Analisi 1: Funzioni Trigonometriche

TRIGONOMETRIA

CIRCONFERENZA GONIOMETRICA: circonferenza centrata nell’origine e con raggio pari a 1

Il RADIANTE è il rapporto tra la lunghezza dell’arco individuato dall’angolo e il raggio della

circonferenza. ANGOLI NOTEVOLI

FUNZIONI

Per i criteri di similitudine dei triangoli si può osservare che:

in

co

Estendendo queste funzioni a tutto R si ottiene:

in( ) in

( )

co co

PROPRIETA’

co in 1

Si ricava immediatamente dal Teorema di Pitagora.

( )

co co

in( ) in

Deriva dal fatto che il coseno è una funzione pari e il seno è una funzione dispari.

FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE

( )

co co co in in

Dalla figura emergono subito i seguenti punti nel piano cartesiano:

(co )

in

(co )

in

[co ( ) in( )]

( 1)

̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅

E dall’uguaglianza dei egmenti e , poiché corde di archi che sottendono angoli

uguali, si può scrivere la seguente uguaglianza:

(co ) ( ) [co ( ) 1] ( )

co in in in

e viluppando l’uguaglianza i arriva a: ( )

co co in in co

ovvero si ottiene la formula iniziale dividendo tutti i membri per 2

( )

co co co in in

( )

co co co in in ( )

Si ottiene facilmente a partire dalla precedente e sostituendo con

in( ) in co co in

Inizialmente bisogna ricordare che: in co ( )

quindi possiamo scrivere:

in( ) ( )]

[ [( ]

co co )

in rosso è evidenziata una formula che abbiamo appena dimostrato e precisamente:

[( ]

co ) co ( ) co in ( ) in

quindi con l’uguaglianza tra angoli:

in( ) in co co in

in( ) in co co in ( )

Si ottiene facilmente a partire dalla precedente e sostituendo con

FORMULE DI DUPLICAZIONE

co co in

in in co

Formule facilmente ottenibili dalle precedenti formule di addizione e sottrazione.

FORMULE DI BISEZIONE

Sapendo che possiamo scrivere il co come:

co co ( )

e risolvendo con la formula di addizione si ottiene che:

co co in

o più semplicemente usando l’identità trigonometrica:

co 1 in

co co 1

dalle quali si possono ricavare le formule: 1 co

√

|co | 1 co

√

| |

en

GRAFICO DI FUNZIONI

Dai grafici è facile comprendere come le due funzioni siano periodiche e precisamente:

in

co

TANGENTE E COTANGENTE

Definiamo ora altre due funzioni trigonometriche ovvero:

in

tan co co

cot in

sono due funzioni di

il cui grafico è il seguente: FUNZIONI INIETTIVE

Prima di poter introdurre le funzioni inverse delle funzioni trigonometriche dobbiamo

restringere il dominio delle funzioni in modo da re