Integrali indefiniti - Analisi 1

INDICE DOCUMENTO:

• Primitiva di una funzione
• Integrale indefinito
• Integrazione per parti
• Integrazione per sostituzione
• Integrazione per scomposizione
• Integrazione funzioni razionali fratte
• Teorema di decomposizione in fratti semplici
• Integrazione funzioni in sen(x) e cos(x)
• Integrazione funzioni in e^x
• Integrazione funzioni in x^(m/n), cioè potenze di esponente razionale

INDICE DOCUMENTO:

• Primitiva di una funzione
• Integrale indefinito
• Integrazione per parti
• Integrazione per sostituzione
• Integrazione per scomposizione
• Integrazione funzioni razionali fratte
• Teorema di decomposizione in fratti semplici
• Integrazione funzioni in sen(x) e cos(x)
• Integrazione funzioni in e^x
• Integrazione funzioni in x^(m/n), cioè potenze di esponente razionale

Primitiva di una funzione

Sia f: (a,b) → ℝ. Diciamo che F: (a,b) → ℝ è una primitiva di f in (a,b) se F è derivabile in (a,b) e si ha:

F'(x) = f(x)   ∀x ∈ (a,b)

Esempi

1. f(x) = cos x   x ∈ ℝ ⇒ F(x) = sen x   è una primitiva per f(x)

2. f(x) = x   x ∈ ℝ ⇒ F(x) = x²/2   e   G(x) = 2 + x²/2

   sono due primitive per f(x)

3. f(x) = 2 cos 2x   x ∈ ℝ ⇒ F(x) = sen(2x)   e   G(x) = (sen x + cos x)²

   sono due primitive per f(x)

4. f(x) = 1/x   x ∈ ]0, +∞[ ⇒ F(x) = log x è una primitiva.   ∫₀⁰ dx/x = 0

   Se   f(x) = 1/x   x ∈ ]-∞, 0[ ⇒ F(x) = log(-x) è una primitiva   ∫₀^-∞ dx/x = -∞

   Si deve tener conto del segno di x (con il seno fx)

   Quindi f(x) = 1/x   x ∈ ℝ ⇒ F(x) = log(|x|)

Dagli esempi due e tre possiamo dedurre che la primitiva non è unica

Teorema (Le primitive differiscono per una costante)

Sia F (a,b)→ℝ e sia F una primitiva per f in (a,b). Allora la funzione G(x) = F(x) + c con c ∈ ℝ è ancora una primitiva di f in (a,b). Viceversa se F e G sono primitive di f in (a,b), allora ∃ c ∈ ℝ tale che F(x) - G(x) = c   ∀x ∈ (a,b).

Dimostrazione

Se F è primitiva allora ∃ c ∈ ℝ tale che G'(x) = F'(x) + 0 = f(x)  ∀x ∈ (a,b) ovvero G è una primitiva...

Dimostrazione inversa

Poniamo H(x) = F(x) - G(x)

Vogliamo H'(x) = F'(x) - G'(x) = f(x) - f(x) = 0 in (a,b)

ovvero ∃ c ∈ ℝ tale che H(x) = c   ∀x ∈ (a,b)

⇒ le primitive di una funzione sono infinite

OSS: (ESISTENZA DELLE PRIMITIVE)

Esistono alcune funzioni che non ammettono primitive, come la:

FUNZIONE SEGNO:

f(x) =

• 1 se x > 0
• 0 se x = 0
• -1 se x < 0

Poniamo f(x) = segno(x) con x ∈ R e la chiamiamo "segno di x".Questa NON AMMETTE PRIMITIVE infati.Supponiamo per assurdo che ∃ F:I⊆R → R primitiva f in I=R.Allora F è derivabile in R ed in particolare è derivabile in x = 0 → _x→0 = F'(0) (RAPPORTO INCREMENTALE)Ma per de l'Hopitallim _x→0 (F(x) - F₀) = lim _h→0 F(h) = lim _h→0 f(x)

Non è osservato perché ≠ lim perché la funzione ogni in x=0 faIMPOSSIBILE AVERE SUPPOSTO CHE ESISTE UNA PRIMITIVA

OSS:

In generale una funzione F:(a,b)→R è derivabilein (a,b) allora in tutti suoi demnati prima (F'(x)) non puòavere un salto in (a,b)

DIMOSTRAZIONE:

Se x₀ ∈ (a,b) ∃ F'(x₀) = lim _{x→x_0} (x) = F(x) - F_{0 x→x0}

Siccome la lim non può avere un salto (poiché non può verificarsi)oppure lim _δ→0 Φ(x) = lim _δ→0 Φ(x)

OSS:

Sia F:(a,b)→R una funzione e F una primitiva di f:(a,b)Allora se x₀ ∈ (a,b) e y₀ ∈ R, esiste ed è unica (S.S.)primitiva di f in (a,b) tale che G(x) = y₀

DIMOSTRAZIONE:

Poniamo G(x) = F(x) + C e sost