso:
(1+x)^d = 1 + d x + ^d(d-1)/₂ x² + ^d(d-1)(d-2)/₆ x³ + ... + ^(d_k)/_(k!) x^k + o(x^k).

Segue che, per x→0
√(1+x) = (1+x)^1/2 = 1 + ¹/₂ x - ¹/₈ x² + ¹/₁₆ x³ + o(x³).
√(1-x) = (1-x)^1/2 = 1 - ¹/₂ x + ¹/₈ x² - ¹/₁₆ x³ + o(x³).

Quindi:
√(1+x) - √(1-x) - x = 1 + ¹/₂ x - ¹/₈ x² + ¹/₁₆ x³ + o(x³) - [1 - ¹/₂ x - ¹/₈ x² - ¹/₁₆ x³ + o(x³)] - x
= ^x³/₈ + o(x³).

Ne segue che f(x) è un infinitesimo di ordine 3 e ^x³/₈ è la parte principale.

Studio di funzione

Dominio:
- Denominatori ≠ 0
- Radici di indice pari ≥ 0
- Logaritmi > 0
- [b(x)]^g(x) → b(x) > 0
Intersezioni con gli assi:
- y = f(x) (asse y).
- x = 0 (se appartenente a dom.).
- y = f(x) (asse x).
- y = 0.
Simmetrie e periodicità:
- Pari: f(-x) = f(x) → Simmetrico rispetto all'asse delle ordinate.
- Dispari: f(-x) = -f(x) → Simmetrico rispetto all'origine.

Anteprima

Vedrai una selezione di 24 pagine su 111