Analisi 1 prof. Citti

20/09/18

Valore assoluto

def. se x ∈ ℝ poniamo |x| = max(x, -x)

Proprietà

• |x| ≤ a <=> -a ≤ x ≤ a

DIM

• per x ≥ 0 => -x ≤ x => |x| = x ≤ a
• a ≥ 0 => -a ≤ 0
• -a ≤ 0 ≤ x ≤ a

• per x < 0 => -x ≥ x => |x| = -x ≤ a
• a ≤ 0 => -a ≥ 0
• a ≤ 0 ≤ -x ≤ a CAMBIO SEGNO -a ≤ x ≤ a

oppure

• -a ≤ x ≤ a => -a ≤ -x ≤ a

perché {insieme: maggiori di -a e minori di a}

Proprietà del valore assoluto o della distanza

• |x| ≥ 0 + x ∈ ℝ
• |x| = 0 <=> x = 0
• |ex| = |e| · |x| ∀ x ∈ ℝ
• |x + y| ≤ |x| + |y|

oss.: può succedere che

|x + y| < |x| + |y| <=> ∃ x, y : |x + y| < |x| + |y| (SEGNI OPPOSTI)

Numeri naturali ℕ

def. A ⊆ ℝ

• 0 ∈ A
• n ∈ A -> n + s è il successivo e ∈ A

A si dice INDUTTIVO

ℕ def.

L'intersezione di tutti i sistemi induttivi.

• POTENZA

• 2⁰ = 1
• 2ⁿ⁺¹ = 2 ∙ 2ⁿ ∀ n

definizione 2ⁿ ∀ n ∈ ℕ

• FATTORIALE

• 0! = 1
• (n+1)! = (n+1) n! ∀ n

definisce n! ∀ n ∈ ℕ

• SUCCESSIONE

se ∀ n ∈ ℕ è assegnato un numero reale a_n ∈ ℝ, dirò che è assegnata la successione (a_n)_{n ∈ ℕ}

es. a_n = (-4)ⁿ ∀ n ∈ ℕ

• a₁ = -4
• a₂ = 4
• a₃ = -4
• a₄ = 4
• ...
• a_n = a₁ = a₃

1 = a₂ = a₄

• SUCCESSIONE LIMITATA

data (a_n)_{n ∈ ℕ} se ∃ b, c ∈ ℝ: b ≤ a_n ≤ c ∀ n ∈ ℕ

• LIMITE

data (a_n)_{n ∈ ℕ}

\[\lim_{n \to \infty} a_n = a \in \mathbb{R} \;\\ se \;\varepsilon>0\; \text{e se}\; \exists n_{\varepsilon} \in \mathbb{N}: \; n \ge n_{\varepsilon} \Rightarrow | a_n - a | < \varepsilon \]

22/09/18

es. 0,3 → a_n = 0.3₁

• a₂ = 0.33
• a₃ = 0.333

\[ \varepsilon = \frac{1}{10^2} \Rightarrow \text{precisione 2\textsuperscript{o} cifra decimale da } a_2 \text{ in poi.} \]

quindi \[ n_{\varepsilon} = 2 \]

\[ \forall n > 2 \Rightarrow | a_n - 0.3₁ | = 0.003 < \frac{1}{10^2} \]

es. a_n = (-1)ⁿ ∀ n ∈ ℕ

\[\varepsilon = \frac{1}{10} \Rightarrow | a_n - a_{n-1} | = 2 \gt \frac{1}{10} \Rightarrow \text{NON HA LIMITE} \]

OSS: (a_n) n ∈ ℕ successione reale

∃ lim a_n = a ⇔ ∀ ε > 0 ∃ n_ε ∈ ℕ: ∀n ≥ n_ε |a_n - a| ≤ ε

⇐ ∀ ε ≥ 0 ∃ 2ε > 0 ∃ n_2ε ∈ ℕ: ∀n ≥ n_2ε a_n - a| ≤ 2ε.

Proposizione

(a_n) n ∈ ℕ (b_n) n ∈ ℕ successioni reali

∃ lim a_n = ∞ e (b_n) n ∈ ℕ è limitata inferiormente

⇒ ∃ lim a_n + b_n = ∞

OSS: Se ∃ lim a_n = ∞ e ∃ lim b_n = b ∈ ℝ posso applicare

la proposizione poiché (b_n) n ∈ ℕ è limitata quindi è anche

limitata inferiormente.

es:a_n = -n → -∞b_n = ¹/_n → 0

{ a_n + b_n → -∞per n → ∞ }

OSS:a_n → ∞b_n → ∞

b_n non raggiunge -∞ quindi è limitata inferiormente

es:a_n = n → -∞b_n = n² + 1 → ∞

{ a_n + b_n → +∞per n → ∞ }

OSS:a_n → ∞

b_n è limitata ma non ha limite ⇒ ∃lim a_n + b_n = ∞

es:a_n = n → -∞b_n = (-1)ⁿ

a_n + b_n = n + (-1)ⁿ

a_n + b_n → ∞per n → ∞

Sia A ⊆ ℝ, A ≠ Ø, sia c ∈ ℝ: c ≤ x ∀ x∈A allora c si dice minorante di A.

Oss.: se A è inferiormente limitato allora ha un minorante, cioè se A è inferiormente limitato ⇒ ∃ M∈ℝ : M ≤ x ∀ x∈A.

Oss.: se A è inferiormente limitato, ha infiniti minoranti.

A = ]a, b] ⇒ L'insieme dei minoranti di A è {x ∈ ℝ , x ≤ a} A = [a, b] ⇒ L'insieme dei minoranti di A è {x ∈ ℝ , x ≤ a} _x∈ℚ A = {x ∈ ℚ : τ < x < 10} ⇒ L'insieme dei minoranti di A è {x ∈ ℝ : x < π} A = {x ∈ ℝ : π < x < 10} ⇒ L'insieme dei minoranti di A è {x ∈ ℝ : x ≤ π}

Assioma

Se A ⊆ ℝ, A ≠ Ø, inferiormente limitato, l'insieme dei suoi minoranti ha massimo.

Oss.: questo assioma vale per ℝ ma non per ℚ.

Sia A ⊆ ℝ, A ≠ Ø, inferiormente limitato, si dice inf(A), cioè estremo inferiore di A, il massimo dei suoi minoranti.

Se (a_n) _n∈ℕ è successione reale, poniamo estremo inferiore di a_n = inf (a_n)_n∈ℕ = inf a_n : n ∈ ℕ∩.

Se A non è inferiormente limitato, poniamo inf A = -∞.

Oss.: in ℝ, A ⊆ ℝ, A ≠ Ø ha sempre estremo inferiore.

Teorema

Se (a_n) _n∈ℕ è successione monotona decrescente allora lim _n→∞ a_n = sup a_{n n∈ℕ}.

A = ]0, 1[ ∪ ]1, 2[

il punto 0 è di accumulazione per A perché ∃(x_n): x_n → 0

x_n = ¹/_n x_n ∈ A \ {0}

il punto 1 e il punto 1 sono di accumulazione, quindi l’insieme dei punti di accumulazione è {0, 2}.

A = ]0, 1[ ∪ {3}

il punto 3 non è di accumulazione anche se ∈ A poiché ∀(x_n) ∈ A \ {3}: x_n → 3 per n → ∞, quindi l’insieme dei punti di accumulazione è {0, 1}.

Q = insieme dei razionali:

A = R/Q = insieme degli irrazionali.

per x ∈ A ∃ (x_n) in Q \ {x}: x_n → x per n → ∞ e per x ∈ Q ∃ (x_n) in Q \ {x}: x_n → x per n → ∞

quindi:

∀ x ∈ R ∃ (x_n) in Q \ {x}: x_n → x per n → ∞.

L’insieme dei punti di accumulazione di Q è R.

def. Se x ∈ A e x non è di accumulazione, si dice isolato.

A = ℕ ⊆ ℝ

il punto 1 ∈ A, ma non è di accumulazione → isolato ∀ n ∈ ℕ n è isolato → L’insieme dei punti di accumulazione è ∅.

A = [0, 1[ ∪ {3}

1 è punto di accumulazione 3 è punto isolato 5 non è isolato e non è di accumulazione (∉ A)

A ⊆ ℜ è connesso ⇔ ∀ x,y ∈ A x≤y, ∃ n ha [x,y] ⊆ A

OSS: [a,b] è connesso

]a,b[ è connesso

A = [0,1] ∪ [2,3] non è connesso

A = {n ∈ ℕ : n è pari} non è connesso

Teorema dei valori intermedi

f : [a,b] → ℜ continua se f(a) < z < f(b), z ∈ ℜ

allora ∃ c ∈ ]a,b[ : f(c) = z

DIM

f(c) = z ⇔ f(c) - z = 0

pongo g: [a,b] → ℜ g(x) = f(x) - z     ∀ x ∈ [a,b]

quindi: g(a) = f(a) - z < 0

     g(b) = f(b) - z > 0

     allora

 ∃ c ∈ ]a,b[ : g(c) = 0 → g(c) = 0 → f(c) - z = 0

 quindi: f(c) = z

Teorema di Bolzano

A connesso se f continua → f(A) è connesso

dove f(A) = {y : ∃ c ∈ A, y = f(c)}

DIM

A connesso, f : A → ℜ continua

f(A) connesso ⇔ ∀ y₁,y₂ ∈ f(A)   {y₁,y₂} ⊆ f(A) ⇔

∀ y₁,y₂ ∈ f(A) ∃ x₁,x₂ ∈ A :   y₁ = f(x₁)  e  y₂ = f(x₂),

    {y₁,y₂} ∈ f(A) ⇔

∀ x₁,x₂ ∈ A, ∀ z ∈ [f(x₁),f(x₂)] ∈ f(A) ⇔

∀ z : f(x₁) ≤ z ≤ f(x₂), ∃ c ∈ A: z = f(c)  cioè, z ∈ f(A)

OSS: equivalente al teorema dei valori intermedi