Analisi 1: Funzioni Trigonometriche

( )

co co

in( ) in

Deriva dal fatto che il coseno è una funzione pari e il seno è una funzione dispari.

FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE

( )

co co co in in

Dalla figura emergono subito i seguenti punti nel piano cartesiano:

(co )

in

(co )

in

[co ( ) in( )]

( 1)

̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅

E dall’uguaglianza dei egmenti e , poiché corde di archi che sottendono angoli

uguali, si può scrivere la seguente uguaglianza:

(co ) ( ) [co ( ) 1] ( )

co in in in

e viluppando l’uguaglianza i arriva a: ( )

co co in in co

ovvero si ottiene la formula iniziale dividendo tutti i membri per 2

( )

co co co in in

( )

co co co in in ( )

Si ottiene facilmente a partire dalla precedente e sostituendo con

in( ) in co co in

Inizialmente bisogna ricordare che: in co ( )

quindi possiamo scrivere:

in( ) ( )]

[ [( ]

co co )

in rosso è evidenziata una formula che abbiamo appena dimostrato e precisamente:

[( ]

co ) co ( ) co in ( ) in

quindi con l’uguaglianza tra angoli:

in( ) in co co in

in( ) in co co in ( )

Si ottiene facilmente a partire dalla precedente e sostituendo con

FORMULE DI DUPLICAZIONE

co co in

in in co

Formule facilmente ottenibili dalle precedenti formule di addizione e sottrazione.

FORMULE DI BISEZIONE

Sapendo che possiamo scrivere il co come:

co co ( )

e risolvendo con la formula di addizione si ottiene che:

co co in

o più semplicemente usando l’identità trigonometrica:

co 1 in

co co 1

dalle quali si possono ricavare le formule: 1 co

√

|co | 1 co

√

| |

en

GRAFICO DI FUNZIONI

Dai grafici è facile comprendere come le due funzioni siano periodiche e precisamente:

in

co

TANGENTE E COTANGENTE

Definiamo ora altre due funzioni trigonometriche ovvero:

in

tan co co

cot in

sono due funzioni di

il cui grafico è il seguente: FUNZIONI INIETTIVE

Prima di poter introdurre le funzioni inverse delle funzioni trigonometriche dobbiamo

restringere il dominio delle funzioni in modo da renderle iniettive

[ ] [ 1]

co 1

[ 1]

[ ]

in 1

( )

tan ( )

( ) ( )

cotg

queste funzioni sono tutte iniettive e quindi anche invertibili e possiamo definirne le funzioni

inverse. FUNZIONI INVERSE

[ 1] [ ]

arcco 1

[ 1] [ ]

arc in 1

( )

arctan ( )

( ) ( )

arccotg

E i grafici sono simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.

LIMITI NOTEVOLI

lim 1

in

co 1

lim co 1 1

lim

DERIVATE DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

( )

in co

(co ) in

1

(tan ) 1 tan

co 1

(cot ) 1 cot

in 1

(arc )

in √1 1

(arcco ) √1

1

(arctan ) 1 1

(arccot ) 1

Le dimo trazioni ono ul file “Dimo trazione – Funzioni Trigonometriche”

APPROSIMAZIONE DI SENO E COSENO

Per approssimare queste funzioni mediante polinomi bisogna costruire una disuguaglianza

che maggiori e minori la nostra funzione. questo è relativamente facile ricordandosi della

regola che se due funzioni sono uguali in un punto e da quel punto in poi la derivata di una è

maggiore della derivata dell’altra allora lo è anche per le funzioni:

( )

( ) ( ) ( )

( )

} ( )

( )

( )

( ) ( ) in

1 co

in

co 1

in

1 co

in

e più in generale per quanto riguarda il seno evidenziato in rosso vale:

( 1) 1)

∑ ∑(

in

( 1) ( 1)

mentre per quanto riguarda il coseno evidenziato in blu si ha:

( 1) 1)

∑ ∑(

co

( ) ( )