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Teorema di continuità della funzione inversa
Ipotesi: f: I→R è strettamente monotona e continua
Tesi: f-1: f(I)→I è strettamente monotona dello stesso tipo della f e continua
La dimostrazione è diretta conseguenza dei teoremi precedenti:
Infatti f(I) è un intervallo e I è pure un intervallo e per teorema di continuità delle funzioni monotone f risulta continua; mentre per il teorema per le funzioni strettamente monotone la f risulta strettamente monotona dello stesso tipo della f
Esempio: π/2; sen(x) la si considera nell'intervallo [-1,1] funzione crescente
Dire che una funzione è crescente
vuol dire che 79π π − ;∈ ⇒presi x , x con x < x senx < senx 1 2 1 2 1 2 2 2da cui segue che senx – senx >02 1 − +x x x x⋅ ⋅2 1 2 12 sen cosdalle formule di prostaferesi si ha: senx – senx =2 1 2 2− +x x x x⋅ ⋅2 1 2 12 sen cosQuindi bisogna dimostrare che è positivo2 2per dedurre che anche senx – senx >02 1Dimostrazione:2 è sempre >0 π π−x x − ≤ < ≤x x2 1sen : Sulla natura di x , x si può dire che :1 2 1 22 22 π≤ − ≤0 x xQuindi la differenza x – x risulta ,2 1 2 1 − πx x≤ ≤2 10Dividendo la disuguaglianza per 2 si ha: 2 2π −x x >2 1sen 0Ma il seno di un numero compreso fra 0 e è sempre >0, quindi2 2+x x2 1cos : Ragionando ancora sulla natura di x , x si può dire che:1 22 π π− ≤ <x +12 2π π− < ≤x = sommando membro a membro si ha:22
2--------------------- +π πx x− π ≤ + ≤ π − ≤ ≤⇒x x 1 21 2 2 2 2 π π +x x− >2 1cos 0Ma il coseno di un numero compreso fra e è sempre>0 quindi2 2 2− +x x x x⋅ ⋅2 1 2 12 sen cosDal momento che risulta >0 anche senx – senx >02 12 2Quindi la funzione seno è una funzione crescente π π − ;La funzione inversa ossia la funzione arcsen è anch’essa crescente e continua in [-1,1]→ 2 2 Esempio: π π − ;tgx la si considera nell’intervallo →R 2 2 si dimostra strettamente monotona e crescente:Dire che una funzione è crescente vuol dire cheπ π − ;∈ ⇒presi x , x x < x tgx < tgx 1 2 1 2 1 22 2 quindi tgx – tgx >02 1 80Scomponendo la tg e calcolando il minimo comune multiplo−sen x sen x sen x cos x sen x cos x− =2 1 2 1 1 2si ha: ( )( )cos x
x0 Derivate: Dati f: I → R, x ∈ I = Intervallo aperto della retta reale 0 - f(x) ----------- x - x0 0 = rapporto incrementale della funzione f(x) - f(x0) = incremento della funzione nel passaggio da x a x0x₀ La derivata è il limite del rapporto incrementale della funzione, se esiste ed è finito:
df = limx→0 (f(x+Δx) - f(x))/Δx
In simboli anche (Df)(x) oppure f'(x)
derivata destra: limx→0+ (f(x+Δx) - f(x))/Δx
derivata sinistra: limx→0- (f(x+Δx) - f(x))/Δx
Se esistono deriva da destra e sinistra e sono finite e uguali, esiste la derivata e viceversa.
Considerando f: R→R : f(x) = k (→ costante)
f'(x) = limx→0 (f(x+Δx) - f(x))/Δx = limx→0 (k - k)/Δx = 0
In generale: f'(k) = 0
Una funzione è derivabile in x quando esiste la derivata. Se la funzione è dotata di derivata in ogni punto del suo dominio è una funzione derivabile.
Data f: I→R
La funzione che ad ogni x∈I associa f'(x) si chiama derivata prima ed è una funzione
f’: I→R
La derivata in un punto è diversa dalla funzione derivata
Funzione che ad ogni punto della
Limite del funzione derivabile associa la
rapporto derivata in quel punto
incrementale
Esempio:
f: R→R f(x) = x− −f ( x ) f ( x ) x x =
Lim 1 1=0 0 1=− − →x x x x x x
00 0 82
In generale: f’(x) = 1
Questo si estende a tutto il dominio perché facendo il limite per ogni punto del dominio si ottiene sempre la stessa cosa. Teorema ∈I ⇒ ∈S
Si dimostra che data f: I→R se questa funzione è derivabile in x la funzione è continua in x0 0I
Una funzione può essere continua ma non derivabile
Una funzione che non è continua non è derivabile⇒derivabilità: continuità⇒continuità non derivabilità → la continuità è una condizione necessaria ma non sufficiente perché la funzione sia derivabile−f ( x ) f ( x ) = '0Lim f ( x
- Ipotesi: −x x→x x 0 0=Lim f ( x ) f ( x )
- Tesi: 0→x x 0 [ ]− =Lim f ( x ) f ( x ) 0
- Dalla tesi segue che: 0→x x 0−f ( x ) f ( x )− = −0f ( x ) f ( x ) ( x x ) passando al limite:0 0−x x 0 −f ( x ) f ( x )− = −0Lim f ( x ) f ( x ) Lim ( x x )0 0−x x→ →x x x x0 0 0−f ( x ) f ( x ) ⋅ − = ⋅ ='0Lim Lim ( x x ) f ( x ) 0 00 0−x x→ →x x x x0 00[ ]− = =Lim f ( x ) f ( x ) 0 Lim f ( x ) f ( x )poiché equivale a si ha che la funzione è continua0 0→ →x x x x0 0
- Esempio:f(x) = |x| questa funzione non è derivabile nel punto x = 0
- x−f ( x ) 0 ='= = f ( x ) 1Lim Lim 1 +−x 0 x+ +→ →x 0 x 0 x−f ( x ) 0 = −'= = − f ( x ) 1Lim Lim 1 −−x 0 x− −→ →x 0 x 0
- La derivata destra e la derivata sinistra sono diverse.Invece quando x ≠0 la funzione è derivabile:0
x x x x x x
0 0 00 0 0 0 0
Esempio: 1f(x) = logx f’(x) = x log xx−log x log x =0
Lim Lim 0− −x x x x→ →x x x x0 00 0x = +1 tsi pone 1+t→1 quando t→0x 0x = + = +1 t x x x t→ ricavando x si ha: 0 0x 0 Lim Limcalcolare equivale a calcolare→ →x x t 00sostituendo si ha:+log (1 t )Lim =− +x x x t→t 0 0 0 0 +log (1 t )Limsemplificando: =x t→t 0 0 84 +log (1 t )1 1 ⋅ Limsi scompone il denominatore e poiché è una costante al limite non varia: =x x t→t 00 01 11 ⋅ ⋅ +L
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