Analisi 1 - Funzioni

Funzioni di una variabile reale a valori reali

Funzione iniettiva

Una funzione è iniettiva se, per ogni coppia di elementi x₁, x₂ appartenenti all'insieme A, se x₁ ≠ x₂ allora f(x₁) ≠ f(x₂).

Esempi: e^x, log x

Funzione suriettiva

Una funzione è suriettiva se, per ogni elemento y appartenente all'insieme B, esiste almeno un elemento x appartenente all'insieme A tale che y = f(x).

Esempio: y = x²

Funzione biiettiva

Una funzione è biiettiva se, per ogni elemento y appartenente all'insieme B, esiste un unico elemento x appartenente all'insieme A tale che y = f(x).

Esempi: x³, e^x, log x

Funzione invertibile

Una funzione è invertibile se è biiettiva. La funzione inversa è indicata come f^-1: B→A e soddisfa la proprietà: f ⋅ f^-1 = id.

Esempio di grafico

Il grafico di una funzione G_f è definito come l'insieme: {(x, y): x∈A, y=f(x)}.

Funzione lineare (o funzione affine)

Il grafico di una funzione lineare è una retta. L'equazione è data da: y = mx + q con m e q numeri reali fissati. È strettamente monotona su ℝ.

Immagine e controimmagine

Immagine o immagine di A: f(A) = {f(x): x∈A}; in generale f(A) ⊆ B.

Controimmagine di B: f^-1(B) = {x∈A: f(x) ∈ B}; in generale f^-1(B) ⊆ A.

Funzione monotona

Se una funzione è monotona, allora è invertibile.

Funzioni composte

Date due funzioni f: A→B e g: B→C, definiamo la funzione composta di f e g, che si scrive come g∘f.