Analisi 1 - Appunti

Insiemi

Un insieme è un’entità formata da più oggetti (detti elementi).

Il concetto di insieme è detto “primitivo”; ovvero è un ente che non viene definito usando altri enti.

Esempi di insiemi:

l’insieme delle lettere dell'alfabeto maiuscole: A,B,X,…

l’insieme delle lettere dell'alfabeto minuscole: a,b,x…

Un insieme si definisce caratterizzandone il contenuto:

dato l’insieme A formato dai numeri 0,1,2,3,4 si ha:

maniera esplicita: descrizione dell’insieme mediante l’elencazione di tutti gli elementi

Es: A = {0,1,2,3,4}

maniera implicita: descrizione dell’insieme mediante una certa proprietà caratteristica

≤

Es: A = {x∈N: x 4}

∈

Il simbolo indica l’appartenenza: 3∈A

∉

Il simbolo indica la non appartenenza: 5∉A

diagramma di Eulero-Venn: metodo per la visualizzazione grafica:

Es: A 1

0 2 4

3 ∅

L’insieme vuoto è un insieme privo di elementi

Sottoinsiemi

Un sottoinsieme B di A è un insieme che è contenuto nell’insieme A: B⊂ A

⊂

Il simbolo indica che un insieme è contenuto in un altro insieme: B⊂ A

⊄

Il simbolo che un insieme non è contenuto in un altro insieme: C⊄A

⊂

B A se ogni elemento di B fa parte di A

Es: A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

↓ ↓ ↓ ↓ ↓

B ={0,1,2,3,4} A B

A 5

7 A B

8

9 B 1

0

6 B⊄A

2 4

3 A⊄B B⊄A

A⊄B

B⊂A 1

Se A⊂B e B⊂A allora si può affermare che A = B

ma allo stesso mondo A = B se A⊂B e B⊂A.

Quindi due insiemi sono uguali se tutti i loro elementi sono uguali. ∅⊂A

L’insieme vuoto è per definizione sottoinsieme di qualunque insieme:

Sempre per definizione un insieme è sottoinsieme di se stesso A⊂A

Un sottoinsieme B di A è detto sottoinsieme proprio di A, quando si esclude a priori che il ∉B)

sottoinsieme B possa essere uguale al insieme A (ovvero esiste almeno un elemento di A che

[B⊆A → Il sottoinsieme B è contenuto o “uguale” all’ Insieme A

B⊂A → Il sottoinsieme B è un insieme proprio di A]

Insieme delle parti di un insieme A

P = è l’insieme che ha come elementi tutti i sottoinsiemi del insieme A

(A)

P = {X: X⊆A}

(A)

Es: A = {a,b,c}; P = {∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},A}

(A) Unione

Dati due insiemi A,B si definisce unione (A∪B) l’insieme che ha come elementi quelli che

appartengono ad almeno uno dei due:

A∪B = {x: x∈A o x∈B}

A = {1,2,3,4} B = {2,4,6} A∪B = {1,2,3,,4,6} A∪B

A B A B

A B A∪B

Intersezione

Dati due insiemi A,B si definisce intersezione (A∩B) l’insieme che ha come elementi quelli che

appartengono contemporaneamente ad entrambi:

A∩B = {x: x∈A e x∈B}

A = {1,2,3,4} B = {2,4,6} A∪B = {2,4} 2 A∩B

A B

A B A∩B

Due insiemi A,B si dicono disgiunti quando la loro intersezione è uguale all'insieme vuoto A∩B=∅

∅

A∩B =

A∩B

Nota Bene:

1. A∪B = B∪A → proprietà commutativa

∅∪A

2. A∪∅ = = A

3. A∪A = A → proprietà idem potenza

4. A∩B = B∩A → proprietà commutativa

∅∩A ∅

5. A∩∅ = =

6. A∩A = A → proprietà idem potenza

Dati 3 insiemi A,B,C si ha che:

7. A∪(B∪C) = (A∪B)∪C → proprietà associativa

∩C

8. A∩(B∩C) = (A∩B) → proprietà associativa

9. A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) → proprietà distributiva

10. A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) → proprietà distributiva

Proprietà associativa: A∪(B∪C) = (A∪B)∪C

⇒

1. x∈A∪(B∪C) x∈(A∪B)∪C

⇒

2. x∈(A∪B)∪C x∈ A∪(B∪C)

La dimostrazione deriva direttamente dalla definizione di unione e appartenenza:

x∈A∪(B∪C) significa che x∈A oppure x∈(B∪C)

ma ancora x∈(B∪C) significa che x∈B oppure x∈C

quindi x∈A, o x∈B, o x∈C → in qualsiasi modo si uniranno gli insiemi x si troverà sempre nella

loro unione. 3

∩C

Proprietà associativa: A∩(B∩C) = (A∩B)

[la dimostrazione è equivalente alla precedente]

Proprietà distributiva: A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)

⇒

1. A∪(B∩C) (A∪B)∩(A∪C)

⇒

2. (A∪B)∩(A∪C) A∪(B∩C)

Dimostrazione: ⇒

1. A∪(B∩C) x∈A oppure (x∈B e x∈C)

⇒

se x∈A x∈A∪B quindi x∈(A∪B)∩(A∪C)

⇒

se x∉A x∈B e x∈C quindi x∈(A∪B) e x∈(A∪C)

2. si dimostra in maniera uguale

Proprietà distributiva: A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)

[la dimostrazione è equivalente alla precedente]

Differenza

Dati due insiemi A e B si definisce differenza (A\B oppure A–B) l’insieme che ha come elementi

quelli di A che non appartengono a B:

A\B = {x: x∈A e x∉B} ≠

A = {1,2,3} B = {2,4,6} A\B = {1,3} B\A = {4,6} Quindi A\B B\A

A\B

A B A\B

A B 4

Assegnazione di un insieme

Gli elementi di un insieme possono essere assegnati ad un insieme mediante

• Elencazione

• Proprietà

Per la Proprietà bisogna definire un insieme ambiento/universo. Tale insieme è quello da cui

prendere gli elementi che verificano la proprietà.

U = universo; P = proprietà

(x)

Allora l’insieme verrà scritto: A = {x∈U / P(x) è vera} = {x:P(x)}

Modificando U e mantenendo la stessa proprietà l’insieme A che si individua può non essere lo

stesso:

Es. U = alfabeto; P(x) = x è una vocale

A = {x∈U / P(x) è vera}⇒ A = {a,e,i,o,u}

U = consolanti; P(x) = x è una vocale

∅

A = Complementare

Dati due insiemi A,B con B⊂A allora l’insieme A\B si dice complementare di B rispetto A e si

indica con:

cA c

B oppure B c

Es: A = {1,2,3} B = {1,3} B = {2}

A B

Proprietà: c

→ B

c c

(B ) = B

c

B∪B = A

∅

c

B∩B = Relazioni di De Morgan

Permettono di stabilire il legame tra intersezione, unione e complementare

∩B

c c c

1) (A∪B) = A ∪B

c c c

2) (A∩B) = A

I complementari sono presi rispetto ad U 5

U

A → A∪B

B ∩B

c c c

Dimostrazione 1) (A∪B) = A

⇒ ⇒ ∩B

c c c

x∈(A∪B) A

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ∩B

c c c c c

x∈(A∪B) x∈U e x∉A∪B x∉A e x∉B x∈A e x∈B x∈A

⇐ ∩B ⇒

c c c

x∈A (A∪B)

∩B ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

c c c c c

x∈A x∈A e x∈B x∉A e x∉B x∉A∪B x∈(A∪B)

U

A c

→ B

B Il complementare si fa

sempre rispetto ad U

U

A c

→ A

B ∪B

c c c

Dimostrazione 2) (A∩B) = A

Si può dimostrare usando ciò che dice la 1) che è sicuramente vera dal momento che è stata già

dimostrata. In considerazione di ciò si può scrivere:

∪B ∩(B

c c c c c c c

(A ) = (A ) ) [→ A∩B]

∪B

c c c

quindi: (A ) = A∩B

∪B

c c c

e si ricava che A = (A∩B) 6

Prodotto Cartesiano

L’elemento(a,b) si chiama coppia ordinata.

Date due coppie ordinate (a,b) e (c,d) esse sono uguali se e solo se a=c e b=d

⇔

(a,b) = (c,d) a = c e b = d

≠

Es: (1,2) (2,1) ⇒

(a,1) = (1,1) a = 1

Questa proprietà non vale per gli insiemi, infatti essi {2,3} = {3,2}

Il concetto di coppia ordinata permette di introdurre il concetto di prodotto cartesiano fra due

insiemi

Dati A,B AxB = {(a,b)/ a∈A e b∈B}

Il prodotto cartesiano AxB è l’insieme che ha per elementi le coppie ordinate tali che il primo

elemento della coppia proviene dal primo insieme e il secondo elemento dal secondo insieme

Il prodotto cartesiano non è commutativa

≠

AxB BxA → Perché è importante l'ordine degli elementi della coppia che nei due casi è diversa.

Es:

A = {1,2} B = {3,4}

AxB = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

BxA = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)} Relazioni

una relazione di A in B è un qualunque sottoinsieme del prodotto cartesiano AxB

ℜ ℜ⊂AxB

= relazione di A in B →

Es:

A = {1,2} B = {3,4} AxB = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

ℜ = {(1,4), (2,3)}

ℜ = {(1,3)}

ℜ = AxB

ℜ ∅

= ℜ

Data una relazione si definiscono Dominio e Codominio:

ℜ:

dom è l’insieme degli elementi di A che sono prima coordinata di almeno una coppia della

ℜ

relazione. = {a∈A : (a,b)∈ℜ per almeno un b∈B}

ℜ

Es: = {(1,4), (2,3)} domℜ {1,2}

ℜ:

Cod è l’insieme che ha come elementi gli elementi di B che sono seconda coordinata di almeno

ℜ

una coppia della relazione. = {b∈B : (a,b)∈ℜ per almeno una a∈A}

ℜ

Es: = {(1,4), (2,3)} codℜ {4,3}

ℜ

Ad ogni relazione di A in B si associa una relazione di B in A che si chiama relazione inversa e si

ℜ

-1 -1

indica con (ℜ è sottoinsieme del prodotto cartesiano BxA)

ℜ ⊂ ℜ ℜ}

-1 -1

BxA, {(b,a) : (a,b)∈ 7

ℜ ℜ

-1

dominio e codominio di sono quelli di invertiti:

-1 -1

domℜ = codℜ codℜ = domℜ ℜ

-1 -1

n.b.: l’inversa della relazione inversa è una relazione di partenza: (ℜ ) =

ℜ

Relazioni di A in A (o anche semplicemente in A) sono sottoinsiemi del prodotto cartesiano AxA

ℜ

(a,b)∈ si scrive anche aℜb

Una relazione può essere:

• riflessiva

• simmetrica

• antisimmetrica

• transitiva

ℜ ℜ, ∀a∈A

Una in A è riflessiva quando (a,a)∈

ℜ ⇒ ∀a,b∈A

Una in A è simmetrica quando (a,b)∈ℜ (b,a)∈ℜ,

ℜ ⇒ ∀a,b∈A

Una in A è antisimmetrica quando (a,b)∈ℜ e (b,a)∈ℜ a=b,

ℜ ⇒ ∀a,b∈A

Una in A è transitiva quando (a,b)∈ℜ e (b,c)∈ℜ (a,c)∈ℜ,

ℜ

Una in A è una relazione di equivalenza se risulta contemporaneamente riflessiva, simmetrica e

transitiva.

ℜ

Una in A è una relazione d'ordine se risulta contemporaneamente riflessiva, antisimmetrica e

transitiva.

Sia A≠∅. Nell’ insieme delle parti P introduciamo la seguente relazione

(A)

ℜ

(B,C)∈ℜ se B⊂C = {(B,C), B⊂C}

ℜ

n.b. La relazione non è una relazione in A ma è una relazione in P , cioè è sottoinsieme di

(A)

P xP (ℜ⊂P xP )

(A) (A) (A) (A)

Questa è una relazione d'ordine:

è riflessiva perché (B,B)∈ℜ ⇒

è antisimmetrica perché (B,C)∈ℜ e (C,B)∈ℜ B=C questo perché B⊂C e C⊂B quindi B e C

coincidono ⇒

e transitiva perché (B,C)∈ℜ e (C,D)∈ℜ (B,D)∈ℜ questo male perché B⊂C, C⊂D quindi B⊂D

Esercizio 1:

A = {1,2}

ℜ ℜ

di A in A: = {(1,1), (2,2)}

ℜ è un sottoinsieme di AxA?

AxA = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}

ℜ

Sì. è un sottoinsieme di AxA 8

Verifica quali delle proprietà valgono:

∀a∈A ⇒

→ Riflessiva: (a,a)∈ℜ

⇒

1∈A (1,1)∈ℜ

⇒

2∈A (2,2)∈ℜ

La Riflessiva vale

∀(a,b)∈ℜ ⇒

→ Simmetrica: (b,a)∈ℜ

⇒

(1,1)∈ℜ (1,1)∈ℜ

⇒

(2,2)∈ℜ (2,2)∈ℜ

La Simmetrica vale

∀(a,b)∈ℜ ⇒

→ Antisimmetrica: e (b,a)∈ℜ a=b

⇒

(1,1)∈ℜ e (1,1)∈ℜ 1=1

⇒

(2,2)∈ℜ e (2,2)∈ℜ 2=2

La Antisimmetrica vale

∀ ⇒

→ Transitiva: (a,b)∈ℜ e (b,c)∈ℜ (a,c)∈ℜ

⇒

(1,1)∈ℜ e (1,1)∈ℜ (1,1)∈ℜ

[la coppia (1,1) si può paragonare solo a se stessa in quanto la prima

coordinata della seconda coppia deve essere uguale alla seconda coordinata

della prima coppia]

⇒

(2,2)∈ℜ e (2,2)∈ℜ (2,2)∈ℜ

[stesso ragionamento, come sopra]

La Transitiva vale

Conclusione: questa relazione è sia d’ordine che di equivalenza

Esercizio 2: ℜ

A = {1,2} = {(1,1), (2,1), (2,2)}

→ Riflessiva: Sì

→ Simmetrica: No la coppia (1,2)∉R

→ Antisimmetrica: Sì esiste la coppia (2,1) ma manca la coppia (1,2)

→ Transitiva: Sì la coppia (1,1) si confronta con se stessa ∈ℜ

la coppia (2,1) si confronta con (1,1) e ne risulta (2,1) che

la coppia (2,2) si confronta con se stessa e con la coppia (2,1); in entrambi i

∈ℜ

casi ciò che risulta è [(2,2) e (2,1)] che

Esercizio 3: ℜ

A = {1,2} = {(1,2), (2,1), (2,2)}

→ Riflessiva: No manca la coppia (1,1)

→ Simmetrica: Sì ≠

→ Antisimmetrica: No esistono le coppie (2,1) e (1,2) con a e b

→ Transitiva: No (1,2)∈ℜ, e (2,1)∈ℜ ma (1,1)∉ℜ

9

L’insieme dei numeri naturali N {1,2,3,4,…n}

Su questo insieme sono definite due operazioni: somma e prodotto.

∀a,b,c∈N

(a+b)+c = a+(b+c) → proprietà associativa

∀a,b∈N

a+b = b+a → proprietà commutativa

∀a∈N

a⋅1 = 1⋅a = a → 1 è elemento neutro rispetto al prodotto

∀a,b,c∈N

a⋅(b+c) = a⋅b+a⋅c → proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma

Una relazione d’ordine è totale quando vale la legge di tricotomia: ovvero presi a,b si ha che

∀a,b∈N

o a>b o a<b oppure a=b

⇒ ∀a,b,c∈N

a ≤ b a+c ≤ b+c

∀a,b,c∈N

a⋅c ≤ b⋅c

Nell’insieme dei naturali N vale il principio di induzione:

⊂

Sia M un sottoinsieme di N (M N), il principio di induzione afferma che

Ipotesi 1) se 1∈M e

∈M

Ipotesi 2) se n+1 non appena n∈M

Allora Tesi M = N

Il principio di induzione equivalete alla seguente affermazione: ogni sottoinsieme non vuoto A di N

ha un elemento a che è minore di ogni altro suo elemento.

Esempio: +

n ( n 1

)

Si prova che la somma dei primi n numeri naturali è uguale a ,

2

+

n ( n 1

)

cioè vale la formula: 1+2+…+n = 2

Si denota con M l’insieme dei numeri naturali per cui vale tale dimostrazione:

Si dimostra per 1:

+ +

1

(

1 1

) 1 1 2

1 = = = =1

2 2 2

Supposto vero per n∈M lo si dimostra per n+1∈M

+ + + + + + + +

n ( n 1

) 2 2 2

n n n n 2

( n 1

) n n 2 n 2

1+2+…+n+(n+1) = +(n+1) = +(n+1) = = =

2 2 2 2

+ +

+ + ( n 1

)( n 2

)

2

n 3

n 2 = 2

2

Per il principio d’induzione si ha che M = N, pertanto la formula data vale per ogni n∈N

L’insieme dei numeri interi relativi Z {…-3,-2,-1,0,1,2,3…}

Valgono le precedenti proprietà

∀a,∈Z

con l’aggiunta: a+0 = 0+a = a →0 è il neutro della somma

la legge di tricotomia subisce delle variazioni:

⇒ ∀a,b,c∈Z

a ≤ b a+c ≤ b+c

∀a,b,c∈Z

a⋅c ≤ b⋅c con c ≥ 0 10 m

L’insieme dei razionali Q { , con m,n∈Z, con n≠0}

n

Valgono tutte le precedenti proprietà ma non è possibile estrarre la radice di ogni numero

m = → impossibile!!!

2

n Operazione in un insieme

Con il simbolo * si indica una operazione generica in maniera astratta in un generico insieme A

Una operazione si dice associativa se vale:

∀a,b,c∈A

(a*b)*c = a*(b*c)

Una operazione si dice commutativa se vale:

∀a,b∈A

a*b = b*a

Una elemento e∈A è detto elemento neutro se:

∀a∈A

a*e = e*a = a ∃

L'elemento a∈A si dice invertibile se a’∈A e che si verifica che:

a*a’ = a’*a = e Gruppo

Si prenda un insieme A nel quale è definita una operazione *

(A,*) sarà gruppo se: 1) vale l'associativa

2) ha elemento neutro e∈A

3) ogni elemento è invertibile.

Se l'operazione * è anche commutativa allora (A,*) sarà detto gruppo commutativa abeliano

Un insieme A sul quale si definiscono due operazioni (A,+,•) si dice corpo commutativo se

1. rispetto alla somma è gruppo abeliano

2. rispetto al prodotto, tranne lo zero, è gruppo abeliano

3. valgono le proprietà distributive del prodotto rispetto alla somma.

(A,+) → Gruppo abeliano rispetto alla somma

(A–{0},•) → Gruppo abeliano rispetto al prodotto

∀a,b,c∈A

a⋅(b+c) = a⋅b+a⋅c → proprietà distributive del prodotto rispetto alla somma

Un campo dove si definisce una relazione d'ordine totale e nel quale valga:

≤ ⇒ ≤

a b a+c b+c

≤ ⇒ ≤

a b a⋅c b⋅c

≤ ⇒ ≤

0 a 0 a+b

≤ ⇒ ≤

0 a 0 a⋅b ≤)

si dice Campo