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Prodotto Cartesiano

L’elemento(a,b) si chiama coppia ordinata.

Date due coppie ordinate (a,b) e (c,d) esse sono uguali se e solo se a=c e b=d

(a,b) = (c,d) a = c e b = d

Es: (1,2) (2,1) ⇒

(a,1) = (1,1) a = 1

Questa proprietà non vale per gli insiemi, infatti essi {2,3} = {3,2}

Il concetto di coppia ordinata permette di introdurre il concetto di prodotto cartesiano fra due

insiemi

Dati A,B AxB = {(a,b)/ a∈A e b∈B}

Il prodotto cartesiano AxB è l’insieme che ha per elementi le coppie ordinate tali che il primo

elemento della coppia proviene dal primo insieme e il secondo elemento dal secondo insieme

Il prodotto cartesiano non è commutativa

AxB BxA → Perché è importante l'ordine degli elementi della coppia che nei due casi è diversa.

Es:

A = {1,2} B = {3,4}

AxB = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

BxA = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)} Relazioni

una relazione di A in B è un qualunque sottoinsieme del prodotto cartesiano AxB

ℜ ℜ⊂AxB

= relazione di A in B →

Es:

A = {1,2} B = {3,4} AxB = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

ℜ = {(1,4), (2,3)}

ℜ = {(1,3)}

ℜ = AxB

ℜ ∅

= ℜ

Data una relazione si definiscono Dominio e Codominio:

ℜ:

dom è l’insieme degli elementi di A che sono prima coordinata di almeno una coppia della

relazione. = {a∈A : (a,b)∈ℜ per almeno un b∈B}

Es: = {(1,4), (2,3)} domℜ {1,2}

ℜ:

Cod è l’insieme che ha come elementi gli elementi di B che sono seconda coordinata di almeno

una coppia della relazione. = {b∈B : (a,b)∈ℜ per almeno una a∈A}

Es: = {(1,4), (2,3)} codℜ {4,3}

Ad ogni relazione di A in B si associa una relazione di B in A che si chiama relazione inversa e si

-1 -1

indica con (ℜ è sottoinsieme del prodotto cartesiano BxA)

ℜ ⊂ ℜ ℜ}

-1 -1

BxA, {(b,a) : (a,b)∈ 7

ℜ ℜ

-1

dominio e codominio di sono quelli di invertiti:

-1 -1

domℜ = codℜ codℜ = domℜ ℜ

-1 -1

n.b.: l’inversa della relazione inversa è una relazione di partenza: (ℜ ) =

Relazioni di A in A (o anche semplicemente in A) sono sottoinsiemi del prodotto cartesiano AxA

(a,b)∈ si scrive anche aℜb

Una relazione può essere:

• riflessiva

• simmetrica

• antisimmetrica

• transitiva

ℜ ℜ, ∀a∈A

Una in A è riflessiva quando (a,a)∈

ℜ ⇒ ∀a,b∈A

Una in A è simmetrica quando (a,b)∈ℜ (b,a)∈ℜ,

ℜ ⇒ ∀a,b∈A

Una in A è antisimmetrica quando (a,b)∈ℜ e (b,a)∈ℜ a=b,

ℜ ⇒ ∀a,b∈A

Una in A è transitiva quando (a,b)∈ℜ e (b,c)∈ℜ (a,c)∈ℜ,

Una in A è una relazione di equivalenza se risulta contemporaneamente riflessiva, simmetrica e

transitiva.

Una in A è una relazione d'ordine se risulta contemporaneamente riflessiva, antisimmetrica e

transitiva.

Sia A≠∅. Nell’ insieme delle parti P introduciamo la seguente relazione

(A)

(B,C)∈ℜ se B⊂C = {(B,C), B⊂C}

n.b. La relazione non è una relazione in A ma è una relazione in P , cioè è sottoinsieme di

(A)

P xP (ℜ⊂P xP )

(A) (A) (A) (A)

Questa è una relazione d'ordine:

è riflessiva perché (B,B)∈ℜ ⇒

è antisimmetrica perché (B,C)∈ℜ e (C,B)∈ℜ B=C questo perché B⊂C e C⊂B quindi B e C

coincidono ⇒

e transitiva perché (B,C)∈ℜ e (C,D)∈ℜ (B,D)∈ℜ questo male perché B⊂C, C⊂D quindi B⊂D

Esercizio 1:

A = {1,2}

ℜ ℜ

di A in A: = {(1,1), (2,2)}

ℜ è un sottoinsieme di AxA?

AxA = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}

Sì. è un sottoinsieme di AxA 8

Verifica quali delle proprietà valgono:

∀a∈A ⇒

→ Riflessiva: (a,a)∈ℜ

1∈A (1,1)∈ℜ

2∈A (2,2)∈ℜ

La Riflessiva vale

∀(a,b)∈ℜ ⇒

→ Simmetrica: (b,a)∈ℜ

(1,1)∈ℜ (1,1)∈ℜ

(2,2)∈ℜ (2,2)∈ℜ

La Simmetrica vale

∀(a,b)∈ℜ ⇒

→ Antisimmetrica: e (b,a)∈ℜ a=b

(1,1)∈ℜ e (1,1)∈ℜ 1=1

(2,2)∈ℜ e (2,2)∈ℜ 2=2

La Antisimmetrica vale

∀ ⇒

→ Transitiva: (a,b)∈ℜ e (b,c)∈ℜ (a,c)∈ℜ

(1,1)∈ℜ e (1,1)∈ℜ (1,1)∈ℜ

[la coppia (1,1) si può paragonare solo a se stessa in quanto la prima

coordinata della seconda coppia deve essere uguale alla seconda coordinata

della prima coppia]

(2,2)∈ℜ e (2,2)∈ℜ (2,2)∈ℜ

[stesso ragionamento, come sopra]

La Transitiva vale

Conclusione: questa relazione è sia d’ordine che di equivalenza

Esercizio 2: ℜ

A = {1,2} = {(1,1), (2,1), (2,2)}

→ Riflessiva: Sì

→ Simmetrica: No la coppia (1,2)∉R

→ Antisimmetrica: Sì esiste la coppia (2,1) ma manca la coppia (1,2)

→ Transitiva: Sì la coppia (1,1) si confronta con se stessa ∈ℜ

la coppia (2,1) si confronta con (1,1) e ne risulta (2,1) che

la coppia (2,2) si confronta con se stessa e con la coppia (2,1); in entrambi i

∈ℜ

casi ciò che risulta è [(2,2) e (2,1)] che

Esercizio 3: ℜ

A = {1,2} = {(1,2), (2,1), (2,2)}

→ Riflessiva: No manca la coppia (1,1)

→ Simmetrica: Sì ≠

→ Antisimmetrica: No esistono le coppie (2,1) e (1,2) con a e b

→ Transitiva: No (1,2)∈ℜ, e (2,1)∈ℜ ma (1,1)∉ℜ

9

L’insieme dei numeri naturali N {1,2,3,4,…n}

Su questo insieme sono definite due operazioni: somma e prodotto.

∀a,b,c∈N

(a+b)+c = a+(b+c) → proprietà associativa

∀a,b∈N

a+b = b+a → proprietà commutativa

∀a∈N

a⋅1 = 1⋅a = a → 1 è elemento neutro rispetto al prodotto

∀a,b,c∈N

a⋅(b+c) = a⋅b+a⋅c → proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma

Una relazione d’ordine è totale quando vale la legge di tricotomia: ovvero presi a,b si ha che

∀a,b∈N

o a>b o a<b oppure a=b

⇒ ∀a,b,c∈N

a ≤ b a+c ≤ b+c

∀a,b,c∈N

a⋅c ≤ b⋅c

Nell’insieme dei naturali N vale il principio di induzione:

Sia M un sottoinsieme di N (M N), il principio di induzione afferma che

Ipotesi 1) se 1∈M e

∈M

Ipotesi 2) se n+1 non appena n∈M

Allora Tesi M = N

Il principio di induzione equivalete alla seguente affermazione: ogni sottoinsieme non vuoto A di N

ha un elemento a che è minore di ogni altro suo elemento.

Esempio: +

n ( n 1

)

Si prova che la somma dei primi n numeri naturali è uguale a ,

2

+

n ( n 1

)

cioè vale la formula: 1+2+…+n = 2

Si denota con M l’insieme dei numeri naturali per cui vale tale dimostrazione:

Si dimostra per 1:

+ +

1

(

1 1

) 1 1 2

1 = = = =1

2 2 2

Supposto vero per n∈M lo si dimostra per n+1∈M

+ + + + + + + +

n ( n 1

) 2 2 2

n n n n 2

( n 1

) n n 2 n 2

1+2+…+n+(n+1) = +(n+1) = +(n+1) = = =

2 2 2 2

+ +

+ + ( n 1

)( n 2

)

2

n 3

n 2 = 2

2

Per il principio d’induzione si ha che M = N, pertanto la formula data vale per ogni n∈N

L’insieme dei numeri interi relativi Z {…-3,-2,-1,0,1,2,3…}

Valgono le precedenti proprietà

∀a,∈Z

con l’aggiunta: a+0 = 0+a = a →0 è il neutro della somma

la legge di tricotomia subisce delle variazioni:

⇒ ∀a,b,c∈Z

a ≤ b a+c ≤ b+c

∀a,b,c∈Z

a⋅c ≤ b⋅c con c ≥ 0 10 m

L’insieme dei razionali Q { , con m,n∈Z, con n≠0}

n

Valgono tutte le precedenti proprietà ma non è possibile estrarre la radice di ogni numero

m = → impossibile!!!

2

n Operazione in un insieme

Con il simbolo * si indica una operazione generica in maniera astratta in un generico insieme A

Una operazione si dice associativa se vale:

∀a,b,c∈A

(a*b)*c = a*(b*c)

Una operazione si dice commutativa se vale:

∀a,b∈A

a*b = b*a

Una elemento e∈A è detto elemento neutro se:

∀a∈A

a*e = e*a = a ∃

L'elemento a∈A si dice invertibile se a’∈A e che si verifica che:

a*a’ = a’*a = e Gruppo

Si prenda un insieme A nel quale è definita una operazione *

(A,*) sarà gruppo se: 1) vale l'associativa

2) ha elemento neutro e∈A

3) ogni elemento è invertibile.

Se l'operazione * è anche commutativa allora (A,*) sarà detto gruppo commutativa abeliano

Un insieme A sul quale si definiscono due operazioni (A,+,•) si dice corpo commutativo se

1. rispetto alla somma è gruppo abeliano

2. rispetto al prodotto, tranne lo zero, è gruppo abeliano

3. valgono le proprietà distributive del prodotto rispetto alla somma.

(A,+) → Gruppo abeliano rispetto alla somma

(A–{0},•) → Gruppo abeliano rispetto al prodotto

∀a,b,c∈A

a⋅(b+c) = a⋅b+a⋅c → proprietà distributive del prodotto rispetto alla somma

Un campo dove si definisce una relazione d'ordine totale e nel quale valga:

≤ ⇒ ≤

a b a+c b+c

≤ ⇒ ≤

a b a⋅c b⋅c

≤ ⇒ ≤

0 a 0 a+b

≤ ⇒ ≤

0 a 0 a⋅b ≤)

si dice Campo totalmente Ordinato (A,+,•, 11

Insieme dei reali R

È un campo totalmente ordinato e completo

Totalmente ordinato significa che in esso sono definite le operazioni di somma e prodotto e una

relazione d'ordine.

R rispetto alla somma è un gruppo abeliano e l'elemento neutro è lo 0

R-{0} rispetto al prodotto è un gruppo abeliano e l'elemento neutro è 1

∀a,b,c∈R

vale inoltre la proprietà distributiva a⋅(b+c) = a⋅c+a⋅b ∃

presi due qualunque elementi di R, essi sono paragonabili quindi una relazione d'ordine totale

Definizioni: ∅≠A⊂R, ≤ ∀a∈A

Maggiorante → x∈R è maggiorante per A se risulta che a x

Un sottoinsieme di R che è dotato di maggiorante si dice limitato superiormente

∅≠A⊂R, ≤ ∀a∈A

Minorante → x∈R è minorante per A se risulta che x a

Un sottoinsieme di R che è dotato di minorante si dice limitato inferiormente

n.b. Il maggiorante/minorante non appartiene necessariamente al sottoinsieme ma in generale a R

Un sottoinsieme non vuoto di R si dice limitato quando possiede sia maggiorante che minorante

Estremo Superiore (supA) → 1) È un maggiorante ∀y∈R ⇒

2) È il più piccolo dei maggioranti: y = maggiorante x≤y

Estremo Inferiore (infA) → 1) È un minorante ∀y∈R ⇒

2) È il più grande dei minoranti: y = minoranti y≤x

Un maggiorante che appartiene all’insieme si chiama Massimo (max)

Un minorante che appartiene all’insieme si chiama Minimo (min)

Esempio: A = {1,2, ,7} 7 è max

3 1 è min

8 è un maggiorante

Assioma relativo all’estremo superiore [inferiore]

Ogni sottoinsieme non vuoto di R limitato superiormente [inferiormente] è dotato di estremo

superiore [inferiore]

Questo assioma attribuisce la completezza all’insieme dei numeri reali R.

Proprietà di R

1) a⋅0 = 0 → a⋅0+0 = a⋅0+a-a = a⋅0+a⋅1-a = (a⋅0+a⋅1)-a = a⋅(0+1)-a = a⋅(1)-a = a-a = 0

sommando uno 0 il risultato non cambia → a⋅0+0 = 0

un elemento a sommata al suo opposto da 0: a+(-a)=0; sostituendo → a⋅0+a-a = 0

un elemento a moltiplicato per 1 da se stesso: a⋅1=a; sostituendo → a⋅0+a⋅1-a = 0

per la proprietà associativa si ha → (a⋅0+a⋅1)-a = 0

per la distributiva si ha → a⋅(0+1)-a = 0

sommando 0 a 1 si ottiene 1 → a⋅(1)-a = 0

un elemento a moltiplicato per 1 da se stesso: a⋅1=a; sostituendo → a-a =0 [c.v.d]

12

2) legge di annullamento del prodotto

∀a,b∈R ⇔

a⋅b = 0 a=0 oppure b=0

Bisogna dimostrare la doppia implicazione:

⇐ Ipotesi a=0 o b=0;

Tesi → a⋅b=0

deriva direttamente dalla prima proprietà [se b=0 per ipotesi si ha che a⋅0=0]

⇒ Ipotesi → a⋅b = 0;

Tesi → a=0 o b=0 ⇒ -1 -1 -1 -1

si procede supponendo a≠0 b=0; b = b⋅1 = b(a⋅a ) = (b⋅a)⋅a = (a⋅b)⋅a = 0⋅a = 0

un elemento b moltiplicato per 1 da se stesso: b⋅1=b → b = b⋅1

-1 -1

un elemento a moltiplicato per il suo inverso da 1: a⋅a =1; sostituendo → b = b⋅(a⋅a )

-1

per la proprietà associativa → b = (b⋅a)⋅a -1

per la proprietà commutativa → b = (a⋅b)⋅a

1

per ipotesi a⋅b=0 → b = 0⋅a

per la proprietà 1) dimostrata prima → b=0

quindi b=0

3) a⋅x = b a≠0

Ipotesi→a⋅x =b;

Tesi → a≠0 [equazione di primo grado] -1

ammette una sola soluzione data da x = b⋅a

[è soluzione significa che se si sostituisce il valore di x nel prodotto si ottiene un’identità]

-1

sostituendo il valore di x → a⋅ b⋅a = b

-1

per la commutativa → b⋅a⋅a = b

-1

per l’associativa → b⋅(a⋅a ) = b -1

un elemento a moltiplicato per il suo inverso da 1: a⋅a =1; sostituendo → b⋅(1) = b

moltiplicando un elemento b per 1 il risultato sarà se stesso → b = b

-1

si dimostra che realmente x = b⋅a -1

moltiplicando x per 1 il risultato sarà se stesso → x⋅1 = b⋅a

-1 -1 -1

un elemento a moltiplicato per il suo inverso da 1: a⋅a =1; sostituendo → x⋅(a⋅a ) = b⋅a

-1 -1

per l’associativa → (x⋅a)⋅a = b⋅a

-1 -1

per la commutativa → (a⋅x)⋅a = b⋅a

-1 -1

per ipotesi a⋅x = b → b⋅a = b⋅a ≥0)

4) Valore Assoluto: è un numero non negativo ( definito nel seguente modo:

 x se x 0

x∈R |x| = − <

x se x 0

Il valore assoluto gode di alcune proprietà:

• |x| = |-x| infatti:

≥0 ⇒

x |x| = x

-x<0 |-x| = -(-x) = x 13

es: -3<0: |-3| = ?→ essendo -3 minore di 0 il suo valore assoluto sarà il l’opposto di

-3 che sarà uguale a –(-3) = 3

• ≤

x |x|

≥0 ⇒

se x |x| = x

se x<0 |x| essendo un numero non negativo |x| sarà > x

-x |x| segue dal fatto che |x| = |-x|

• ≤

|x+y| |x|+|y|

≤ ≤

si sa che x |x| di conseguenza y |y|

≤ ≤

e si sa anche che –x |-x| di conseguenza –y |-y|

Sommando membro a membro si ottiene:

≤ ≤

x+y |x|+|y| e anche –(x+y) |x|+|y| + + ≥

 ( x y ) se x y 0

seguendo le stesse regole si definisce |x+y| = − + + <

( x y ) se x y 0

quindi |x+y| |x|+|y|

• ||x|-|y||≤|x-y| ≤ ⇒ ≤

|x| = |(x-y)+y| dalla proprietà precedente segue che |x| |x-y|+|y| |x|-|y| |x-y|

medesimo ragionamento si ha per |y| ≤ ⇒ ≤

|y| = |(y-x)+x| dalla proprietà precedente segue che |y| |y-x|+|x| |y|-|x| |y-x|

Dal momento che |x| = |-x| si ha che |x-y| = |-x+y|

− − ≥

 | x | | y | se | x | | y | 0

||x-y|| = − − <

| y | | x | se | x | | y | 0

• |x⋅y| = |x|⋅|y|

se x,y > 0 → |x⋅y| = x⋅y = |x|⋅|y| Se x<0 il suo opposto –x>0

se x,y < 0 → |x⋅y| = (-x)⋅(-y) = |x|⋅|y| di conseguenza –x è un numero

non negativo quindi –x = |x|

se x>0 e y<0 → |x⋅y| = (x)⋅(-y) = |x|⋅|y|

• ≤ ⇔ ≤ ≤

|x| a -a x a

⇒ Ipotesi |x|

≤ ≤

Tesi -a x a

≥ ≤ ⇒ ≤

se x 0 → |x| = x che per ipotesi è a x a

≤ ⇒ ≤ ≥

se x < 0 → |x| = -x che per ipotesi è a -x a → moltiplicando per -1 si ha: x -a

≥ ≤ ≤ ≤

quindi x -a e x a → -a x a

⇐ ≤ ≤

Ipotesi -a x a

Tesi |x| a

≥ ≤ ⇒ ≤

se x 0 → |x| = x che per ipotesi è a |x| a

≤ ≥ ⇒ ≤

se x < 0 → |x| = -x che è a [poiché per ipotesi x -a] |x| a

• ≥ ⇔ ≤ ≥

|x| a x -a o x a ≤ ≤ ≤

dalla proprietà precedente segue che se |x| a allora -a x a quindi x assumerà

valori interni tra –a e a ≥

quindi il momento che |x| a x assumerà valori esterni tra –a e a

14

≤a

|x|

-a a

≥a

|x|

TEOREMA: N non è limitato superiormente → non ha MAGGIORANTE ≤ ∀n∈N

Si supponga per assurda che esiste un supN = s. Deve allora valere la relazione n s

Questa disuguaglianza deve essere vera per ogni n quindi anche per n+1

≤ ≤ ∀n∈N

ma la disuguaglianza n+1 s comporterebbe n s-1

si troverebbe così un maggiorante più piccolo di s che è impossibile per la definizione di sup

Quindi si cade nell’assurdo

Es:  

1 ∈

: n N

 

Sia A =  

n

Al variare di n nei naturali si possono elencare gli elementi dell’insieme

 

1 1 1

1

, , ,..., ,...

 

A =  

2 3 n

Questo insieme ammette come maggiorante 1. Inoltre 1∈A quindi è max ed estremo superiore

Tutti gli elementi sono >0; 0 è un minorante, non è min perché all’insieme A

È infA? È minorante, ma è il più grande dei minoranti

Sia s un minorante più grande s>0 allora:

1 1

≤ ∀n∈N ≤ ∀n∈N

s che implicherebbe n cadendo in contraddizione,

n s

quindi s≤0 e 0 è il più grande dei minoranti quindi è infA.

Principio di Archimede

∀x∈R ∃n∈Z tale che n>x ∃ ∀n∈Z ⇒ ≤

Si procede per assurdo: in questo caso tale che n

x x

Ma se tale disuguaglianza fosse vera, Z risulterebbe limitato superiormente che non può essere vero

Dal principio di Archimede segue che:

∀x∈R ∃n∈Z ≤

tale che n x < n+1

tale intero n si indica con [x] e si chiama parte intera di x

es:

x = 1,2 → [x] = 1

x = -2,3 → [x] = -3 15

dimostrazione:

∀x∈R ∃n∈Z tale che n≤x<n+1

|x|∈R esiste sicuramente un m>|x| per il principio di Archimede -m < x < m

≥0

|x| è un numero quindi m è un naturale

Da m>|x| segue che –m<x<m -m m

-m+1 … 0 … m-1

x si può confrontare con ognuno degli elementi che stanno tra –m ed m. Nel confronto ad un certo

punto si troverà un numero che sarà >x. Questo numero lo si chiamerà n+1 mentre il numero

precedente lo si chiamerà n. La parte intera di x è n.

Insieme Denso

∅=A⊂R

Sia ∀x,y∈R ∃r∈Q

Dire che A è denso in R significa che → x<y con x<r<y [r è un numero razionale]

Si dimostra che Q è denso in R.

Siano presi a,b con a<b.

Se a<b → b-a>0 esiste l’inverso che è ancora >0

-1

Quindi (b-a) >0 ∃m∈N: -1

Per il principio di Archimede m>(b-a)

1 1

-1

m >(b-a) = m > < b-a

b a m ≤

Si considera il numero m⋅a∈R e di questo se ne considera la parte intera n per cui vale n m⋅a<n+1

+

n n 1

Dividendo tutta la disuguaglianza per m si ottiene: a <

m m

+ +

n 1 n 1 n 1

+

Scomponendo si ha: =

m m m m

1 n 1 n

+ + −

(

b a )

Poiché < b-a si può creare la disequazione: <

m m m m

n ≤

Poiché a, sommando a alla differenza (b-a) si otterrà

m n 1 n

+ + − ≤

(

b a )

la disuaglianza: < a+(b-a)

m m m

Per le proprietà commutativa e associativa a+(b-a) = (a-a)+b = b

+ +

n n 1 n 1

≤ ∈Q,

Ricapitolando: a < < b;

m m m +

n 1

Quindi tra due numeri reali a,b esiste un numero razionale: a < b

m

16

Potenze di base reale ed esponente naturale

=

 x se n 1

n

x∈R, n∈N x = (definizione per ricorsione)

− ⋅ >

n 1

x x se n 1

Proprietà:

⋅y ∀x,y∈R,

n n n

x = (x⋅y) n∈N

⋅x ∀x∈R,

n m n+m

x = x n,m∈N

∀x∈R,

n m n⋅m

(x ) = x n,m∈N

⇒ n n

0<x<y x <y

⇒ m n

0<x<1,n<m x <x

⇒ n m

1<x, n<m x <x

⇒ n

se x≠0 ed n pari x >0

⇒ n

se x≠0 ed n dispari x e x hanno lo stesso segno

Dimostrazione:

⋅y

n n n

x = (x⋅y) dimostrazione per induzione

⋅y

1 1 1

si verifica per n=1 : x = (x⋅y) è vera!

Si dimostra per n+1; supposta vera per l’eguaglianza di partenza [→ ipotesi induttiva]

⋅y

n+1 n+1 n+1

x = (x⋅y)

⋅x ⋅y

n+1 n n+1 n

x = x y = y

⋅y ⋅x) ⋅ ⋅y)

n+1 n+1 n n

sostituendo: x = (x (y ⋅y ⋅y

n+1 n+1 n n

per la proprietà distributiva ed associativa: x = (x )⋅(x⋅y)

⋅y ⋅y ⋅(x⋅y)

n n n n+1 n+1 n

sapendo che x = (x⋅y) si ha: x = (x⋅y)

⋅y

n+1 n+1 n+1

svolgendo i calcoli: x = (x⋅y)

⋅y ⋅x)⋅(y ⋅y) ⋅y ⋅(x⋅y)

n+1 n+1 n n n n n n+1

ricapitolando: x = (x = (x )⋅(x⋅y) = (x⋅y) = (x⋅y)

Dimostrazione :

n m n⋅m

(x ) = x si fissa m e si dimostra per induzione su n

1 m 1⋅m m

se n=1, (x ) = x = x n+1 m (n+1)⋅m

si suppone vera l’uguaglianza si dimostra che (x ) = x

⋅x

n+1 n

dal momento che x = x ⋅x)

n+1 m n m

sostituendo si ha: (x ) = (x ⋅x) ⋅x

n+1 m n m n⋅m m

per la proprietà precedente si ha: (x ) = (x → x

n+1 m n⋅m+m

operando con gli esponenti si ha: (x ) = x

n+1 m (n+1)⋅m

mettendo m in evidenza si ha: (x ) = x

Dimostrazione:

⇒ n n

0<x<y x <y

se n=1 allora la disequazione è vera: x<y

si suppone vera per n e si verifica per n+1

n+1 n+1

x <y ⋅x

n+1 n

x = x 17 ⋅x<y ⋅x

n n n n

dal momento che x < y è vera la disuguaglianza: x

⋅x<y ⋅y ⋅x<y ⋅x<y ⋅y

n n n n n

poiché per ipotesi x<y anche la disequazione y è vera, e si avrà: x

⋅y ⋅x<y ⋅x<y

n n+1 n n n+1

ma y è uguale a y quindi: x ⋅x ⋅x<y

n+1 n n+1 n n+1

utilizzando l’uguaglianza x = x si otterrà la tesi infatti x <y

n+1 n+1

e in particolare x <y

Dimostrazione:

⇒ m n

0<x<1; n<m x <x

Se n<m allora m-n>0 con m-n∈N

m-n m-n m-n m-n

Elevando l’ipotesi per m-n si ha: 0 <x <1 = x <1

⋅x

n m-n n n

Moltiplicando ambo i membri per x si ottiene: x < x

m-n+n n

Operando a primo membro si ottiene: x < x

m n

Semplificando: x < x c.v.d.

Dimostrazione: ⇒ n

x≠0, n = numero pari x >0

n = numero pari, significa che è della forma 2⋅m

n 2⋅m

x = x 2⋅m m 2

per la terza proprietà si ha: x = (x )

n 2⋅m m 2

quindi x = x = (x ) >0 poiché qualunque numero elevato al quadrato è positivo

Dimostrazione: ⇒ n n

x≠0, n = numero dispari x e x hanno lo stesso segno cioè x⋅x >0

n n+1

x⋅x = x se n è dispari n+1 è pari

Potenze di base reale ed esponente intero relativo

 ∈

n

x n N

 =

1 n 0

n

x∈R, n∈Z x =  − − − ∈

1 n

( x ) n N

proprietà: ⇒ n n

Sono le stesse che risultano valide per l’insieme N tranne la proprietà 0<x<y x <y poiché se n=0

0 0

x <y = 1<1 che è impossibile.

Alle precedenti proprietà ne vanno aggiunte altre due:

n n n

x :y = (x:y)

n m n-m

x :x = x ⇒

-2 -1 2

es: x = (x ) -2∈Z -(-2) = 2∈N

Radice n-sima di un numero reale

Ogni numero reale positivo ammette una radice n-sima reale positiva. Una conseguenza di ciò

deriva dal fatto che R-Q ≠ 0 → ovvero esistono dei reali che non sono razionali

n

Dati x,y∈R, n∈N si dirà che x è radice n-sima di y se x = y

18

Teorema (solo enunciato)

Ogni numero reale positivo y ammette, per ogni n naturale, una e una sola radice n-sima positiva;

∀y>0 ∀n>0 ∃! n

in formula: e x>0 : x = y 1

y

La radice n-sima di y si denota con x = = e prende il nome di radice n-sima aritmetica di y

n y n

Si noti che: ± y

Se n è pari e y>0 allora y ha due radici n-sime date da n

Se n è dispari e y>0 la radice è una sola ed è quella aritmetica

∀n∈N

=

Se y =0 la radice è una sola ed è n 0 0

Se y<0 ed n è pari non ci sono radici − y

Se y<0 ed n è dispari esiste una sola radice data da x = n

Proprietà (senza dimostrazione)

<

n x y se 0<x<y con n∈N

n

⋅ = ⋅

n x y x y con n∈N

n n con n∈N

= ⋅

m n n m

x x

= con n∈N e con m∈Z

m m

n

n

( x ) x

Esercizio:

{ }

+ − ∈ termine generico dell’insieme

n 1 n , con n N + +

Razionalizzazione: si moltiplica e si divide il termine generale per n 1 n

( )( )

+ − ⋅ + + + −

n 1 n n 1 n n 1 n 1

+ − = = =

n 1 n + + + + + +

n 1 n n 1 n n 1 n

1 → nuovo termine generale dell’insieme (equivalente al primo)

+ +

n 1 n

 

1 1 1

, , , ,

 

 

Insieme = + + + + 

2 1 3 2 n 1 n

1 1

> ∀n

è vera quindi:

+ + +

n 1 n 1 n

1 è maggiorante dell’insieme e poiché gli appartiene è il max ed è anche estremo superiore

+

2 1

0 è un minorante ma non appartiene all’insieme quindi non è min.

Per essere inf deve essere il più grande dei minoranti

Se s è un minorante deve essere s≤0

Si dimostra per assurdo quindi si suppone s>0

1 1 1 1

≤ < < <

s s

⇒ ∀n ⇒ ∀n

n

0<s → ma questo porterebbe a dire che N è

+ + 2

n 1 n n n s limitato inferiormente che è

assurdo

Quindi 0 è inf dell’insieme 19

Esercizio 2

   

2 2

n 1 4 9 n

, con n N , , , , ,

   

 

=

+ +

n 1 2 3 4 n 1

  

 2

1 n ≤ ⇒

≤ ∀ 2 2

poiché n+1 2n 2n -n-1 > 0

, n

+

2 n 1

si risolve l’equazione associata: 1

1± 9 −

2

2n -n-1=0 = 1+8 = 9 n = = ; 1

2

4

2

2n -n-1>0

Concordi si considerano -1/2 1

i valori esterni alle radici Poiché l’insieme è definito in N si

considera solo questo intervallo

1

Quindi è minimo. L’insieme è limitato inferiormente

2

L’insieme non è limitato superiormente: si dimostra per assurdo

Si suppone l’esistenza di un s maggiorante.

2

n ≤ ∀

s maggiorante vuol dire s , n

+

n 1

2 2 2 2

n n n n n n

= ≤ ≤ ≤

presi valori minori di si ha: → s

+ + + +

n 1 2 n n n 1 2 n 1

n ≤ ∀

s , n

ciò implica: 2

≤ ∀n

cioè: n 2s → ma ciò è impossibile perché vorrebbe dire che N è limitato superiormente

20

Potenza di base reale ed esponente razionale

m r

x∈R, x>0; r∈Q r = con n∈N → x = m

n x

n

Le proprietà sono le stesse che valgono per la potenza di base reale ed esponente intero relativo

Potenza di base reale ed esponente reale

x

a∈R, a>0 e x∈R → a è così definito:

x r

se a>1 → a = sup{a : r∈Q, r<x}

la definizione è valida poiché Q è denso in R quindi presi due numeri reali ne esiste uno

s

razionale compreso fra essi: x-1<s<x. L’elemento a appartiene all’insieme che di

∅.

conseguenza è ≠ ∀x∈R ⇒ ⇒ r x

Invece per il principio di Archimede n>x Vale allora r<x<n a <a quindi

x

l’insieme è limitato superiormente perché a è un maggiorante perciò esiste il sup

dell’insieme.

x

se a=1 → a = 1

x -1 x -1

se 0<a<1 → a = [(a ) ] .

Le proprietà sono le stesse che valgono per le altre potenze.

Logaritmo

∀ ∀a>0, ∃! x

y>0, a≠1 x: a = y

x = log y [→ a = base; y = argomento]

a

x è il logaritmo in base a di y

Il logaritmo è l’esponente che si deve dare alla base per ottenere il numero.

Proprietà: (senza dimostrazioni)

1) x<y,1<a log x < log y

a a

2) x<y,0<a<1 log y < log x

a a

3) log x⋅y = log x + log y

a a a

y

4) log x = y⋅log x

a a

log x

b

5) log x = → regola per il cambiamento di base; dove b>0, b≠1

a log a

b Infinito

± ∞ → infinito [ non sono due numeri ma due simboli]

l’infinito è così definito: -∞ < x < +∞

+∞ +∞ = +∞

⋅a

+∞ = +∞ se a>0 21

⋅a

+∞ = -∞ se a<0

+ ∞ ⋅ − ∞ 

( )  → forme indeterminate

+ ∞ ⋅ 0  Insieme esteso dei numeri reali (o retta ampliata)

~ ∪

= R {-∞, +∞} [~ → tilde]

R Intervalli (è una particolare classe di sottoinsiemi di R)

Intervalli imitati

a,b∈R, con a<b

≤ ≤

[a,b] = {x∈R : a x b}→ intervallo chiuso di estremi a,b → a,b sono minimo e massimo

]a,b[ = {x∈R : a < x < b}→ intervallo aperto → sono inf e sup

[a,b[ = {x∈R : a x < b}→ intervallo chiuso a sx e aperto a dx → a è min, b è sup

]a,b] = {x∈R : a < x b}→ intervallo aperto a sx e chiuso a dx → a è inf e b è max

Intervalli non limitati (o illimitati)

[a, +∞[ = {x∈R : a x}→ intervallo chiuso a sx, non limitato superiormente

]a, +∞[ = { x∈R : a < x}→ intervallo aperto a sx, non limitato superiormente

]-∞, a] = {x∈R : x a}→ intervallo chiuso a dx, non limitato inferiormente

]-∞, a[ = {x∈R : x < a}→ intervallo aperto a dx, non limitato inferiormente

Funzione

A,B f: A→B

f è una funzione di A in B, cioè una legge che ad un elemento di A associa un ben determinato

elemento di B

x → f f = corrispondente o immagine di x tramite la f

(x) (x)

A = dominio B = insieme di arrivo ∃x∈A

Codominio di f = insieme dei valori che la funzione assume cioè: codf = {y∈B : con f = y}

(x)

grafico della funzione → gr(f) = {(x, f ): x∈A}. È un sottoinsieme del prodotto cartesiano AxB

(x)

se A,B⊂R il grafico si individua con i punti di un piano cartesiano, le cui coordinate sono le coppie

dell’insieme gr(f)

Data f: A→B ∈B

X⊂A f = {f : x∈X}→ Immagine diretta di X tramite la f

(X) (x) ∈Y}→

-1(Y)

Y⊂B f = {x∈A : f Immagine inversa

(x)

A B

Y

1 X⊂A f = {a}

X a (X)

b -1(Y)

Y⊂B f = {1,2,3}={A}

2 c

3 d 22

Data f: A→B

f è surgettiva quando codf = B

f è iniettiva quando ad elementi distinti di A corrispondono immagini diverse

∈A ⇒

x , x con x ≠ x f ≠ f .

1 2 1 2 (x1) (x2)

f è biettiva quando è sia iniettiva che surgettiva

-1

Se f: A→B è biettiva ad f si può associare f : B→A detta funzione inversa. Questa funzione ad

-1(y)

ogni y∈B associa un solo x∈A la cui immagine è y: f = x

Esempio 1:

f: Z→Z f = x+3 → legge che definisce la funzione

(x)

→ È surgettiva? ∀y∈Z ∃x∈Z

Bisogna fare vedere che : f = y

(x)

x+3 = y;

x = y-3;

∈Z

y-3 quindi f è surgettiva (codf = Z)

→ È iniettiva? ⇒

Si deve fare vedere che se x ≠ x f ≠ f

1 2 (x1) (x2)

f = x +3

(x1) 1

f = x +3

(x2) 2

dal momento che x ≠ x anche x +3 ≠ x +3 quindi f è iniettiva

1 2 1 2

→ È biettiva?

⇒ ∃ -1 -1(y)

Sì f data da f = y-3

Esempio 2:

f: N→Z f = x+3

(x)

la f è ancora iniettiva

la f non è surgettiva x+3 = y codf ≠ Z

x+3 è sempre positiva. Se per esempio y = -3 non esiste il corrispondente in N

Se y = 3 viene x = 0, ma o∉N

Esempio 3: 2

f: Z→Z f = x

(x)

f non è iniettiva perché a due elementi distinti di Z non corrispondono elementi distinti

-3 ≠ 3 → 9 = 9

f non è surgettiva: ∉Z

2

x = y se per esempio y = 2, x = 2 23

Segno del trinomio

2

ax +bx+c=0 a≠0

∆ 2

= b -4ac − ± ∆

b

∆ ∃x ∈R,

>0 → ,x con x ≠ x dati dalla formula:

1 2 1 2 2 a

− b

∆ ∃x ∈R,

=0 → ,x con x = x dati dalla formula: [le due soluzioni coincidono]

1 2 1 2 2 a

∆ <0 → non esistono soluzioni

2

ax +bx+c=0  

b c

+ + =

2

 

a x x 0

mettendo a in evidenza si ha:  

a a  

2 2

b c b b

2

b  

+ + + − =

2

a x x 0

aggiungendo e sottraendo il risultato rimane invariato:  

2 2

a a 4 a 4 a

2  

4a 2

2  

b b b

+ + +

2  

si può ridurre al quadrato di binomio

x x x

2  

a 2 a

4a ∆

2

c b −

mentre sommando ottenendo: 2

4a

2

a 4a

 

2 ∆

 

b

+ − =

 

 

a x 0

quindi: → trinomio scomposto

2

 

2 a 4 a

 

 

     

2 ∆ ∆ ∆

 

b b b

   

+ − = + + + − =

 

 

a x 0 a x x 0

∆ >0 → si può scrivere come:    

2

 

2 a 2 a 2 a 2 a 2 a

4 a

     

  − − ∆ − + ∆

b b

= =

x x

1 2

2 a 2 a

sostituendo: a(x-x )(x-x ) ← nuova forma del trinomio.

1 2 Infatti si ha x-x >0 e x-x <0; quindi il

se x < x < x il segno del trinomio è discorde 1 2

1 2 prodotto avrà segno opposto rispetto al

x

x x

1 2

x x < ⇒ − < − <

 quindi il prodotto

se x x x x 0

, x x 0

1 1 2

 sarà >0 e avrà

se x<x e x>x il segno del trinomio è concorde segno uguale

1 2  > ⇒ − > − > rispetto al segno

se x x x x 0

, x x 0

 2 1 2 di a

24

 

2 ∆ 2

 

b b

 

b

+ − = −

 

 

a x 0 +

∆  

a x

=0 → → → x = x =

1 2

2

 

2 a 4 a 2 a

   

2 a

  b

il trinomio ha sempre segno di a eccetto nel caso in cui x = x = poiché si

1 2 2 a

annullerebbe tutto

   

2 2

∆ ∆

   

b b

+ − = + −

   

   

a x 0 x

∆ <0 → si ha che è sempre e comunque una quantità

2 2

   

2 a 2 a

4 a 4 a

   

   

>0 quindi il trinomio concorda col segno di a

Esempio1 ∆

2

x +x+1 =0 = 1 – 4 <0

a è positivo quindi il trinomio è sempre >0

Esempio2

2

x +x+1 <0 il trinomio non è mai verificato

Esempio3

2 2

x -4x+4 >0 quadrato di binomio: (x-2) >0 valida sempre per x ≠ 2

Esempio4

2

x -3x+2 >0 ∆

2

si considera l’equazione associata x -3x+2 =0 = 9-8=1

2

±

3 1

= = 1 2

x x<1 x>2

2 1

Disequazioni irrazionali -1 1

1) 2)

− < + + > +

2 2

x 1 x 1 x 7 x 3

sono due disequazioni irrazionali

1) − < +

2

x 1 x 1 soluzioni comuni

le soluzioni della disequazione irrazionale sono quelle di questo

sistema:

 − ≥

2 → Per la realtà della radice

x 1 0

 → Perché non può esistere un numero negativo maggiore di un numero positivo

+ >

x 1 0

 →Per la proprietà delle potenze

− < +

2 2

x 1 ( x 1

)

 25

> −

 − ≥ x 1

2

x 1 0

 ≤ − ≥ +

+ > x 1 x 1 ≥

x 1 0

 x 1

 − < + + ⇒ > − ⇒ > −

2 2

− < + x 1 x 2 1 2 x 2 x 1

2 2

x 1 ( x 1

)

2) + > +

2

x 7 x 3

+ < + ≥

 

x 3 0 x 3 0

 

+ ≥ + <

2 2

x 7 0 x 7 0

 

↓ ↓

< − ≥ −

 

x 3 x 3

  1

⇒ < − ⇒ < −

≤ − → + > + +

2 2 2 6 x 2 x

x 7 sempre x 7 x 6 x 9

  3

↓ ↓ 1

x <-3 -3≤ x 3

↓ ↓

-3 -3 -1/3

↓ 1

-3

dall’unione dei due sistemi: → → ≤ −

x

-1/3 3

26

Funzione Composta

f: A→B g: B→C

g°f = f composta con g: A→C

B f

(x)

• C

A f g

• g(f )

g°f

x (x)

g°f : x → g(f( )

x)

Per poter parlare di funzione composta l’insieme di arrivo di una deve coincidere con il dominio

dell’altra

In generale g°f ≠ f°g

→ Siano f: A→B e g: B→C

Date f,g surgettive g°f surgettiva, cioè

∀z∈C ∃x∈A : (g°f)(x) = g(f( ) = z → il codominio

x)

Si parte dall’ipotesi che g è surgettiva cioè

∀z∈C ∃y∈B : g(y) = z

Sempre per ipotesi f è surgettiva ; quindi

∀y∈B ∃x∈A : f(x) = y ⇒

g(y) = z e f(x) = y → sostituendo y si ha: g(f(x)) = z

→ Siano f: A→B e g: B→C

Date f,g iniettiva g°f iniettiva, cioè

⇒ ∀x ∈A ⇒

f iniettiva ,x con x ≠x f(x ) ≠ f(x )

1 2 1 2 1 2

⇒ ∀f(x ⇒

g iniettiva ),f(x )∈B con f(x ) ≠ f(x ) g(f(x )) ≠ g(f(x ))

1 2 1 2 1 2

ma g(f(x )) = g°f(x )

1 1

e g(f(x )) = g°f(x )

2 2

quindi g°f(x ) ≠ g°f(x )

1 2

⇒ ∃ -1

→ Se g°f è biettiva l’inversa (g°f) 27

B f

(x)

• C

A -1

f -1

g

• g(f )

-1 -1

f °g (x)

x -1 -1 -1

definita come: (g°f) = f °g

Esempio:

f: R→R g: R→R

2

f(x) = x+1 g(x) = x

Dominio e insieme d’arrivo coincidono quindi si possono considerare entrambe le funzioni

composte g°f e f°g 2

g°f(x) = g(f(x)) = g(x+1) = (x+1)

2 2

f°g(x) = f(g(x)) = f(x ) = x +1 g°f ≠ f°g

Funzione reale di una variabile reale è f: A→R con A⊂R

Esempio:

f(x) = determinare il campo di esistenza della funzione (l’insieme di definizione

2

x 1 della funzione)

≥0

2

campo di esistenza → x -1

±1 ≤-1 ≥1

2

x -1 =0 → x = → x x [campo di esistenza]

x 1

f(x) = 2

e x

per esistere il campo di esistenza il denominatore deve essere ≠0 quindi:

campo di esistenza: x ≠0

2

f(x) = log(x -1)

l’argomento del logaritmo deve essere sempre >0 quindi

2

campo di esistenza x -1>0 x>1, x<-1

Funzione limitata superiormente

Lo è quando il suo codominio è limitato superiormente

Funzione limitata inferiormente

Quando il codf è limitato inferiormente

Funzione limitata

Quando il codf è limitato sia superiormente che inferiormente

28

Se il codf è limitato superiormente l’estremo superiore si chiama estremo superiore della funzione

supf

Se max del codf esso è il max della funzione maxf

Stessa cosa dicasi per inf e min

Il punto di max di una funzione è il punto in cui la funzione assume valore massimo

Il punto di min di una funzione è il punto in cui la funzione assume valore minimo

Funzioni Monotone

f: A→R ∀x ∈A ⇒

f non decrescente se ,x con x <x f(x )≤ f(x )

1 2 1 2 1 2

∀x ∈A ⇒

f non crescente se ,x con x <x f(x )≥ f(x )

1 2 1 2 1 2

Una f che è non decrescente o non crescente si dice monotona

Non Decrescente Non Crescente

y y

x x

o o

f(x) = k → funzione costante → il codominio ha un solo punto

Funzioni Strettamente Monotone

f: A→R ∀x ∈A ⇒

f decrescente se ,x con x <x f(x )> f(x )

1 2 1 2 1 2

∀x ∈A ⇒

f crescente se ,x con x <x f(x )< f(x )

1 2 1 2 1 2

Una f crescente o decrescente è strettamente monotona

N.b. Vale che una funzione strettamente monotone è sicuramente monotona

[una funzione crescente è anche una funzione non decrescente]

29

Decrescente Crescente

y

y x

x o

o

Esempio: 1

f: R →R f(x) =

+ x

Questa f è una funzione strettamente monotona, è decrescente; per cui deve valere che:

∀x ∈A ⇒

,x con x <x f(x )> f(x )

1 2 1 2 1 2

1 1 1 1

>

⇒ ⇒ ⇒

0<x <x f(x ) = , f(x ) = f(x ) > f(x )

1 2 1 2 1 2

x x x x

1 2 1 2

Esempio: ∀x ∈A ⇒

f: R→R f(x) = x+3 → È crescente, quindi ,x con x <x f(x )< f(x )

1 2 1 2 1 2

⇒ ⇒ ⇒

0<x <x x +3<x +3 f(x ) = x +3, f(x ) = x +3 f(x ) < f(x )

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2

Successioni

Tra le funzioni quelle con domino N hanno un ruolo importante; esse sono infatti le successioni.

f: N→R = successioni

f(n) = a la successione si indica con (a ) oppure con (a , a , …, a , …)

n n 1 2 n

Successioni monotone

∀n∈N ≤

(a ) non decrescente se risulta che a a

n n n+1

∀n∈N ≥

(a ) non crescente se risulta che a a

n n n+1

 

1 1

 

1

,

1

, , , 

Esempio: è non crescente

2 2

 

Esempio: (1, 1, 2, 2, …) è non decrescente

Successioni strettamente monotone

∀n∈N

(a ) decrescente se risulta che a > a

n n n+1

∀n∈N

(a ) crescente se risulta che a < a

n n n+1

− − + −

 

n 1 n 1 n 1 1 n

< =

  ∀n∈N

Esempio: è crescente vale a dire che: + +

n

  n n 1 n 1 ∀n∈N

2 2 2

(n-1)(n+1)<n è crescente poiché svolgendo il prodotto si ha: (n -1)<n

30

+ + + + +

 

n 1 n 1 n 1 1 n 2

> =

  ∀n∈N

Esempio: è decrescente vale a dire che + +

 

n n n 1 n 1 ∀n∈N

2 2 2

(n+1) >(n+2)n è decrescente poiché svolgendo i calcoli si ha: n +2n+1>n +2n

Il codominio della funzione (a ) è l’insieme {a }

n n

Le successioni sono come tutte le altre funzioni; quindi la limitatezza è come per tutte le altre

funzioni: dipende dal codominio Intorno di un punto ∈I

x 0

I(x ) = ]a,b[ con a<x <b È un intervallo aperto

0 0 x

a

∩ b

]a ,b [ ]a,b[ = ]a,b [ 0

a b

1 1 1 1 1

Se si considerano due intorni di x , la loro intersezione è ancora un intorno x

0 0

Intorno di centro x è del tipo ]x -r,x +r[ r>0

0 0 0

Intorno destro I (x ) = [x ,b[ x < b

+ 0 0 0

Intorno sinistro I (x ) = ]a,x ] a<x

- 0 0 0

Un intorno di x si può considerare come l’unione di un intorno destro e uno sinistro

0

Intorno di + I(+∞) = ]a,+∞[

Intorno di – I(-∞) = ]-∞,a[

∅∉A⊂R, ∈R

Se x è punto di accumulazione per A se preso qualunque intorno di x in esso cadono

0 0

infiniti punti di A ovvero vi cade almeno un elemento di A ≠ x 0

x è di accumulazione da dx di A se preso un qualunque intorno dx di x in esso cadono infiniti

0 0

elementi di A o almeno un punto di A ≠ x . (analogamente per da sx)

0

∈A

Un punto x è isolato quando esiste un intorno ]a,b[ di x tale che ]a,b[∩A={x }

0 0 0

∈A ⊂

Un punto x è interno ad A se esiste un intorno ]a,b[ di x tale che ]a,b[ A

0 0

Isolato •

a b

x

0

a b Punto di accumulazione da dx

Non è punto interno

Esempio: A={1,2,3} 1,2,3, sono punti isolati 31

Limiti

Definizione:

Sia A un sottoinsieme di R, se il numero reale x è di accumulazione per A, in ogni intorno di x si

0 0

trovano elementi di A distinti da x . Quindi ha senso chiedersi come variano i valori di una funzione

0

definita in A quando x tende a x 0 ∈R ε>0

Sia A un sottoinsieme di R, f: A→R; x punto di accumulazione di A ed numero arbitrario

0

=

Lim f ( x ) l con l∈R limite finito

x x 0 ∀ε>0 ∃ ∀x∈ ∩A-{x ⇒

Per definizione significa che: I(x ) : I(x ) } |f(x) –l| <ε → l-ε < f(x)< l+ε

0 0 0

y

ε

l + l

ε

l - x x

o 0 =

x

Lim e 1

esempio: verificare il limite significa far vedere che:

x 0

∀ε>0 ∃ ∀x∈ ∩A-{0} ⇒ x x

I(0) : I(0) |e –l| <ε → l-ε < e < l+ε

ε ε<1

dal momento che è preso ad arbitrio lo si può supporre così che l-ε > 0

per isolare la x si moltiplica tutto per il logaritmo:

log(l-ε) < x < log(l+ε)

gli x che soddisfano la disequazione sono compresi in un intorno dello 0

32

∈R

Siano A un sottoinsieme di R, x un punto di accumulazione per A e f: A→R

0

= + ∞

Lim f ( x )

x x

0 ∀k>0 ∃ ∀x∈ ∩A-{x ⇒

Per definizione significa che: I(x ) : I(x ) } f(x) >k

0 0 0

y y = k

x x

o 0

intorno del punto x

0

1 = +∞

Lim si deve verificare che:

2

x

x 0 1 1

> > 2

∀k>0 ∃ ∀x∈ ∩A-{0} ⇒ k x

I(0) : I(0) →

2 k

x

1 1

− < <

x

è verificata per valori interni: k k

 

1 1

− , è un intervallo dello 0 quindi la definizione di limite è definita

 

 

k k 33

∈R

Siano A un sottoinsieme di R, x un punto di accumulazione per A e f: A→R

0

= − ∞

Lim f ( x )

x x

0 ∀k>0 ∃ ∀x∈ ∩A-{x ⇒

Per definizione significa che: I(x ) : I(x ) } f(x) < -k

0 0 0

intorno del punto

y x

0 x

0 x

o y = -k

Sia A non limitato superiormente:

∈R

Siano A un sottoinsieme di R, x un punto di accumulazione per A e f: A→R

0

=

Lim f ( x ) l

→ + ∞

x ∀ε>0 ∃ ∀x∈ ∩A ⇒

Per definizione significa che: I(+∞) : I(+∞) |f(x) –l| <ε → l-ε < f(x)< l+ε

y

ε

l + l

ε

l - Tutti gli x>h costituiscono un intorno di +∞:

gli x sono tutti quelli per cui f(x) sta nell’intorno

x

o h 34

∈R

Siano A un sottoinsieme di R, x un punto di accumulazione per A e f: A→R

0

= + ∞

Lim f (x )

→ + ∞

x ∀k>0 ∃ ∀x∈ ∩A ⇒

Per definizione significa che: I(+∞) : I(+∞) f(x) >k

y y = k

o x

h Sono x per cui f(x) >k cioè sta sopra la retta y = k

∈R

Siano A un sottoinsieme di R, x un punto di accumulazione per A e f: A→R

0

= − ∞

Lim f (x )

→ + ∞

x ∀k>0 ∃ ∀x∈ ∩A ⇒

Per definizione significa che: I(+∞) : I(+∞) f(x) < -k

y Sono x per cui f(x) >k cioè sta sotto la retta y = -k

h

o x

y = -k 35

Se A è non limitata inferiormente:

∈R

Siano A un sottoinsieme di R, x un punto di accumulazione per A e f: A→R

0

=

Lim f ( x ) l

→ − ∞

x ∀ε>0 ∃ ∀x∈ ∩A ⇒

Per definizione significa che: I(-∞) : I(-∞) |f(x) –l| <ε → l-ε < f(x)< l+ε

= + ∞

Lim f (x )

→ − ∞

x ∀k>0 ∃ ∀x∈ ∩A ⇒

Per definizione significa che: I(-∞) : I(-∞) f(x) >k

= − ∞

Lim f (x )

→ − ∞

x ∀k>0 ∃ ∀x∈ ∩A ⇒

Per definizione significa che: I(-∞) : I(-∞) f(x) < -k

Esercizio: +

x 1 1

=

Lim

Verificare che +

x 2 2

x 0

Dominio f: x ≠ 2 A = R-{2} +

x 1 1 ε

− <

∀ε>0 ∃ ∀x∈ ∩A ⇒

Si deve far vedere che: I(0) : I(0) +

x 2 2

+ − −

2 x 2 x 2 x x

ε

= < ε ε

− < <

cioè:

+ + +

2 x 4 2 x 4 2x 4

si suppone che x >-2 così che il denominatore sia positivo

x x

ε ε

− < <

+ +

2 x 4 2x 4

↓ ↓

–2εx –4ε < x x < 2εx + 4ε

–4ε < (1+2ε)x (1-2ε)x < 4ε

↓ ↓

ε ε

− 4 4 1

< < ε<

x x si considera in modo che (1-2ε)>0

ε ε

+ −

1 2 1 2 2

ε ε

4 4

− < <

x → è un intorno di 0

ε ε

+ −

1 2 1 2

Esercizio − = − ∞

2

Lim log(x 1

)

Verificare che →

x 1 ≠ ≠

Campo di esistenza 1 perché (l’argomento deve essere 0)

∀k>0 ∃ ∀x∈I(1) ∩A ⇒ 2

2 2

I(1) : –{1} log(x-1) <-k → = (x – 1)

log( x 1

)

e

− −

2

(x – 1) < → → → è un intorno di 1

k k − −

− < k k

− < < +

e x 1 e 1 e x 1 e

36

Esercizio

= + ∞

x

Lim e

→ + ∞

x

∀k>0 ∃ ∀x∈I(+∞) ∩A ⇒

I(+∞) : f(x) >k dominio R

x

e >k quando x>logk è un intorno di +∞

Esempio:

= + ∞

n

Lim x con n∈N A=dominio

→ + ∞

x ∀k>0 ∃ ∀x∈I(+∞)∩A ⇒

Applicano la definizione si ha: I(+∞) : f(x)>k

n

x >k → x> I(+∞) = ]h,+∞[ → ] , +∞[

n n

k k

è un intorno di +∞ quindi è verificato Limite destro

=

Lim f ( x ) l

+

x x 0

x deve essere un punto di accumulazione da destra → [x , a[; con x <a

0 0 0

∀ε>0 ∃ ∀x∈I ⇒

I (x ) : (x )∩A-{0} |f(x)-l|<ε

+ 0 + 0 Limite sinistro

=

Lim f ( x ) l

x x 0

x deve essere un punto di accumulazione da sinistra → ]a, x ]; con a<x

0 0 0

∀ε>0 ∃ ∀x∈I ⇒

I (x ) : (x )∩A-{0} |f(x)-l|<ε

- 0 - 0

Data una funzione, se il limite destro e sinistro sono uguali allora la funzione ammette limite; se

sono diversi la funzione non ammette limite

Esempio:

1 = + ∞

Lim x

+

x o

∀k>0 ∃ ∀x∈ ⇒

I (0) : I (0)∩A-{0} f(x) > k

+ +

1 1

⇒ >k → x< x si avvicina a 0 assumendo valori positivi quindi la disuguaglianza non

x k  

1

0

,

cambia segno. Si determina così un intorno destro dello 0:  

 

k

Esempio:

=

x

Lim e 0 Dominio = R

→ − ∞

x

∀ε>0 ∃ ∀x∈ ⇒ ε

x x

I(-∞) : I(-∞)∩A |f(x) – 0|<ε → |e |<ε → -ε < e < ε>0)

x x

-ε< e → è sempre verificata: e è sempre positivo mentre -ε è negativo (poiché quindi

x

e è sempre maggiore di -ε

ε

x

e < → isolando la x si ottiene: x < logε e questo costituisce un intorno di -∞

Quindi la disuguaglianza è verificata 37

Esempio:

1 =

Lim 0 A = R-{0}

x

→ − ∞

x 1

1

∀ε>0 ∃ ∀x∈ ⇒

I(-∞) : I(-∞)∩A <ε che equivale a scrivere <ε

x

x

Si può supporre x<0 (è lecito dal momento che x→-∞)

Dato che x<0 |x| = -x quindi:

1 1 1

− −

<ε → <ε → x<

x ε

x

Importante per il calcolo del limite

+ = +

Lim ( ax b ) ax b

0

x x 0

∀ε>0 ∃ ∀x∈ ⇒

I(x ) : I(x )∩A-{x } |ax+b – ax -b|<ε → |ax – ax |<ε

0 0 0 0 0

mettendo a in evidenza: |ax – ax |<ε → |a(x–x )|<ε

0 0

Se a =0 la disuguaglianza è sempre verificata

ε ε

ε − < < +

x x x

Se a ≠0 |x–x | < → → si crea un intorno del punto x

0 0

0 0

a a a

Il limite è verificato

Esempio: = + ∞

Lim log x +

A = R

→ + ∞

x

∀k>0 ∃ ∀x∈ ⇒

I(+∞) : I(+∞)∩A logx > k

>

log x k k

→ x>e → Queste soluzioni costituiscono un intorno di +∞

e e

Esempio: =

Lim log x 0

x 1

∀ε>0 ∃ ∀x∈ ⇒

I(1) : I(1)∩A-{1} |logx|<ε

ε ε

− < < ε ε

log x < <

ε e e e e x e

-ε < logx < → →

1

ε

− =

e che è sempre <1

ε

e

ε

e è >1

ε ε

− < <

e x e → è un intorno di 1 38

Teorema − =

Lim [ f ( x ) l ] 0

=

Lim f ( x ) l →

x x

→ se vale questo risultato è anche vero che

x x 0

0 = ⇒ − =

Lim f ( x ) l Lim [ f ( x ) l ] 0

→ ipotesi: → →

x x x x

0 0

∀ε>0 ∃ ∀x∈ ⇒

L’ipotesi significa che I(x ) : I(x )∩A-{x } |f(x)-l|<ε

0 0 0

∀ε>0 ∃ ∀x∈ ⇒

La tesi significa che I(x ) : I(x )∩A-{x } |f(x)-l|<ε

0 0 0

Ipotesi e tesi coincidono, quindi la tesi è verificata

− = ⇒ =

Lim [ f ( x ) l ] 0 Lim f ( x ) l

← ipotesi: → →

x x x x

0 0

In maniera del tutto analoga si verifica la tesi

Teorema dell’unicità del limite

Ipotesi: Se una funzione ammette limite,

Tesi: Questo è unico. ∈R

Si suppone per assurdo che esistano l e l con l ≠l tali che si ha

1 2 1 2

= =

Lim f ( x ) l Lim f ( x ) l

e

1 2

→ →

x x x x

0 0

=

Lim f ( x ) l ∀ε>0 ∃ ∀x∈ ⇒

significa che: I (x ) : I (x )∩A-{x } |f(x)-l |<ε

1 1 0 1 0 0 1

x x

0

allo stesso modo si ha che

=

Lim f ( x ) l ∀ε>0 ∃ ∀x∈ ⇒

e significa che I (x ) : I (x )∩A-{x } |f(x)-l |<ε

2 2 0 2 0 0 2

x x 0

Si considera la differenza |l -l |;

1 2

se a questa differenza si somma e si sottrae la stessa quantità f(x) si ha: |l -l | = |l - f(x) + f(x) - l |

1 2 1 2

per una proprietà del valore assoluto si ha: |l -l | = |l - f(x) + f(x) - l | |f(x)-l | + |f(x) - l |

1 2 1 2 1 2

∀x∈I

|f(x)-l |<ε (x )

1 1 0

∀x∈I

|f(x)-l |<ε (x ) queste due disuguaglianze valgono contemporaneamente

2 2 0

Se si considera l’intersezione dei due intervalli si ha: I(x ) = I (x )∩I (x )

0 1 0 2 0

Quindi nell’intervallo I(x ) segue che: |l -l | |f(x)-l | + |f(x) - l | < 2ε

0 1 2 1 2

E in particolare |l -l | < 2ε

1 2 −

l l

ε ε 1 2

Per l’arbitrarietà di e per l’ipotesi che l ≠l si può porre =

1 2 2

l l

ε 1 2

Sostituendo si ha che |l -l | < 2

1 2 2

Semplificando si ha che: |l -l | < |l -l | → il che è un assurdo facendo cadere l’ipotesi quindi l = l

1 2 1 2 1 2

39

Teorema del limite di una somma

∈R

Date due funzioni f, g: A→R con x e punto di accumulazione per A

0

Se le due funzioni ammettono limite, la somma delle due funzioni ammette anch’essa limite e il

limite è la somma dei limiti [il limite della somma è la somma dei limiti]

= =

Lim f ( x ) l Lim g ( x ) m

Ipotesi: e

→ →

x x x x

0 0

+ = +

Lim [ f ( x ) g ( x )] l m

Tesi: →

x x 0

Dimostrazione: ε

=

Lim f ( x ) l ∀ε>0 ∃

vuol dire che I (x ) :∀x∈ I (x )∩A-{x }⇒ |f(x) – l| <

1 0 1 0 0

x x 2

0 ε

=

Lim g ( x ) m ∀ε>0 ∃

vuol dire che I (x ) :∀x∈ I (x )∩A-{x }⇒ |g(x) – m| <

2 0 2 0 0

x x 2

0 ε

ε

per l’arbitrarietà di si può porre maggiore dei 2 valori assoluti

2

+ = + + − − =

Lim [ f ( x ) g ( x )] l m Lim [ f ( x ) g ( x ) l m ] 0

vuol dire anche che → |f(x)+g(x)-l-m| <ε

→ →

x x x x

0 0

per la commutativa e l’associativa si ha: |[f(x)-l]+[g(x)-m]| ≤

per una proprietà dei valori assoluti si ha: |[f(x)-l]+[g(x)-m]| |f(x)-l| + |g(x)-m|

Se si considera l’intorno I(x ) = I (x )∩I (x ) segue che:

0 1 0 2 0

ε ε ε ε

|f(x) – l| < e |g(x) – m| < perciò dalla somma |f(x)-l| + |g(x)-m| si ha: + =ε

2 2 2 2

quindi |f(x)+g(x)-l-m| = |[f(x)-l]+[g(x)-m]| |f(x)-l| + |g(x)-m| <ε

∀x∈

in particolar modo |f(x)+g(x)-l-m| <ε → ciò avviene I(x )∩A-{x }

0 0

+ = +

Lim [ f ( x ) g ( x )] l m

che è la verifica del →

x x 0 Teorema della limitatezza locale

Data f: A→R con x punto di accumulazione per A

0 =

Lim f ( x ) l

Se la funzione ammette limite con l∈R

x x 0

si dimostra che I(x ) : f è limitata in I(x )∩A-{x }

0 0 0

ma questo segue direttamente dal concetto di limite infatti, che una funzione ammette limite vuol

∀ε>0 ∃ ∀x∈ ⇒ ε

dire che I(x ) : I(x )∩A-{x } |f(x) - l| < → l-ε < f(x) < l+ε

0 0 0

quindi la funzione risulta limitata: l-ε è un minorante mentre l+ε è un maggiorante

Prodotto tra una funzione limitata per una funzione dotata di limite

Se f: A→R è una funzione limitata =

Lim g ( x ) 0

e g: A→R è una funzione che ammette limite →

x x 0 ⋅ =

Lim f ( x ) g ( x ) 0

allora il prodotto f(x)∙g(x) ammette limite e questo limite sarà: →

x x 0

40

∃ ≤ ≤ ≤

Una funzione f è limitata se M>0 : |f(x)| M ovvero –M f(x) M ε

∀ε>0 ∃ ∀x∈

Una funzione g ammette limite se I(x ) : I(x )∩A-{x } → |g(x) – 0| <

0 0 0 M ε

ε

Per il valore arbitrario di e per comodità di dimostrazione si pone il valore assoluto < M

Considerando il prodotto delle due funzioni in valore assoluto e applicando una proprietà del valore

assoluto si ha: |f(x)∙g(x)| = |f(x)|∙|g(x)|.

ε ε

≤ ε

Ma |f(x)| M, e |g(x)|< quindi il prodotto dei due valori sara: |f(x)|∙|g(x)| < M∙ =

M M

⋅ =

Lim f ( x ) g ( x ) 0 ∀ε>0 ∃ ∀x∈ ⇒ ε

Si verifica così che infatti I(x ) : I(x )∩A-{x } |f(x)∙g(x)| <

0 0 0

x x 0 Teorema

Data una funzione f: A→R con x punto di accumulazione per A

0

= =

Lim f ( x ) l Lim f ( x ) l

Se esiste → →

x x x x

0 0

=

Lim f ( x ) l ∀ε>0 ∃ ∀x∈ ⇒ ε

vuol dire che I(x ) : I(x )∩A-{x } |f(x) - l| <

0 0 0

x x 0 ≤

se si considera ||f(x)| - |l|| per una proprietà del valore assoluto si ha che: ||f(x)| - |l|| |f(x) – l|

≤ ε

ma per ipotesi |f(x) – l| <ε quindi si ha che: ||f(x)| - |l|| |f(x) – l| <

ε

di conseguenza il ||f(x)| - |l|| <

=

Lim f ( x ) l ∀ε>0 ∃ ∀x∈ ⇒ ε

ma vuol dire che I(x ) : I(x )∩A-{x } ||f(x)| - |l|| < che risulta

0 0 0

x x

0

verificato = =

= =

Lim f ( x ) l Lim f ( x ) l

Lim f ( x ) l Lim f ( x ) l

⇒ ⇒

Ma se non è detto che

→ →

→ →

x x x x

x x x x

0 0

0 0

= ≥

 1 x 0 ⇒

Infatti se si considera una funzione: f(x) |f(x)| = 1

− = <

1 x 0

In valore assoluto la funzione è costante e il limite è la costante stessa:

= =

Lim | f ( x ) | Lim 1 1

→ →

x 0 x 0

Invece calcolando i limiti da destra e da sinistra della funzione si ha:

= =

Lim f ( x ) Lim 1 1 il limite tende a 0 assumendo valori maggiori di 0, dove f(x) = 1

+ +

→ →

x 0 x 0

= − = −

Lim f ( x ) Lim 1 1 il limite tende a 0 assumendo valori minori di 0, dove f(x)= -1

− −

→ →

x 0 x 0

Allora quand’è che si verifica l’implicazione inversa?

=

= Lim f ( x ) l

Lim f ( x ) l ⇒

Ovvero quand’è che ?

→ x x

x x 0

0

Ciò si verificata l = 0

=

Lim f ( x ) l ∀ε>0 ∃ ∀x∈ ⇒ ε ε

vuol dire che I(x ) : I(x )∩A-{x } ||f(x)| - 0| < = |f(x)| <

0 0 0

x x 0 =

Lim f ( x ) 0

∀ε>0 ∃ ∀x∈ ⇒ ε

ma dire che I(x ) : I(x )∩A-{x } |f(x)| < significa dire

0 0 0 →

x x 0

41

Prodotto di una funzione costante per una funzione che ammette limite

Se si hanno due funzioni una costante ed una funzione che ammette limite calcolando il limite del

prodotto tra le due funzioni si dirà che il limite è uguale al prodotto tra la costante e il limite della

funzione

f(x) = k = ⋅ = ⋅

Lim g ( x ) m Lim f ( x ) g ( x ) k m

g: A→R → →

x x x x

0 0 + = +

Lim ax b ax b

Lo si può considerare come caso particolare di dove b =0, a=3 che è una

0

x x 0

costante per una funzione x

=

Lim 3 x 3 x

Es: 0

x x 0 Teorema

Il prodotto dei limiti è uguale al limite dei prodotti:

Sia f,g A→R con x punto di accumulazione per A

0

= =

Lim f ( x ) l Lim g ( x ) m

Se e se

→ →

x x x x

0 0 ⋅ = ⋅

Lim [ f ( x ) g ( x )] l m

il prodotto f(x)∙g(x) ammette limite ed è = →

x x 0

⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ =

Lim [ f ( x ) g ( x )] l m Lim [ f ( x ) g ( x ) l m ] 0

è uguale a:

→ →

x x x x

0 0

aggiungendo e sottraendo g(x)∙l si ha: f(x)∙g(x) – l∙g(x) + l∙g(x) – l∙m

per l’associativa si ha: [f(x)∙g(x) – l∙g(x)] + [l∙g(x) – l∙m]

mettendo in evidenza prima g(x) e poi l si ha: g(x)∙[f(x)-l] + l∙[g(x)-m]

= − =

Lim f ( x ) l Lim f ( x ) l 0

ma → →

x x x x

0 0

= − =

Lim g ( x ) m Lim g ( x ) m 0

e → →

x x x x

0 0

⋅ − + ⋅ − =

Lim g ( x ) [ f ( x ) l ] l [ g ( x ) m ] 0

considerando →

x x 0

per il teorema di l è una g(x)-m ammette

f(x)-l ammette

limitatezza locale funzione come limite 0

come limite 0

in I(x )∩A-{x } costante

0 0

g(x) risulta limitata Sono due funzioni (una funzione costante

ed una funzione che ammette limite) il cui

sono due funzioni (una funzione limitata prodotto è uguale alla costante per il limite

ed una funzione che ammette limite =0) della funzione

il cui prodotto ammette come limite 0 42

Esempio:

= x

x

Lim e e 0

x x 0 −

x x x

x lo si può scrivere come

e e e

0 0 =

x x

Lim e e

0 0

x è una funzione costante e quindi il limite è la costante stessa

e 0 →

x x

0

=

x

Lim e 1

si utilizza un risultato noto: →

x 0

al tendere di x a x la differenza x-x tende a 0

0 0

− =

x x y

Lim e Lim e 1

0

ponendo x-x = y il limite lo si può considerare come

0 → →

x x y 0

0 ⋅ =

x x

Lim e 1 e

0 0

quindi il limite viene ad essere →

x x

0 Teorema

Data f: A→R con x punto di accumulazione per A

0 1 1

=

Lim f ( x ) l =

Lim

se se f(x) e l ≠ 0 si può avere che

→ f ( x ) l

x x →

x x

0 0

Ipotesi: Tesi 1 1

=

Lim f ( x ) l =

Lim

→ f ( x ) l

x x →

x x

0 0

∀ε>0 ∃ ∀∈I(x

I(x ) : )∩A-{x }⇒ |f(x) – l| <ε

0 0 0

per un teorema precedente se f(x) ammette come limite l, anche |f(x)| ammette come limite |l|

l

ε

se si pone = si ha:

2

l l

∀ ∃ ∀x∈I(x

>0 I(x ) : )∩A-{x }⇒ ||f(x)| - |l||<

0 0 0

2 2

l l

|l| - < |f(x)| < |l|+

2 2 l

si fissa l’attenzione solo sulla prima disuguaglianza: |l| - < |f(x)|

2

2 l l l

= <

che sarà uguale a: f ( x )

2 2 1 1 1 1

= −

Lim

dal momento che si deve trovare si può considerare

f ( x ) l f ( x ) l

x x

0 −

l f ( x )

riducendo allo stesso denominatore si ha: ⋅

l f ( x ) ε

− = − − <

l f ( x ) f ( x ) l f ( x ) l

al numeratore: in valore assoluto e per ipotesi

⋅ ⋅

l f (x ) l f (x )

il denominatore lo si può scrivere come 43

l l

> ⋅ > ⋅

poiché il rapporto

f ( x ) l f ( x ) l

2 2

2

l

⋅ >

che è uguale a l f ( x ) 2 2

l

ε

− <

l f (x ) ⋅ >

quindi e l f ( x ) 2 ε

l f ( x ) ε

− −

<

l f ( x ) l f ( x ) 2

<

tornando al rapporto si potrà dire che: che è uguale a

2

l f ( x ) l

⋅ ⋅ 2

l f ( x ) l f ( x ) l

2

ε

2

ε, ε

Per l’arbitrarietà di parlare di o di è la stessa cosa

2

l ε

1 1 2

Quindi la differenza risulta < c.v.d.

2

f ( x ) l l

Conseguenza:

Date f,g: A→R con x punto di accumulazione per A

0

= =

Lim f ( x ) l Lim g ( x ) m

se e con g(x) e m ≠ 0

→ →

x x x x

0 0 f ( x ) l f ( x ) 1

= ⋅

Lim f ( x )

si potrà avere che: questo sarà possibile se si considera come

g ( x ) m g ( x ) g ( x )

x x 0 Teorema del permanenza del segno

Data f: A→R con A⊂R con x punto di accumulazione per A

0

=

Lim f ( x ) l ∃ ∀x∈I(x

Se con l ≠ 0 allora I(x ) : )∩A-{x }

0 0 0

x x 0

Allora f(x) ed l hanno lo stesso segno ε

− <

f ( x ) l

∀ε>0 ∃ ∀x∈I(x ⇒

I(x ) : )∩A-{x }

0 0 0

l-ε < f(x) < l+ε

ε = l

se si pone

la disuguaglianza diventa: l-|l| < f(x) < l+|l|

se l >0 |l| = l

quindi la disuguaglianza diventa: l-|l| < f(x) < l+|l| → l-l < f(x) < l+l → 0 < f(x) < 2l

in questo caso sia f(x) che l sono entrambi > 0

se l <0 |l| = -l

quindi la disuguaglianza diventa: l-|l| < f(x) < l+|l| → -l-l < f(x) < 0 → 2l < f(x) < 0

in questo caso sia f(x) che l sono entrambi < 0 44

Teorema del confronto (caso finito)

Date f,g,h: A→R con A⊂R con x punto di accumulazione per A

0

= = =

Lim f ( x ) Lim g ( x ) l Lim h ( x ) l

Se allora si dimostrerà che anche

→ → →

x x x x x x

0 0 0

≤ ≤

se le 3 funzioni sono f(x) h(x) g(x) ε

− <

f ( x ) l

∀ε>0 ∃ ∀x∈I ⇒

I (x ) : (x )∩A-{x }

1 0 1 0 0

l-ε < f(x) < l+ε ε

− <

g ( x ) l

ε, ∃ ∀x∈I ⇒

in relazione allo stesso I (x ) : (x )∩A-{x }

2 0 2 0 0

l-ε < g(x) < l+ε

Si considera l’intorno formato dall’intersezione dei due intorni si ha: I(x ) = I (x )∩I (x )

0 1 0 2 0

In relazione a questo intorno e in relazione al fatto che f(x) g(x) le due disuguaglianze

diventeranno: l-ε < f(x) g(x) < l+ε

≤ ≤ ≤ ≤

Poiché f(x) h(x) g(x) si avrà anche che l-ε < f(x) h(x) g(x) < l+ε

∀x∈I(x

Da questa disuguaglianza si ha l-ε < h(x) < l+ε )∩A-{x } [occhio che I(x ) = I (x )∩I (x )]

0 0 0 1 0 2 0

=

Lim h ( x ) l

Quindi anche h(x) ammette limite →

x x 0

Teorema del confronto (caso infinito)

Date f,g,h: A→R con A⊂R con x punto di accumulazione per A

0

Con f(x) g(x)

= + ∞ ⇒ = + ∞

Lim f ( x ) Lim g ( x )

Se → →

x x x x

0 0 ∀k>0 ∃I(x ∀x∈I(x ⇒

Dal limite di f(x) segue che ) : )∩A-{x } f(x) > k

0 0 0

Dalle ipotesi e dal concetto di limite segue che k < f(x) g(x) = + ∞

Lim g ( x )

Quindi g(x) >k perciò in relazione allo stesso I(x ) si ha che

0 →

x x 0

Con f(x) g(x)

= − ∞ ⇒ = − ∞

Lim g ( x ) Lim f ( x )

Se → →

x x x x

0 0 ∀k>0 ∃I(x ∀x∈I(x ⇒

Dal limite di g(x) segue che ) : )∩A-{x } g(x) < -k

0 0 0

Dalle ipotesi e dal concetto di limite segue che f(x) g(x) <-k = − ∞

Lim f ( x )

Quindi f(x) <-k perciò in relazione allo stesso I(x ) si ha che

0 →

x x 0

Esercizio:

cos x

Lim x

x x

0 1 ⋅ cos x

il limite si può scindere in x

1 ha limite 0

x

cosx funzione limitata

cos x 1

= ⋅ = ⋅ =

Lim cos x 0 cos x 0

x x

x x 0 45

Limite di un polinomio

=

Lim P ( x ) P ( x )

0

x x 0 n n-1

P(x) = a x +a x +…+a x+a con a ≠ 0

0 1 n-1 n 0

Poiché il limite della somma è la somma dei limiti, per comodità si può scomporre il polinomio

P(x) nei vari addendi e calcolarne i limiti:

n n 1 Lim a x Lim a

Lim a x Lim a x

+ +…+ +

n 1 n

0 1 → →

→ → x x x x

x x x x 0 0

0 0

=

Lim P ( x ) P ( x )

0

x x 0 n

Lim a x questo è il prodotto di una costante a per una funzione x.

0 0

x x

0 = + =

Lim x x Lim ax b Lim x

questo lo si può considerare come caso particolare con a = 1 e b = 0

0 0

→ → →

x x x x x x

0 0 0

n

=

n

Lim x x n

questo lo si considera come prodotto di funzioni: infatti x = x∙x∙x∙…∙x → n volte

0

x x 0 n

=

n

Lim a x a x

quindi 0 0 0

x x

0

analogamente per tutti gli altri addendi. 0n 0n-1

Perciò al limite P(x) diventa: P(x ) = a x +a x +…+a x +a

0 0 1 n-1 0 n

Se si hanno due polinomi e se ne vuole calcolare il rapporto al limite si ha:

P ( x )

P ( x ) = 0

Lim con Q(x ) ≠ 0

0

Q ( x ) Q ( x )

x x 0 0 − + + − + +

2 2

( x 1

)( x x 1

) ( x 1

)( x x 1

)

− 0

3

x 1 =

= (forma indeterminata) scomponendo

Lim − + − + +

2 2 2

( x 1

)( x 1

) ( x 1

)( x 1

)( x 1

)

− 0

4

x 1

x 1 + +

2

( x x 1

)

semplificando (x-1): + +

2

( x 1

)( x 1

) + +

2

( x x 1

) 3

=

Lim

a questo punto è possibile calcolare il limite: + +

2 4

( x 1

)( x 1

)

x 1

+ =

2

Lim 3 x x 10

x 2 P ( x )

Se si hanno 2 polinomi Q ( x )

P ( x )

Lim

e si calcola Q ( x )

→ ± ∞

x

n n-1

P(x) = a x +a x +…+a x+a con a ≠ 0

0 1 n-1 n 0

m m-1

Q(x) = b x +b x +…+b x+b con b ≠ 0

0 1 m-1 m 0

+ + + +

n n 1

P ( x ) a x a x ... a x a

Lim 0 1 n 1 n

Lim

= −

+ + + +

m m 1

Q ( x ) b x b x ... b x b

→ ± ∞ → ± ∞

x x −

0 1 m 1 m

46

n m

mettendo in evidenza x al numeratore e x al denominatore si ha:

 

a a

a a

+ + + + +

n  

n 1 n

1 2

x a ...

0 −

2 n 1 n

x x x x

 

Lim  

b b

b b

→ ± ∞

x + + + + +

m  

m 1 m

1 2

x b ...

0 −

2 m 1 m

x x x x

 

si considerano 3 casi:

n m

se n = m allora x e x sono la stessa cosa e si semplificano;

dentro parentesi le costanti a e b rimangono, mentre tutti gli altri addenti essendo della

0 0 a

1 0

forma con x che tende ad tendono a 0; quindi il risultato è: b

x 0

 

a a

a

+ + + +

 

n 1 n

1

a ...

0 −

n 1 n 1 n

x x x x

 

= x m

x

se n > m allora dentro parentesi i calcoli rimangono invariati,

 

m b b

b

x + + + +

 

m 1 m

1

b ...

0 −

1 m 1 m

x x x

 

a

n− m 0

x

quindi si avrà il prodotto .

b

0 n-m

Se il limite tenderà a +∞ allora x tenderà +∞, che si moltiplicherà col segno

   

a a a

   

+ ∞ ⋅ + = + ∞ + ∞ ⋅ − = − ∞

0 0 0

di : se ; se

   

b b b

   

0 0 0 n-m

Se il limite tenderà a -∞ allora se n-m è pari x tenderà a +∞ che si

a 0

moltiplicherà col segno di : se

b

0

   

a a

   

+ ∞ ⋅ + = + ∞ + ∞ ⋅ − = − ∞

0 0

; se

   

b b

   

0 0

n-m

se n-m è dispari x tenderà a -∞ che si

a 0

moltiplicherà col segno di : se

b

0

   

a a

   

− ∞ ⋅ + = − ∞ − ∞ ⋅ − = + ∞

0 0

; se

   

b b

   

0 0

 

a a

a

+ + + +

 

n 1 n

1

a ...

0 −

n a

1 n 1 n 1

x 1 x x x

  1

= ⋅ 0

se n < m allora il prodotto si ridurrà a ; ma

− m n −

 

m m n b

b b x m n

b

x x x

+ + + +

  0

m 1 m

1

b ...

0 −

1 m 1 m

x x x

 

tenderà a 0 quindi il limite varrà 0

Riepilogo

n = m → coefficienti di grado massimo

n > m → il segno lo si stabilisce di volta in volta

n < m → 0 47

 

2

+

 

1 x

+

x 2  

x

= =

Lim 1

+  

5

x 5

→ + ∞

x +

 

1 x

 

x

+

x 3 =

Lim 0

+ +

2

x x 1

→ + ∞

x  

2 4

+ +

3  

x 1

+ +

3 2 3

x 2 x 4  

x x

= = +∞

Lim +  

1

x 1

→ + ∞

x +

 

x 1

 

x

= x

x

Lim e e 0

x x 0 Teorema

=

Lim x x

Si dimostra che 0

x x

0 −

x x

− = 0

Lim x x 0

Si può scrivere come: razionalizzando si ha

0 −

x x

x x

0 0

( )( )

− + −

x x x x x x

x x 0 0 = 0

0 ⋅ + =

Passi della razionalizzazione: x x + −

0 x x x x

1 0 0

x x

− 0

Lim

Lim x x

Quindi calcolare è lo stesso di calcolare

0 −

x x

→ x x

x x 0 0 0

x x = − =

0

Lim 0 Lim x x 0

Perciò se si dimostra che si dimostra anche che 0

x x

→ →

x x x x

0 0

0

x x x

0 > 0

x

Si considera per comodità di calcolo si assume

− 2

x x 0 −

− x x

x x 0

<

0

Quindi risulta verificata la disuguaglianza −

x x x +

0 0 x 0

2

x x

≤ 0

0

Ma essendo in valore assoluto si ha anche che: −

x x 0

− x x

x x 0

≤ <

0

0

Quindi −

x x x +

0 0 x 0

2

x x 1

0 = ⋅ − =

( x x ) 0

0

Ma poiché x-x tende a 0

x x 0

+ +

0 0

x x

0 0

2 2 48

− −

x x x x

≤ < =

0 0

0 0 0

Perciò e per il teorema del confronto

− −

x x x x

0 0

x x = − = =

0

Lim 0 Lim x x 0 Lim x x

Quindi perciò anche e si conclude che

0 0

x x

→ → →

x x x x x x

0 0

0 0

Comportamento delle funzioni monotone nel passaggio al limite

Data f: I→R dove I = intervallo aperto di R

⇒ ∈R

f monotona in I f non decrescente sia x 0

y x

o x

0

(dimostrazione solo grafica)

Se x è interno dell’intervallo si può dire che:

0

Esiste il limite sinistro per x che tende a x della funzione:

0

=

Lim f ( x ) f ( x ) = sup{f(x) : x < x }≤ f(x )

0 0 0

x x 0

Ma esiste anche il limite destro per x che tende a x della funzione:

0

+

=

Lim f ( x ) f ( x ) = inf{f(x) : x > x }≥ f(x )

0 0 0

+

x x 0 ≤ ≤

- +

In generale allora vuole dire che f(x ) f(x) f(x )

0 0

49

Se x è estremo dell’intervallo si può dire che:

0

y x x

o 0 Lim f ( x )

x estremo sinistro: = inf {f(x)} x in questo caso può anche essere -∞

0 0

+

x x

0

y x x

o 0

Lim f ( x )

x estremo destro: = sup{f(x)} x in questo caso può anche essere +∞

0 0

x x

0 50

Se f è non crescente

y x x

o 0

Esiste il limite sinistro per x che tende a x della funzione:

0

=

Lim f ( x ) f ( x ) = inf{f(x) : x < x }≥ f(x )

0 0 0

x x 0

Esiste anche il limite destro per x che tende a x della funzione:

0

+

=

Lim f ( x ) f ( x ) = sup{f(x) : x > x }≤ f(x )

0 0 0

+

x x 0 ≤ ≤

+ 0-

In generale allora vuole dire che f(x ) f(x) f(x )

0

Se x è estremo destro si ha che:

0 Lim f ( x )

x estremo sinistro: = inf {f(x)} x in questo caso può anche essere -∞

0 0

x x

0

Se x è estremo sinistro si ha che:

0 Lim f ( x )

x estremo destro: = sup{f(x)} x in questo caso può anche essere +∞

0 0

+

x x

0

Esempio: ≤

 x x 1

=

f ( x ) 

f: I→R + >

x 1 x 1

f è monotona in questo caso x = 1

0 51

y x

o 1

f è monotona non decrescente

= =

Lim f ( x ) Lim x 1 ( = sup ]-∞, 1[ )

− −

→ →

x 1 x 1

= =

Lim f ( x ) Lim x 2 ( = inf ]2, +∞[ )

+

→ + →

x 1 x 1

Esempio:

= x

f ( x ) e funzione monotona crescente

è definita su tutto R

= ∈ = + ∞

x x

Lim e sup{

e : x R

}

→ + ∞

x ≥

x n

sup{e : x∈R} sup {e : n∈N} poiché N è un sottoinsieme di R

Disuguaglianza di Bernulli

n

(1+α) 1+nαÈ sempre vera e si dimostra per induzione:

α

per ipotesi > -1

se n = 1 1+α = 1+α

Posta vera per n, si dimostra per n+1;

n+1

ovvero si dimostra che (1+α) 1+(n+1)α ≥

n

Moltiplicando ambo i membri per (1+α) si ottiene: (1+α) ∙(1+α) (1+nα)(1+α)

≥ α

n+1 2

Svolgendo i prodotti si ha: (1+α) 1 + nα + + nα > 1+(n+1)α

2

Se dal secondo membro si esclude nα che è una quantità positiva, la disuguaglianza risulta

n+1

rafforzata, quindi si ottiene che anche (1+α) 1+(n+1)α è vera.

= ∈ = + ∞

x x

Lim e sup{

e : x R

}

Esempio: → + ∞

x

all’eguaglianza e = e si aggiunge e si sottrae 1 a secondo membro: e = 1+(e–1)

n n

elevando a n tutti e due i membri si ha: e = [1+(e-1)]

n

per la disuguaglianza di Bernulli risulta: [1+(e-1)] 1+n(e-1) > 1+n

Dove risulta che 1+n(e-1) > 1+n

Quindi si ottiene: e > 1+n

Si conveniamo che il sup di un insieme non limitato superiormente (N) è +∞

52

Altre regole per il calcolo dei limiti

=

Lim sen x sen x 0

x x 0 − =

Lim sen x sen x 0

Per dimostrare che è vero si deve far vedere che: 0

x x 0

Dalle formule di prostaferesi:

− +

x x x x

⋅ ⋅

0 0

2 sen cos

senx – senx =

0 2 2

si ricorda che:

sen(α+β) = senα∙cosβ + senβ∙cosα formule di

sen(α–β) = senα∙cosβ – senβ∙cosα addizione

α+β

ponendo = p e

α–β = q +

 

p q

α =

 

sommando membro a membro si ha: 2α = p + q 2

 

 

p q

β =

 

sottraendo membro a membro si ha: 2β = p – q 2

 

sottraendo membro a membro le due formule di addizione si ha:

− +

p q p q

− = ⋅ ⋅

⇒ sen p sen q 2 sen cos

sen(α+β) – sen(α–β) = 2 senβ cosα 2 2

− +

x x x x

⋅ ⋅

0 0

2 sen cos

senx – senx =

0 2 2 − +

x x x x

⋅ ⋅

0 0

2 sen cos

considerato in valore assoluto: |senx – senx | =

0 2 2

+

x x 0 ≤1

cos → è una funzione limitata che è compresa fra -1 e 1; è sempre

2 −

x x

⋅ 0

2 sen

quindi: |senx – senx |

0 2

supponendo |senx| |x| si ha:

− −

x x x x

⋅ ⋅

0 0

2 sen 2

≤ ≤

|senx – senx |

0 2 2 −

x x

⋅ 0

2 sen

≤ ≤

semplificando: |senx – senx | |x – x |

0 0

2

essendo il valore assoluto un numero non negativo si ha:

≤ ≤

0 |senx – senx | |x – x |

0 0

per il teorema del confronto si ha che senx – senx = 0

0

53

Esempio di limite che non esiste

+ ≠

Lim ( x 2

) 4 si vuole provare che non è corretto:

x 1 + =

Lim ( x 2

) 4

Si suppone per assurdo quindi →

x 1

∀ε>0 ∃I(1) ∀x∈I(1)∩A-{1}⇒|f(x) ε

Quindi deve valere che : – 4| <

ε ⇒

|x+2-4| < 2-ε < x < 2+ε

ε<1

se 2-ε>1 cioè le soluzioni trovate non costituiscono un intorno di 1 quindi il limite non è 4

Esempio = =

Lim sen 3 x sen 0 0

x 0 =

Lim cos x cos x si dimostra come il precedente

0

x x 0 − =

Lim cos x cos x 0

Quindi si deve far vedere che il 0

x x 0

e lo si fa ricorrendo alle formule di prostaferesi del coseno che si ricavano sempre dalle formule di

addizione e di sottrazione del seno e del coseno

− +

x x x x

− = − ⋅ ⋅

0 0

cos x cos x 2 sen sen

0 2 2 Limiti notevoli

sen x =

Lim 1 :

x

x 0 π π sen x

− < <

x

si suppone che tgx =

2 2 cos x

≤ ≤

Poiché vale la disuguaglianza |senx| |x| |tgx| tg x sen x 1

= ⋅ =

sen x

Dividendo tutto per |senx| si ha: sen x cos x cos x

x 1

≤ ≤

1 sen x cos x

si possono levare i valori assoluti perché nei due quadranti in cui si considerava

π π

 

 

,

la funzione il coseno è sempre positivo e il seno e l’angolo hanno sempre lo stesso segno

2 2

 

x 1

≤ ≤

1

quindi si ha: sen x cos x sen x

≤ ≤

cos x 1

considerando gli inversi si ha: x

=

Lim cos x 1 e funzione costante è la costante stessa = 1 si ha:

x 0 sen x sen x

≤ ≤ =

1 1 1

per il teorema del confronto si ha che

x x

54

tg x = 1 :

x tg x sen x 1

= ⋅

lo si può vedere come x x cos x

tg x sen x 1 tg x

= = ⋅ =

Lim Lim ( 1

) Lim ( 1

) = 1

passando al limite: quindi

x x cos

x x

→ → →

x 0 x 0 x 0

1 cos x 1

=

Lim :

2 2

x

x 0 −

1 cos x 0

=

Lim 2 0

x

x 0 2 2 2 2

sen x + cos x = 1 → 1 – cos x = sen x

si moltiplica numeratore e denominatore per 1+cosx:

− − + − 2 2

1 cos x (

1 cos x )(

1 cos x ) 1 cos x sen x 1

= = = ⋅ +

+ +

2 2 2 2 1 cos x

x x (

1 cos x ) x (

1 cos x ) x

2

sen x 1 1 cos x 1

⋅ =

Lim Lim

+

2 2

1 cos x

x 2

x

→ →

x 0 x 0

1 1

2

1 cos x =

Lim 0 :

x

x 0 − − −

1 cos x 1 cos x 1 cos x

0

= ⋅ =

Lim Lim x Lim 0

= 2

x 0 x

x

→ → →

x 0 x 0 x 0

0

1

2 f (x )

Se f ammette come limite l con f(x) >0 e l >0 allora ammette come limite l

55

Limiti Notevoli

=

Lim log x log x 0

x x 0 − =

Lim log x log x 0

0

x x 0 x

− =

log x log x log

per una proprietà dei logaritmi si ha: 0 x 0

x

Lim log x log x =

Lim log 0

e quindi =

0

→ x

x x →

x x

0 0 0

=

Lim log x 0

È verificata ricordando che →

x 1

sen x sen x =

0

Lim cos x 0

x x

x x 0 0

dalle formule di prostaferesi

− +

x x x x

⋅ ⋅

0 0

2 sen cos

senx – senx =

0 2 2

sostituendo al numeratore e dividendo e moltiplicando il denominatore per 2 si ha:

x x

⋅ 0

2 sen +

x x

2 ⋅ 0

cos lasciando invariata la natura della funzione

x x 2

⋅ 0

2 2

il prodotto del limite è uguale al prodotto dei limiti

x x

⋅ 0

2 sen +

x x

2 ⋅ = ⋅ =

0

Lim Lim cos 1 cos x cos x

− 0 0

x x 2

→ →

x x x x

0 0

0

2 2 Vale cosx perché

0

quando x→x si ha

sen x 0

=

Lim 1

Equivale a: +

x x 2 x

=

x 0 0 0

cos cos

x x 0 2 2

quando x→x la differenza

0

x–x →0 quindi l’argomento

0

del seno tende a 0

rientrando nel caso del

limite notevole f (x )

Si è detto che se f(x) ammette come limite l e se f(x)>0 e l>0 si ha che tende a l

=

Lim log f ( x ) log l

Analogamente vale che con f(x)>0 e l>0

x x 0 56

f ( x )

Lim a ± ∞

x =

0

x x 0 = + ∞

f ( x )

Lim a

se a>1 e f(x)→ +∞ →

x x 0 =

f ( x )

Lim a 0

se 0 < a < 1 e f(x) → +∞ →

x x 0

=

f ( x )

Lim a 0

se a>1 e f(x)→ –∞ →

x x

0 = + ∞

f ( x )

Lim a

se 0 < a < 1 e f(x) → –∞ →

x x

0 g(x) m

In generale se f(x)→l e se g(x)→m si ha che [f(x)] →l

1

+ =

Lim ( 1 x ) e

x

x 0 1 =

Lim f ( x ) 0

In generale se

+ =

f ( x )

Lim [

1 f ( x )] e →

x x 0

x x

0

x

 

1

+ =

 

Lim 1 e

x

 

→ ± ∞

x f ( x )

 

1 = ± ∞

Lim f ( x )

+ =

In generale se

Lim 1 e

  →

x x

f ( x )

→ 0

x x

0

Es: x

 

1

 +  = poiché è del caso appena trattato

Lim 1 e

 

 

x

→ + ∞

x 1

1 → + =

+ = f ( x )

sen x Lim [

1 f ( x )] e

Lim (

1 sen x ) e →

→ x x

x 0 0 1

1 → + =

+ = f ( x )

tg x Lim [

1 f ( x )] e

Lim (

1 tg x ) e →

→ x x

x 0 0

1 lo si può ricondurre ad un limite notevole: aggiungendo e sottraendo la stessa

cos x 1

Lim cos x

x 0

quantità la funzione rimane equilibrata; 1

1

aggiungendo e sottraendo 1 si ha: è del tipo + =

+ − = f ( x )

cos x 1 Lim [

1 f ( x )] e

Lim [

1 (cos x 1

)] e →

→ x x

x 0 0

x

a 1 = (forma indeterminata)

Lim log a

x

x 0 x x

si pone a -1= t → quando x tende a 0 a -1 tende a 0 quindi per poter avere questa uguaglianza anche

t = 0

x x

da cui si ricava a → a = 1 + t x

considerando l’uguaglianza con i logaritmi si ha: loga = log(1+t)

per una proprietà dei logaritmi si ha: x⋅loga = log(1+t)

57

+

log (

1 t )

=

x

da cui si può ricavare la x: log a −

x

a 1 t

= +

log (

1 t )

riconsiderando la funzione iniziale e attuando le opportune sostituzioni si ha: x log a

x t log a

a 1 =

portando loga a numeratore si ha: +

x log (

1 t )

x log a

a 1 =

portando t a denominatore si ha: 1

x + ⋅

[log ( 1 t )] t

x log a

a 1 =

e per una proprietà dei logaritmi si ha: 1

x +

[log (

1 t )] t

log a

x

a 1 Lim

calcolare equivale a calcolare

Lim 1

t 0

x +

→ [log (

1 t )]

x 0 t

log a costante

Lim 1

t 0 +

[log (

1 t )] t Se f(x)→l, logf(x)→logl 1

1

( ) poiché è della forma

+ →

1 t e + →

(

1 x ) e

x

t 1

quindi + → =

log (

1 t ) log e 1

t

log a =

Lim log a

Quindi: 1

t 0 +

[log (

1 t )] t −

x

a 1 =

E di conseguenza anche Lim log a

x

x 0 −

f ( x )

a 1 =

Lim f ( x ) 0

=

Lim log a

Generalizzando: con →

x 0

f ( x )

x x

0

Esercizio:

+ +

2 3 2 3

x x x x

e

Lim Lim

x x

+ −

→ →

x 0 x 0 58

+

2 3

x x → x tende a zero assumendo valori positivi quindi si può portare tutto sotto il segno

Lim x

+

x 0 +

2 3

x x

di radice: ,

Lim 2

x

+

x 0 +

2

x (

1 x )

2

mettendo x in evidenza al numeratore si ha: Lim 2

x

+

x 0

+ =

Lim (

1 x ) 1

2

dove semplificando per x si ha: +

x 0

quindi il limite destro è = 1

+

2 3

x x → x tende a zero assumendo valori negativi, quindi la funzione non si può portare

Lim x

x 0

sotto il segno di radice; ma il suo opposto si:

x = –(–x) se x<0 il suo opposto –x>0

+

2 3

x x

− = −

Lim 1

quindi si ha: − 2

( x )

+

x 0

quindi il limite sinistro è = –1

Si deduce che il limite non esiste.

Esercizio:

+ −

1 x 2 0

= razionalizzando:

Lim −

2 0

x 9

x 3 + − + + + − = −

( 1 x 2

)( 1 x 2 ) (

1 x 4 ) x 3 1 1

= = =

Lim − + + + − + + + + +

2 24

( x 9 )( 1 x 2 ) ( x 3

)( x 3

)( 1 x 2 ) ( x 3

)( 1 x 2 )

x 3 3+3 1+3 4

Esercizio: log x

 

1

 

+ =

Lim 1 e

 

log x

→ + ∞  

x 1 1

[ ]

( )

= + − =

Lim x 1 x 1 e

x 1 −

x 1

x 1 −

x

2 1 =

Lim log 2

x

x 0 tg 3 x

Lim ricordando che:

sen 2 x

x 0 tg x sen x 1

sen x tg x = ⋅

= =

Lim 1 Lim 1

; ; e che x x cos x

x x

→ →

x 0 x 0

e portando le giuste modifiche si ha:

tg 3 x tg 3 x

3 2 x 3

⋅ ⋅ =

Lim Lim

=

sen 2 x 2 3 x sen x 2

→ →

x 0 x 0 1 1 59

x

+

 

x 1

+

  si opera sull’esponente:

Lim 1 2

 

x

→ + ∞

x +

x 1

 

2

x x

+

 

x 1

 

+

x 1 g(x)

equivale a [f(x)]

+

 

Lim 1

 

2

 

x

→ + ∞

x  

 

2

x

+

 

x 1 +

x 1

f(x) = è un limite notevole: f(x)→e

+

 

1 2

 

x

g(x) = è una funzione fatta dal rapporto fra due polinomi dello stesso grado per cui si

+

x 1 =

Lim 1

ha: x

→ + ∞

x +

x 1

 

2

x x

+

 

x 1

 

+

x 1

+ = =

1

 

Lim 1 e e

 

2

 

x

→ + ∞

x  

  60

Limite notevole

+ −

k

[ 1 f ( x )] 1 =

Lim k

f ( x )

x x 0 ( ) k

+ −

1 x 1 0

=

Lim x 0

x 0 k

si pone (1+x) -1= y k

→ quando x→0 il primo membro dell’uguaglianza (1+x) -1 tende a 0, quindi perché l’uguaglianza

sia ben posta anche y→0

k

(1+x) = 1+y k

considerando i logaritmi: log(1+x) = log(1+y)

per una proprietà dei logaritmi: k⋅log(1+x) = log(1+y)

+

log (

1 y )

=

k +

log (

1 x ) y

sostituendo la funzione di partenza sarà = x

y y k

= ⋅

moltiplicando e sottraendo k si ha: x x k

y y 1 +

= ⋅ ⋅ log (

1 x )

k y

= ⋅ ⋅

+ k

log (

1 y )

x x

sostituendo solo il k a denominatore si ha: +

x log (

1 y )

+

log (

1 x )

1

portando y dal numeratore al denominatore diventa y

1 ⋅ +

log (

1 x )

x

= ⋅

k

quindi si avrebbe che: 1 ⋅ +

log (

1 y )

y 1

+

log (

1 x ) x e

= ⋅

k

per una proprietà dei logaritmi si ha: 1

+ y

log (

1 y ) e

costante loge=1

1

+

log (

1 x ) x

Lim k

passando al limite: 1

x 0 + y

log (

1 y ) 61

1

+

log (

1 x ) x

⋅ =

Lim k k

Quindi: 1

x 0 + y

log (

1 y )

+ −

k

[

1 f ( x )] 1 =

Lim f ( x ) 0

=

Lim k

Generalizzando: con →

x x

f ( x )

x x 0

0

Esercizio: + −

3

(

1 sen x ) 1 sen x

+ −

3

(

1 sen x ) 1 = ⋅ =

Lim 3

Lim sen x x

x x

x

x x 0

0 3 1

Successioni:

sono funzioni del tipo f: N→R e f(x) = a(n)

si indicano con a(n) e gli elementi sono: a ,a ,…a …

1 2 n

Sottosuccessione di una successione data :

Codominio = insieme che la funzione assume = {a }

n

(a ) successione di partenza

n

Si considera (n ) di numeri naturali crescenti

k

(a ) = successione i cui termini sono quelli di a i cui posti sono quelli di posto n : si chiama

nk n k

sottosuccessione.

 

1

  2

Es: a = n = (k )

n k

 

n 2

n = 1, n = 4, n = 9, ..., n = k , ..., → elementi di (n )

1 2 3 k k

1 1 1

a = 1, a = , a = a = → elementi di (a )

n1 n2 n3 nk nk

2

4 9 k

Le successioni sono funzioni, quindi si può considerare il limite

Bisogna ricordare però che:

il dominio delle successioni è N; ed N è un insieme privo di punti di accumulazione e senza

estremo superiore per questo si può considerare soltanto il limite per x→+∞

Si possono definire tre casi:

=

Lim a a

1. n

→ + ∞

x = + ∞

Lim a

2. n

→ + ∞

x = − ∞

Lim a

3. n

→ + ∞

x 62

=

Lim a a

1. Per definizione significa che:

n

→ + ∞

x

∀ε>0 ∃ ∀n ≥ ⇒

n : n |a – a| <ε cioè a–ε < a < a+ε

ε ε n n

Esercizi:

+

 

n 1

  = successione di partenza

 

n +

n 1 =

Lim 1 si verifica osservando che:

n

→ + ∞

x +

n 1 − 1

∀ε>0 ∃ ∀n ≥ ⇒

n : n <ε cioè a–ε < a < a+ε

ε ε n

n + + −

n 1 n 1 n

− 1

riducendo allo stesso denominatore: =

n n

1 1

ε

< >

⇒ n

semplificando si ha: ε

n

Allora n lo si deve prendere in modo tale da essere: (ricordando che n è un numero intero

ε ε

1 1

naturale): n > perché così vale che n n >

ε ε

ε ε

= + ∞

Lim a

2. Per definizione significa che:

n

→ + ∞

x

∀k>0 ∃ ∀n ≥ ⇒

n : n a > k

ε k n

Esempio:

= successione di partenza

n = + ∞

Lim n si verifica vedendo che:

→ + ∞

n

∀k>0 ∃ ∀n ≥ ⇒

n : n > k

n

ε k

⇒ 2

ma > k n > k

n ≥

2 2

quindi si deve scegliere un n > k in modo da avere n n > k

k k

= − ∞

Lim a

3. Per definizione significa che:

n

→ + ∞

x

∀k>0 ∃ ∀n ≥ ⇒

n : n a < –k

ε k n

Esempio:

 

− 2

1 n

  = successione di partenza

 

n

 

− 2

1 n = − ∞ si verifica vedendo che:

Lim n

→ + ∞

x 63

− 2

1 n

∀k>0 ∃ ∀n ≥ ⇒

n : n < –k

ε k n − 1

2

1 n − ≤

n

si osserva che si può scrivere = 1–n → 1–n < –k

n

n

− 2

1 n

Se 1–n < –k anche < –k (perché è più piccolo di 1–n)

n

1–n < –k quando n > 1+k ≥

Quindi si deve prendere n > 1+k in modo da avere n n > 1+k

k k

Esempio:

+

n 1 ≠

Lim 2

n

→ + ∞

x

se fosse = 2 dovrebbe valere che

+

n 1 − 2

∀ε>0 ∃ ∀n ≥ ⇒

n : n <ε

ε ε n + + − − −

n 1 n 1 2 n n 1 n 1

− 1

riducendo allo stesso denominatore: = = = <ε

n n n n

1 1 1

ε ε

− < − < <

ε ⇒

1 1 n

e quindi si ha: se < 1 si ha che: ε

n n 1

Non è verificata, perché la disuguaglianza è verificata per tutti gli n più piccoli di un certo valore e

non per tutti gli n più grandi (da un certo punto in poi) di un certo valore come richiede la

definizione di limite. Successione regolare

È una successione che ammette limite

• se x = a si dice che converge ad a

• se x = +∞ si dice che diverge positivamente

• se x = –∞ si dice che diverge negativamente

Se una successione ammette limite ogni sua sottosuccessione è regolare e il limite coincide con

quello della successione di partenza

Se (a ) è convergente ad a (a ) è limitata [se una successione è convergente vuol dire che è

n n

limitata] =

Lim a a

(a ) converge ad a significa che quindi significa che:

n

n → + ∞

x

∀ε>0 ∃ ∀n ≥ ⇒

n : n |a – a| <ε cioè a–ε < a < a+ε

ε ε n n ∃ ≤ ≤

(a ) è limitata significa che il suo codominio è limitata cioè h,k : h a k

n n

64

da un certo punto n in poi i

ε

termini di a cadono in

n

questo intervallo

a–ε a+ε

se, però, esistono altri termini che non ricadono nell’intervallo, ne stanno fuori quindi e

o cadono tutti prima di a–ε

o cadono tutti dopo a+ε

o cadono un po’ prima di a–ε e un po’ dopo a+ε

se i termini cadono

prima di a–ε, si prendere

h come il più piccolo di

questi termini e k = a+ε

a–ε

h k = a+ε se i termini cadono tutti

dopo a+ε, si prende h = a–ε

e k come il più grande di

questi termini

a+ε k

h = a–ε se i termini cadono agli esterni di a–ε un po’

qua e un po’ là si assume h come il più piccolo

di quelli a sinistra di a–ε e k come il più grande

di quelli che stanno a destra di a+ε

a–ε a+ε

h k

Se si ha una successione limitata non è detto che sia convergente:

Es: (a ) = 1,0,1,0,1,0…..

n

Di questa successione ci sono due sottosuccessioni che ammettono limiti diversi

1,1,1… e 0,0,0,…

Quindi cade il presupposto di base. 65

Tutto quello che vale per le funzioni (dalle successioni ai limiti notevoli) vale anche per le

successioni.

Esempio: n

 

1

+ =

  poiché in generale accade che:

Lim 1 e

 

n

→ + ∞

x a

  n

1 = ± ∞

Lim a

 

+ =

Lim 1 e quando

  n

→ + ∞

x

a

→ + ∞  

x n 1

( ) =

+ = Lim a 0

Lim 1 a e quando

a n

→ + ∞

n

n x

→ + ∞

x +

2

n 1 =

Lim 1

+ +

2

n n 5

→ + ∞

x +

1 n =

Lim 0

+ +

3

n 5

n 4

→ + ∞

x + +

3

n 2 n 3 = + ∞

Lim +

2

n 1

→ + ∞

x

rapporti di polinomi in n valgono le stesse regole dei limiti di funzioni

sen a =

Lim a 0

=

n

Lim 1 se n

→ + ∞

a x

→ + ∞

x n −

a

a 1

n =

Lim a 0

=

Lim 1 se n

→ + ∞

x

a

→ + ∞

x n

⋅ −

n

Lim n 3 1 = +∞⋅0 → forma indeterminata

→ + ∞

x 1

− −

n 3 1 3 1

n

⋅ − = =

n

n 3 1 1 1

n n

1 −

3 1

n =

Lim log 3

1

→ + ∞

x n

Esercizio

x 1 0

=

Lim −

x 1 0

+

x 1 +

Dal momento che il limite è x→1 quindi x assume valori positivi, quindi x-1 >0 perciò si può

portare tutto sottoradice:

+

x 1 1

Lim = +∞

= Lim

( ) 2

− −

+ x 1 x 1

→ +

x 1 →

x 1 66

Esercizio:

( ) 2

+ −

1 x 1 0

=

Lim sen x 0

x 0 ( ) ( )

2 2

+ − + −

1 x 1 1 x 1 x

= ⋅

si moltiplica e divide per x: sen x x sen x

( ) 2

+ −

1 x 1 x

⋅ = ⋅ =

Lim 2 1 2

x sen x

x 0

Esercizio

 

− −

− −

x 1 x 1 − −

3 1 2 1 −

x 1 x 1

3 1 2 3

Lim − = − =

= Lim Lim log 3 log 2 log

 

x 1 1 − −

→   x 1 x 1 2

x 1 → →

x 1 x 0 67

Criterio di Stolz-Cesario

Date due successioni (a ) e (b ) con (b ) strettamente monotona

n n n

= = = ± ∞

Lim a Lim b 0 Lim b

se oppure

n n n

→ + ∞ → + ∞ → + ∞

n n n

 

a a

 

n n 1

e se è regolare

 

b b

 

n n 1

     

a a a a

     

n n n n 1

Lim Lim

allora anche è regolare e =

     

b b b b

→ + ∞ → + ∞

     

n n −

n n n n 1

(è utile per la risoluzione di limiti di successioni che danno come risultato forme indeterminate del

0

tipo o ∞

0

Esempio:

1 1 1

+ + + + +

1   si sa che la successione a denominatore tende a +∞ ed è monotona

2 3 n

Lim +

log ( n 1

)

→ + ∞

n  

a a

 

n n 1

per calcolarlo si ricorre al criterio e si considera la successione  

b b

 

n n 1

   

1 1 1 1 1 1 1

+ + + + + − + + + +

   

1 1

 

− −

   

2 3 n 1 n 2 3 n 1

+ −

log ( n 1

) log n

1

al numeratore la differenza viene n +

 

n 1

 

log

al denominatore la differenza viene  

n

1 1

n n

=

quindi si ha: +

   

n 1 1

+

   

log log 1

n n

    1

1  

1

portando a denominatore si ha: ⋅ +

 

n log 1

n  

n

1 n

 

per una proprietà dei logaritmi: 1

+

 

log 1 n

 

1

Lim n

→ + ∞  

passando al limite: 1

n +

 

log 1 n

 

n

 

1

+ =

 

al limite Lim 1 e

 

n

→ + ∞

n 68

1 1 1

= = =

Lim 1

n log e 1

→ + ∞  

perciò al denominatore si ha: 1

n +

 

log 1 n

 

quindi la successione di partenza ammette come limite 1

Conseguenze del teorema di Stolz-Cesaro

+ + + +

a a a a

 −

1 2 n 1 n

1° - Se (a ) successione regolare, anche la successione è regolare e

n n

+ + + +

a a a a

 =

1 2 n 1 n

Lim Lim a n

n

→ + ∞ → + ∞

n n

La successione a denominatore è crescente e ammette come limite +∞

Si verifica applicando il criterio

( ) ( )

+ + + + − + + +

a a a a a a a

 

− −

1 2 n 1 n 1 2 n 1

Lim − −

n ( n 1

)

→ + ∞

n a Lim a

n

Lim

operando la differenza: = n

→ + ∞

n

1

→ + ∞

n

2° - Se (a ) è una successione regolare di numeri positivi (cioè a >0) anche la successione

n n

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

Lim a a a a Lim a

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 

n

a a a a è regolare e

n −

1 2 n 1 n n

1 2 n 1 n → + ∞ → + ∞

n n 1

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

log a a a a

Si considera la successione =

n ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

log ( a a a a ) n

1 2 n 1 n −

1 2 n 1 n

1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

log a a a a

Per le proprietà dei logaritmi si ha:  −

1 2 n 1 n

n ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

1 log a a a a

 −

1 2 n 1 n

Portando a denominatore si ha:

n n

+ + + +

log a log a log a log a

 −

1 2 n 1 n

Per una proprietà dei logaritmi si ha: n

Adesso si può applicare il criterio della prima conseguenza del criterio:

+ + + +

log a log a log a log a

 =

1 2 n 1 n

Lim Lim log a n

n

→ + ∞ → + ∞

n n

Se il logaritmo della successione di partenza ammette come limite il loga , la successione in se

n

ammette come limite a (→ questa è una proprietà dei logaritmi)

n

3° - Se (a ) è una successione di numeri positivi (a >0)

n n

( )

  a

a

  = n

n Lim a Lim

a n

Se è regolare anche è regolare e

n

  n

n a

a → + ∞ → + ∞

  n n −

− n 1

n 1 a a

a

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

3 n

2

a a  → semplificando numeratori con denominatori l’uguaglianza è

n n

n 1 a a a −

1 2 n 1

verificata a a a

a

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

3 n n

2

Lim a Lim

Per il criterio precedente si ha: n 1 a a a a

→ +∞ → + ∞

n n

− −

1 2 n 1 n 1

69

Esercizi:

n

Lim n → n è una successione regolare a valori positivi, quindi si può applicare l’ultimo criterio:

→ + ∞

n n =

Lim 1

= → due polinomi in n dello stesso grado

n 1

→ + ∞

n 1

( ) −

2 1

n

− = =

n

Lim n 2 1 Lim log 2

1

→ + ∞ → + ∞

n x n

Limite notevole

 

2 1 1

 

Lim n e e

n n → portando n a denominatore e mettendo in evidenza a numeratore si ha:

  e n

→ + ∞

n  

 

1 1

 

e e 1

n n

 

  1 1

: → in per n→+∞ l’esponente tende a 0, quindi →1

Lim e e

n n

1

→ + ∞

n n  

1

 

e 1

n

 

  → limite notevole = loge = 1

Lim 1

→ + ∞

n n

 

1 1

 

e e 1

n n

 

  =

Lim 1

1

→ + ∞

n n ( )( ) − +

n 1 n

+ − + +

n 1 n n 1 n

+ −

Lim n 1 n Lim

Lim

→ razionalizzando: = =

+ +

→ + ∞ n 1 n

+ +

n → + ∞

n

n 1 n

→ + ∞

n

1 1 =

Lim Lim 0

→ il denominatore tende a +∞: + ∞

+ +

n 1 n

→ + ∞

n → + ∞

n

2

n n −

2

n n

n 2

Lim n n Lim

→ per il criterio si ha: = =

Lim

− − −

2

( n 1

) ( n 1

) − + − −

2

→ + ∞ → + ∞

n n 2 n 1 n 1

n → + ∞

n

2

n n = → polinomio in n dello stesso grado

Lim 1

− +

2

n 3

n 2

→ + ∞

n 70


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DETTAGLI
Esame: Analisi 1
Corso di laurea: Corso di laurea in matematica
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Exxodus di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi 1 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Scienze matematiche Prof.

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