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Analisi 1
Lezioni - appunti - esercizi
Dispensa completa
Limiti notevoli
- limx→0 sin x/x = 1
- limx→∞ (1 + 1/x)x = e
- limx→0 ((1 + x)k - 1/x) = k
- limx→0 tg x / x = 1
- limx→0 ln (1 + x)/x = 1
- limx→0 [f(x)]b - 1/f(x) = 1
- limx→0 1 - cos x/x2 = 1/2
- limx→0 ex - 1/x = 1
- limy→0 ey - 1/y = 1
- limx→0 1 - cos x/x = ∞
- limx→0 tg (3x)/3x = 3
- limx→0 ax - 1/x = ln a
- limx→0 ln (1 + √2 x)/√22 x = √2
- limx→0 lna (1 + x)/x = 1/ln a
- limx→0 ln (1 + sin x)/sin x = 1
- limx→0 (ln (1 + sinx)/x + sin2 x/x) = 1
- limx→0 ex - cos √x/x = limx→0 ex - 1 - cos √x/x = limx→0 (ex - 1/x + 1 - cos √x/x) = 3/2
Studio di Funzione
Dominio:
- Denominatore ≠ 0
- Radici di indice pari ≥ 0
- Logaritmi > 0
- - f(x) ≤ g(x) → f(x) > 0
Intersezioni con gli assi:
- (y = f(x)) (Asse y)
- (x = 0) (se appartenente a dom.)
- y = f(k) (Asse x)
- y = 0
Simmetrie e periodicità:
- Pari: f(x) = f(-x) → Simmetrico rispetto all'asse delle ordinate.
- Dispari: f(-x) = -f(x) → Simmetrico rispetto all'origine.
- Né pari né dispari: altro → Potrebbero esserci altri tipi di simmetrie.
NB. Rocco simmetrie pari/dispari solo se il dominio è simmetrico rispetto a x=0 → f(x ± T) = ... → Si ripete uguale dopo ogni periodo T.
Asintoti Verticale Orizzontali:
Verticale
- lim (x → a⁻) f(x) = +∞ Sinistro
- lim (x → a⁻) f(x) = -∞ Sinistro
- lim (x → a⁺) f(x) = -∞ Destro
- lim (x → a⁺) f(x) = +∞ Destro
Orizzontale
- lim (x → +∞) f(x) = l Destro
- lim (x → -∞) f(x) = l Sinistro
Possono esistere → Infiniti asintoti verticali
Possono esistere → Solo 2 asintoti orizzontali
Intersecabili infinite volte.
2) Esistono, diversi
⇒ f(x) non è derivabile in x0 — punto angoloso
y = |x| = { x x ≥ 0, -x x < 0 }
y' = { 1 x > 0, -1 x < 0 }
limx→0+ f'(x) = 1 ≠ limx→0- f'(x) = -1
3) Esistono, entrambi a ±∞
⇒ f(x) non è derivabile in x0
y = x3/2
y' = 1 / (3√x2)
limx→0 y' = ±∞ = limx→±∞ y
Se -∞ discendente
4) Uno -∞ e l'altro +∞
⇒ f(x) non è derivabile in x0 — cuspide
y = |√x|
y' = { 1/(3√x) x > 0, -1/(3√x) x < 0 }
limx→0+ 1/(3√x2) = +∞
limx→0- -1/(3√x2) = -∞
OSS1:
Uno dei due limiti potrebbe non esistere perché la funzione è definita solo a sinistra o solo a destra di x0.
OSS2:
Può accadere che i due limiti non esistano, quindi non si può dire nulla sulla derivabilità e si calcola direttamente il limite del rapporto incrementale.
Se 3 √x fino ± derivabile in x0
Se ≠ non derivabile.
COME PER LE DERIVATE ( DOVE NON CALCOLO IN OGNI ESERCIZIO IL LIMITE DEL RAPPORTO INCREMENTALE PER TROVARE LA DERIVATA), ANCHE QUI POSSIAMO APPOGGIARCI A DELLE REGOLE DI INTEGRAZIONE:
PER CALCOLARE a∫b f(x) dx DEVO:
- TROVARE UNA FUNZIONE CHE, NELL'INTERVALLO [a,b], ABBIA f(x) COME DERIVATA, OVVERO UNA PRIMITIVA DI f.
- UNA VOLTA TROVATA, LA CALCOLO NEGLI ESTREMI DELLA ZONA DI INTEGRAZIONE (CALCOLO CIOÈ F(b) e F(a))
- SOTTRAGGO I DUE VALORI
a∫b f(x) dx = F(b) - F(a)
ESEMPIO:
0∫5 3x² dx = [x³]50 = (5)³ - (0)³ = 125
Ipassaggio IIpassaggio
NELLA MAGGIOR PARTE DEI CASI, IL Ipassaggio, OVVERO LA RICERCA DELLA PRIMITIVA, È QUELLO PIÙ COMPLICATO, PER FARE QUESTO ESISTONO DETTAGLIATE REGOLE.
Esempio 4:
∫cosxsinx dx = ln|sinx| + c.
NB1: Non tutti gli integrali sono facilmente riconducibili a primitive elementari per quelli si usano altre tecniche d'integrazione (per parti, sostituzione, ---).
NB2: Tutti gli esempi visti possono essere risolti usando la tecnica di integrazione per sostituzione (più lunga).
Esempio 5:
\(\int e^x \sin x \, dx = -\cos x \, e^x - \int (-\cos x) \, e^x \, dx\)
\(f = e^x \quad f' = e^x\)
\(g' = \sin x \quad g = -\cos x\)
devo risegliere \(e^x\) come \(f\) perché l'ho fatto prima altrimenti ottengo l'integrale di partenza.
\(-\cos x \, e^x - \left[-\sin x \, e^x - \int (-\sin x) \, e^x \, dx \right]\)
\(= -\cos x \, e^x + \sin x \, e^x - \int \sin x \, e^x \, dx\)
\(\int e^x \sin x \, dx + \int e^x \sin x \, dx = e^x (\sin x - \cos x)\)
\(\int e^x \sin x \, dx = \frac{1}{2} \, e^x (\sin x - \cos x) + C.\)
Esempio 3:
∫ √x-1 dx = 2 dy (y2+1)
⅔ y2 dy + 2 ∫ dy
= ⅔ y3+2y+c
= ⅔ (√x-1)3 + 2√x-1 + c
= 2√x-1 [ &frac{x-1}{3} + 1 ] + c
= 2√x-1 [ &frac{x+2}{3} ] + c
y = √x-1
dy = &frac1{2√x-1} dx
y2 = x-1
x = y2+1
Se vogliamo che la prima e l'ultima frazione del punto 3 coincidano:
A + B = 0
A - 2B = 1
A = -B
-B - 2B = 1
A = 1/3
B = -1/3
Quindi:
1/((x-2)(x+4)) = 1/31/(x-2) - 1/31/(x+1)
4)
∫ x3-3x-1 / x2-x-2
= ∫ [x+1 + 1/31/(x-2) - 1/31/(x+1) ] dx
= ∫ x dx + ∫ dx + 1/3 ∫ 1/(x-2) dx - 1/3 ∫ 1/(x+1) dx
= x2/2 + x + 1/3 ln |x-2| - 1/3 ln |x+1| + C
= x2/2 + x + 1/3 ln |x-2/x+1| + C
Integrali - esercizi svolti
- ∫(2 - x/2 - 2/x) dx
- ∫ln x/x2 dx
- ∫b-b |x-a| dx con a
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
