Analisi 1 - parte prima (di 3)

ΔNALISI

α

y₁

x₁

x₂

C = x + iy : x, y ∈ ℝ, i = √-1 = ℝ x iℝ

Z = x + iy → coniugato → Z = x - iy

Z₁ = x₁ + i y₁

Z₂ = x₂ + i y₂

Z₁ + Z₂ = ( x₁ + x₂ ) + i ( y₁ + y₂ )

Z + Z = 2_x

Z₁ • Z₂ = ( x₁ x₂ - y₁ y₂ ) + i ( x₁ y₂ + x₂ y₁ )

Z₁/Z₂ Z₁/Z₂ = Z₁ • Z₂ / Z₂ Z₂ = x₂² + y₂²

Z • Z = x² + y² ∈ ℝ⁺

Il numero dei numeri complessi è definito nel piano dove non ci sono relazioni d'ordine quando ci si limita a ℝ₁ e ℝ₂

( ℂ, ℝ₁, ℝ₂ ) - Campo dei numeri complessi

Z₁ • Z₂ (Forma trigonometrica) = |z₁| • |z₂| (cos (φ₁ + φ₂) + i sin (φ₁ + φ₂) )

quindi: |z₁ • z₂| = |z₁| • |z₂|

Arg(z₁ • z₂) = Arg(z₁) + Arg(z₂)

Nella e trigonometrica, a differenza che in quella algebrica, si può dare un significato geometrico al modulo fra numeri complessi.

f(x) = x²

se x ∈ ℝ ⇒ -x ∈ ℝ e posso calcolare

f(-x) = (-x)² = x² = f(x)

se f(-x) = f(x) ⇔ f è pari

(ogni funzione esponenziale con

esponente pari è pari)

f(x) = x³

f(-x) = (-x)³ = -x³ = -f(x)

se f(-x) = -f(x) ⇔ f è dispari

PARI: SIMMETRIA RISPETTO Y

DISPARI: SIMMETRIA RISPETTO O (x-y)

f: ℝ → ℝ è periodica di periodo t > 0 se ∀ x ∈ ℝ: f(x) = f(x + T)

(può essere periodica

Dom f = ℝ)

f(x) = f(x + T)

T

f(x + c), c < 0 trasla verso sx

f(x + t), t > 0 ripete verso dx

6) Funzione esponenziale

a^x: ℝ → (0, ∞) a > 0 a ≠ 1

a = 2 a = 1

S. crescente per a > 1, S. decrescente per 0 < a < 1 grafic

Proprietà

• a⁰ = 1
• a^x > 0
• a^x+y = a^x * a^y
• a^-x = 1 / a^x
• (a^x)^k = a^xk

(^a/_b)^x = a^x * b^-x

(^a-x/_b^-x = ^ax/_b^x

N. si impone a = e = ? = 2, 71... è importante perché la sua derivata (e^x) = e^x

7) Funzione logaritmo (inversa esponenziale)

log_a x = (a^x)^-1

Def. log_a x è la potenza alla quale si deve elevare a per ottenere x

a > 0 a ≠ 1 log_a x: (0, ∞) → ℝ

log_e x = ln x = log x

log₁₀ x = lg x

Proprietà

• log_a 1 = 0
• log_a a = 1
• log_a a^x = x
• log_a x^r = r log_a x

(log_a (x*y)) = log_a x + log_a y

log_a (^x/_y) = log_a x - log_a y

log_a b^x = ^{log_c b}/_{logc a}

log_a b = ¹/_{logb a}

SUCCESSIONI NUMERICHE

Def. La successione numerica è una funzione f: ℕ → ℝ

Non può essere una curva perché il Dom = ℕ, quindi solo punti che rappresentano numeri interi

{1, 2, 3, 4, ...} → f → {a₁, a₂, a₃, a₄, ...}

successione numerica = {a_n | n ∈ ℕ}

• n: indice
• a_n: termine generale

ESEMPI UTILI

1. {a_n = ¹/_n} = {1, ¹/₂, ¹/₃, ¹/₄, ...}
2. {ⁿ/_n+1} = {⁰/₁, ¹/₂, ²/₃, ³/₄, ...}
3. {ⁿ⁺¹/_n} = {²/₁, ³/₂, ⁴/₃, ⁵/₄, ...}
4. {(-1)ⁿ} = {-1, 1, -1, 1, -1, 1, ...}
5. {n²}
6. {(-1)ⁿ} = {-1, 1, -1, 1, -1, 1, ...}
7. {2ⁿ} = {2, 2, 2, 2, ...}
8. {(-1)ⁿ 7ⁿ}

Ma a noi interessa sapere come si comportano tendendo a ∞

lim _n→∞ a_n

Def. Dato una successione numerica {a_n} = {a₁, a₂, ...}

{a_n} si dice convergente per limite l ∈ ℝ per n tendente a +∞ (n → +∞) lim _n→∞ a_n = l se

∀ε>0 ∃N ∈ ℕ tale che |a_n - l| < ε ∀n > N

l - ε < a_n < l + ε

T3

Emboè a il limite, nel suo intorno vi saranno numeri vicini alla stessa e quindi positivi. Vi potranno anche anche numeri negativi, ma ci saranno comunque infiniti termini, da essere tutti i termini dopo un certo termine.

T4

Dato {a_n} convergente tale che i suoi termini sono a_n ≥ 0 [def] allora il limite di {a_n} deve essere a ≥ 0

Dato {a_n} e {b_n} convergenti e a_n ≤ b_n [def] i loro limiti saranno _{a ≤ b}

l convergendo dunque la relazione.

Quindi permette il passaggio al limite obliquazioni: Quando io mescolo i diseguazioni le diseguazioni strette possono diventare nomadi diseguazioni es

0 < 1/n 0 = o {}; _n→∞ lim

Quindi in generale : 0 < a_n ↓ ↓ _n→∞ lim

0 ≤ a

LIMITI DI FUNZIONI REALI

(RIMED ACCENNO SU QUAD.)

I_M(+∞): INTORNO DI +∞ DI "RAGGIO M"

NON ESISTE _{(M, +∞)}

≈: NON È UN VERO INTORNO MA UN INTERVALLO

Ω I_(+∞) = (−∞, M)

Def

PUNTO DI ACCUMULAZIONE

Dato X ⊆ ℝ

P ∈ ℝ ed è PA di X ←→ ogni intorno di P contiene

almeno un x ∈ X, x ≠ P (devo trovare sempre un punto in ogni intorno possibile)

X' = { insieme di tutti i PA di X }

1. X = (0, 1)

   P = 0 √ 1

   i punti fra 0 e 1 sono PA = (0, 1)

2. X = ℝ

   X' = ℝ \ { ζ₀ } ℝ

3. X = ℝ \ { ζ₀ }

   X' = ℝ

4. X = ℕ

   X' = ℕ + ∞

5. a_n: lim _n→∞ a_n = a

   { a_n } = a

6. X = { (−1)ⁿ }

   X' = ∅