Terza parte appunti Analisi 1

Simbolo "o piccolo":

Siano x ∈ ℝ, f, g: X → ℝ

x₀ ∈ ℝ* ntg d'aeeum. per x

g(x) ≠ 0 definitivamente per x → x₀

Det: si dice che f(x) = o(g(x)), x → x₀, (f(x) è o piccolo di g(x))

se lim (f(x)/g(x)) = 0

Caso particolare: g(x) ≡ 1

f(x) = o(1) x → x₀ ↔ lim f(x) = 0

Esempi:

1. x³ = o(x²) x → 0
2. x = o(x²) x → ±∞
3. x = o(eˣ) x → ±∞
4. log₉x = o(x⁻¹⁰⁻³) x → ±∞

Scrittura di "o" piccolo nei limiti notevoli:

1. sen x → x (1+o(1)) x → 0
2. sen x = x + x o(1)

x o(1) = o(x) x → 0, perché x o(1) _{x → 0}

senx = x + o(x) x → 0

1. cosx = 1 - x²/2 + o(x⁴) x → 0

-x²/2 = o(1) x → 0, perché ^-x2/_x²= 0(1)

1. cosx = 1 - x²/2 + o(x⁴) x → 0

Altri limiti notevoli:

1. lim log_e(1+x)/x_x→0 = log_e

log (1+x) / x_x→0 = log_e(1+x)¹/_x

lim log_e⁽¹⁾x → 0 = log_e e = 1

1. lim log_a(1+x) / x_{x → 0} = log_a e     ∀ a>0, a≠1

log_a(1+x) = log_a e log (1+x)⁽¹⁾

log_a e (x + o(x)) = x log_a e(O(1)) x → 0

In conclusione:

log_a(1+x) / x = log_a e + o(x/x) x → 0

log_a (1+x) / x = log_a e + 0(1)

1. lim e^x-1 = 1

Funzione continua:

Siano X ⊂ R, f: X → R

x₀ ∈ X _{pto di accum.} per X

Def: Si dice che f è continua in x₀ se

lim f(x) = f(x₀)

∀ε > 0, ∃ δ > 0 t.c. ∀x ∈ X, |x - x₀| < δ: |f(x) - f(x₀)| < ε

Se x₀ è isolato, allora si dice che f è continua in x₀

Oss: Per il teorema ponte si ha:

f è continua in x₀

∀ {a_n} a_n ∈ X, a_n → x₀; f(a_n) → f(x₀)

Esempi di funzioni continue sono le funzioni elementari.

Infatti:

• senx, cosx, a^x (a ≠ 0) sono continue in ogni x^o ∈ R
• log_ax (a > 0, a ≠ 1), tgx, x^α (α ∈ R), arcsenx, arccosx, arctgx

sono continue in ogni x^o del rispettivo dominio naturale

Esempio:

f(x) = ⌊x⌋ x ∈ R

x₀ ∈ R \ Z

lim ⌊x⌋ = ⌊x₀⌋ ⇔ f è continua in x₀

1 < x₀ < 2:

1 < x < 2 : ⌊x⌋ = ⌊x₀⌋

X ⊆ |R, f: X → |R, x₀ ∈ X x₀ f(d)ceam per x

Def: Si dice che x₀ è p₀ di discontinuità per f se f non è continua in x₀.

Oss: f continua in x₀ ∃ lim f(x) = f(x₀)

Se x₀ è p₀ di discontinuità per f, allora ∄ lim f(x) oppure

∃ lim f(x) oppure ∃ lim f(x) ≠ f(x₀)

Classificazione dei punti di discontinuità:

1. Si dice che x₀ è p₀ di discontinuità eliminabile se

∃ lim f(x) finito ma diverso da f(x₀)

2. Si dice che x₀ è p₀ di discontinuità di prima specie se

∃ finiti lim f(x) lim f(x)

3. Si dice che x₀ è p₀ di discontinuità di seconda specie in

tutti gli altri casi in cui f non è continua in x₀.

Esempi:

1. f(x) =

lim f(x) = lim senx/x = 1 ≠ 0 = f(x₀)

h(0) = 0

0 è p₀ di discontinuità eliminabile per f.

Si può definire:

f̂(x) =

f̂(x) = f(x) ∀ x ≠ 0

f̂ è continua in 0, lim f̂(x) = 1 = f̂(0)

Teorema discontinuità funzioni monotone:

Siano I intervallo di ℝ e f: I → ℝ monotona.

Allora f ha al più discontinuità di prima specie e negli estremi dell'intervallo sono discontinuità eliminabili (al più).

Dim:

Supponiamo I = (a, b) ⊆ ℝ e f: I → ℝ crescente.

• 1° caso: a < x₀ < b

lim_x→x₀^- f(x) = inf_[a,x₀] f(x) ≥ f(x₀)

∀ x ∈ (x₀, b]: f(x) ≥ f(x₀)

lim_x→x₀⁺ f(x) = sup_(x₀,b] f(x) ≤ f(x₀)

• ∀ x ∈ (a, x₀]: f(x) ≤ f(x₀)

∃ lim_x→x₀^- f(x) ∈ ℝ      lim_x→x₀⁺ f(x) ∈ ℝ

• 1° caso: lim_x→x₀^- f(x) = lim_x→x₀⁺ f(x) = f(x₀) ⇒ f è continua in x₀
• 2° caso: lim_x→x₀^- f(x) ≠ lim_x→x₀⁺ f(x) ⇒ x₀ è p. di discont. di prima specie

• Se x₀ = b

lim_x→b^- f(x) = sup_(a,b] f(x) ≤ f(b) perche:

∀ x ∈ (a, b]: x ≤ b ⇒ f(x) ≤ f(b)

• 1° caso: lim_x→b^- f(x) = f(b)

b è una discontinuità eliminabile

• 2° caso: lim_x→b^- f(x) ≠ f(b)

∃ m ∈ ℝ T. E.

f(x) = f(x₀) + m (x-x₀) + o (x-x₀), x → x₀

f(x) - f(x₀) = m + o (x-x₀) = m + o (1), x → x₀

x - x₀ x → x₀

DEF: Si definisce rapporto incrementale di f in x₀,

x ≠ x₀, f(x) - f(x₀)

x - x₀

La retta congiungente (x,f(x)) e (x₀,f(x₀))

ha come coeff. angolare f(x) - f(x₀), x ≠ x₀

x - x₀

DEF: Se esiste la migliore appross lineare di f in x₀

(∃ m ∈ ℝ T. E. f(x) = f(x₀) + m (x-x₀) + o (x-x₀) x → x₀)

si dice che la retta di equazione y = f(x₀) + mx è la

retta tangente non verticale a f in (x₀,f(x₀))

f(x) - f(x₀) = m + o (1), x → x₀

x - x₀ x → x₀

lim f(x) - f(x₀) = m

_x→x₀

DEF: Si dice che f è derivabile in x₀ se ∃ lim f(x) - f(x₀) ∈ ℝ

_{x→x₀x - x₀}

f'(x₀) := lim f(x) - f(x₀) derivata di f in x₀

_x→x₀

Teorema: I intervallo, f: I → ℝ x₀ ∈ I

f è derivabile in x₀ <=> esiste la retta tangente non verticale

a f in (x₀,f(x₀)).

Vero l'una o l'altra di queste affermazioni:

l'equazione della retta tangente è data

DEF:

Siano I intervallo di ℝ e f: I → ℝ. Si dice che f è derivabile in I se f è derivabile in ogni x ∈ I.

OSS:

Se f è derivabile in I

x ∈ I → f'(x) ∈ ℝ

funzione derivata prima

f': I → ℝ f'(x)

derivata di f in x

DEF:

Si dice che f ∈ C¹(I)

se f è derivabile in I, f': I → ℝ è continua in I

OSS:

f ∈ C¹(I) ⇒ f ∈ C⁰(I)

Esempi:

1. f(x)= x², x ∈ ℝ
2. x² ∈ C⁰(ℝ)
3. f(eˣ)= eˣ, x ∈ ℝ;
4. eˣ ∈ C⁺(ℝ)

Siano I intervallo di ℝ e f: I → ℝ, x₀ ∈ I

DEF:

Si dice che la retta di equazione x = x₀ è la tangente verticale al grafico di f in (x₀, f(x₀)) se:

1. f è continua in x₀;
2. lim x → x₀

Notazione: re = x₀ è retta tang. verticale

x^a = g^x g^a

Esempio: f(x) = x^4/3

f'(x) = ⁴/₃ x^{4/3 − 1} = ⁴/₃ x^1/3

2. f(x) = e^x e > 0

f(x) = a^x e = _- log_(a^x) e^{-log a}

Per il teorema sulla derivata funz. composta:

f'(x)= e^x log a log a = a^x log a

Derivate funz. trigonometriche:

1. f(x) = sen x

x ∈ R

^{sen (x + h) - sen x - sen x cos x h - 1 + cos x sen x h - sen x}/_h

^h/_h ^{sen h}/_h R → 0

cos h - 1 + o(1) h → 0

^{sen h}/_h = 1 + o(1) h → 0

D sen x = cos x

2. D cos x = -sen x

D cos x = D sen (x + π/2) = cos (x + π/2) = -sen x

3. D tg x = ¹/_{cos² x} = 1 + tg² x

x ≠ π/2 + kπ k ∈ Z