Analisi 1- equazioni differenziali di secondo grado

CONSULENZA DOMANI ORE 13-13,30

Trovare in itinere fino a primitive ecc.

• limiti, ordini inf., j.p. con Maclaurin/Taylor
• derivate, monotonia, convessità
• calcolo di primitive (elementare)

EQ. DIFF. 2° ORDINE LINEARI A COEFF. COST. COMPLETE

x''(t) + a x'(t) + b x(t) = f(t)

caso f(t)=0 si chiamano omogenee

Delle eq. eq. omogenee

x'' + a x' + b x = 0

Integrale generale

c₁ y₁(t) + c₂ y₂(t) c₁, c₂ ∈ ℜ

Eq. caratteristica

α² + a α + b = 0

casi

1)

a² + a α + b = 0

ha due soluzioni reali distinte

α₁, α₂ ∈ ℝ α₁ ≠ α₂

y₁(t) = e^α₁t y₂(t) = e^α₂t

y(t) = c₁ e^α₁t + c₂ e^α₂t

2)

a² + a α + b = 0

ha due soluzioni reali coincidenti

α₁ = α₂ = α₀ ∈ ℝ

y₁(t) = e^α₀t y₂(t) = t e^α₀t

y(t) = c₁ e^α₀t + c₂ t e^α₀t

3)

a² + a d + b = 0

NON ha soluzioni reali, ma

ha due soluz. complesse coniugate

γ + iω γ - iω

y₁(t) = e^(γ+iω)t = e^γt e^iωt

= e^γt (cos ωt + i sin ωt)

= e^γt cos ωt + i e^γt sin ωt

dove ẏ_o(t) è soluz dell’eq. omogenea

y_P₂(t) - y_P₁(t) = ẏ_o(t)

vice mostra che

y_P₂ - y_P₁ è soluz dell’eq.

omogenea.

Derivo e sostituisco

ẏ¹_o = y′_P₂ - y′_P₁

ẏ²_o = y″_P₂ - y″_P₁

ẏ″_o + a ẏ′_o + b ẏ_o = (y″_P₂ - y″_P₁) + a (y′_P₂ - y′_P₁) +

b (y_P₂ - y_P₁) =

= [y″_P₂ + a y′_P₂ + b y_P₂] - [y″_P₁ + a y′_P₁ + b y_P₁] =

= f(t) perché

y_P₂ è soluz dell’eq.

completa

= f(t) perché

y_P₁ è soluz. dell’eq. completa

= f(t) - f(t) = 0

⇒ ẏ_o è soluz dell’eq.

omogenea.

y_P1(t) = -¹/₃ cos 2t

x'' + x = f₁(t) + f₂(t)

Risolvere x'' + x = f₂(t)

x'' + x = 1·e^t

Cerco soluz. dello stesso tipo y_P2(t) = Ke^t

Sostituisco y''_P2 + y_P2 = e^t

K e^t + K e^t = e^t

K + K = 1

2K = 1

K = ¹/₂

y_P2(t) = ¹/₂ e^t

1. trovo le radici
2. scrivo l'int. gen. eq. omog.y_o(t)
3. trovo col metodo di somiglianzauna soluz. dell'eq. completay_p(t)
4. int. gen. eq. completey_b(t) + y_p(t)
5. impongo le condizioni iniziali