Analisi 1 - parte prima (di 3)

Analisi dei numeri complessi

Analisi dei numeri complessi può essere rappresentata come C = {x + iy : x, y ∈ ℝ, i = √-1} = ℝ x iℝ. Il numero complesso è spesso indicato come z = x + iy.

Forma algebrica e coniugato

Il coniugato di un numero complesso z = x + iy è indicato con z̅ = x - iy. Se abbiamo z₁ = x₁ + i y₁ e z₂ = x₂ + i y₂, allora z₁ + z₂ = (x₁ + x₂) + i (y₁ + y₂). Inoltre, z + z̅ = 2x.

Il prodotto tra due numeri complessi z₁ · z₂ = (x₁ x₂ - y₁ y₂) + i (x₁ y₂ + x₂ y₁).

La formula di prodotto dei coniugati è z₁-z₂_z₂ = z̅₁-z̅₂_z̅₂ = x₁²+y₁²_{k₂²+y₂²}.

Il modulo del prodotto è dato da z · z̅ = x² + y² ∈ ℝ⁺. L’insieme dei numeri complessi è definito sul piano dove non ci sono relazioni d’ordine.

Forma trigonometricaza

La forma trigonometrica di un numero complesso è z = |z| (cos φ + i sin φ). Le espressioni per x e y in termini polari sono x = |z| cos φ e y = |z| sin φ, mentre la norma è |z| = √x² + y². L'argomento è Arg(z) = tan^-1 (y/x).

Il prodotto di due numeri complessi in forma trigonometrica è z₁ · z₂ = |z₁| · |z₂| [(cos (φ₁+φ₂) + i sin (φ₁ + φ₂)]. Il modulo del prodotto è |z₁ · z₂| = |z₁| · |z₂| e l'argomento del prodotto è Arg(z₁ · z₂) = Arg(z₁) + Arg(z₂).

Forma esponenziale

La forma esponenziale di un numero complesso è z̄ = |z̄| · e^iφ. La moltiplicazione di due numeri complessi in forma esponenziale è z₁ · z₂ = |z₁| · |z₂| · e^{i(φ₁+φ₂)}.

Riassunto delle forme

• Forma algebrica: z = x + iy
• Forma trigonometrica: z = ρ(cos φ + i sen φ)
• Forma esponenziale: z = ρ · e^iφ

Per due numeri complessi z₁ e z₂ abbiamo: z₁ = ρ₁ e^iφ₁, z₂ = ρ₂ e^iφ₂, quindi il prodotto è z₁z₂ = ρ₁ρ₂ e^{i(φ₁+φ₂)}.

Formula di De Moivre

La formula di De Moivre è z̄ⁿ = ρⁿ e^i(nφ) = ρⁿ (cos(nφ) + i sen(nφ)).

Esempio: (1 + i)² = √2 e^i(π/4) (+i)²⁰¹⁷ = (√2 · e^i(φ))²⁰¹⁷ = (√2)²⁰¹⁷ · (e^i(φ))²⁰¹⁷ = √2²⁰¹⁶ · e^i(1008π) = e^i(1008π) = e^{i(504 · 2π)} = 12017 ≈ 504π. Quindi: 20k₄ + 1(504+ 1 / 4)π(504 · 1 / 2π)⇒ e^i(250(2π)).

Funzioni reali di variabili reali

Definizione: dati X, Y ⊆ ℝ, si dice funzione reale una regola f che ∀x ∈ X associa un unico y ∈ Y. Assegnate della funzione bisogna fare delle restrizioni: X = Dom(f) dominio Y = Codom(f) codominio.

Dato una funzione f, il Dom(f) = {x ∈ ℝ | esiste f(x)}, il Codom(f) = {y ∈ ℝ | ∃ x ∈ Dom(f) | y = f(x)}.

Il grafico (o curva in ℝ²) G_f = {(x, f(x)) ∈ ℝ² | x ∈ Dom(f)}, PG_OX = Dom(f) proiezione del grafico sull'asse orizzontale PG_OY = Codom(f) proiezione del grafico sull'asse verticale.

Trasformazioni geometriche

f(x) + cf(x) f(x) - cf(x) + c = F(x) f(x+c) = F(x)+c-ca+cb+ca-cb-cf(-x)-f(x) f(x) = x² se x∈ℝ → x∈ℝ f(-x) = (-x)² = x² = f(x) se f(-x) = f(x) ⇔ f è pari. (ogni funzione esponenziale con esponente pari è pari) f(x) = x³ f(-x) = (-x)³ = -x³ = -f(x) se f(-x) = -f(x) ⇔ f è dispari.

• Pari: simmetria rispetto y
• Dispari: simmetria rispetto o (x=y)

f: ℝ → ℝ è periodico di periodo t > 0 se ∀ x ∈ ℝ: f(x) = f(x + T) (per essere periodica). Dom f = ℝ f(x + c), c < 0 trasla verso sx, f(x + T), T > 0 ripete verso dx. Def._SUPF = _SUP Y M è maggiorante per F(x) se F(x) ≤ M ∀ x ∈ X. La maggiorante più pi.