Appunti di analisi 1

Analisi I 2/10/18

Insiemi numerici

Operazioni insiemistiche

X insieme universo A, B ? X

Intersezione: A n B = { x ? A v x ? B }

Unione: A U B = { x: x ? A n x ? B }

Differenza: A \ B = { x: x ? A v x ? B }

Prodotto cartesiano: si può definire per A, B non necessariamente in un universo comune.

A x B = { (a,b) | a ? A, b ? B }

Coppie ordinate

Proprietà di Q e R

Proprietà algebriche di somma e prodotto

1. P. commutativa
2. P. associativa
3. Esistono gli elementi neutri
4. Esistono gli elementi opposti
5. P. distributiva

Proprietà di ordinamento

In R e Q è definita una relazione d'ordine "?". È sempre possibile confrontare due elementi (ordine totale).

Rappresentazione geometrica

sqrt(2) ? Q

Q è indisgiunto, non è in corrispondenza biunivoca con la retta reale.

Assioma di continuità o di completezza in R

Sia X = Q o X = R. Sia E sub X

E è limitato superiormente <=> 3M c X| x ? M, ?x ? E

E ammette massimo se 3M ? E

Il maggiorante più piccolo è detto estremo superiore di E. [supE]

Analisi I 2/10/18

Insiemi numerici

Operazioni insiemistiche

X insieme universo A, B < X

Intersezione: A n B = { x e A v x e B }

Unione: A u B = { x : x e A n x e B }

Differenza: A \ B = { x : x e A v x not e B }

Prodotto cartesiano: si può definire per A, B non necessariamente in un universo comune.

A x B = { (a,b) | a e A, b e B }

Coppia ordinata

Proprietà di Q e R

Proprietà algebriche di somma e prodotto

1. P. commutativa
2. P. associativa
3. Esistono gli elementi neutri
4. Esistono gli elementi opposti
5. P. distributiva

Proprietà di ordinamento

In R e Q è definita una relazione d'ordine " < ". È sempre possibile confrontare due elementi (ordine totale).

Rappresentazione geometrica

sqrt(2) not in Q

Q è irrazionale, non è in corrispondenza biunivoca con la retta euclidea.

Assioma di continuità o di completezza in R

Sia X = Q o X = R. Sia E subset X

E è limitato superiormente <=> esiste M e X tale che x <= M, forall x e E

E ammette massimo se esiste M e E

Il maggiorante più piccolo è detto estremo superiore di E. [sup E]

Analisi I 3/10/18

E è limitato inferiormente <=> Em e X |mX, VxE

E ammette minimo se emE

Estremo inferiore [inf E]

Osservazioni

1. Se E ammette massimo, è unico e coincide con l'estremo superiore.
2. Si applica anche con il minimo.

Definizione: assioma di continuità o di completezza

Un insieme X soddisfa la proprietà dell'estremo superiore se ogni insieme limitato superiormente ammette estremo superiore in X. (Q non soddisfa questa proprietà)

Definizione assiomatica di R

R è un insieme con + e . che soddisfa le proprietà algebriche e di ordinamento già viste e che soddisfa la proprietà dell'estremo superiore.

Rappresentazione geometrica di R

Si dimostra che la proprietà dell'estremo superiore è equivalente a dire che "ogni sezione di R ammette un unico elemento separatore".

Una partizione(suddivisione) di R costituita da due sottinsiemi A e B | A!=0, B!=0

A intersezione B = 0 (disgiunti)

A union B = R

VxEA, VyEB -> x<y

Es. ]-oo,a] e ]a,+oo[

Perciò R si rappresenta con la retta euclidea.

Radici n-esime aritmetiche

Conseguenza dell'assioma di continuità

Teorema:

Sia a in R, Va>0, V n e N, n > 3 0s -> U n unica b>0 e R | bⁿ = a.

b si chiama radice n-esima aritmetica di a e si indica con n-esima radice di a.

b₀, b₀, b₁, b₀, b₀, b₂, ... Es. Max 2 {0, 1, 1, 4, 1, 4?} = E

Analisi 1 4/10/18

Potenza con esponente razionale/reale

Sia a > 0, sia q appartenente a Q. Possiamo rappresentare q come q = m/n, m Z, n N \ {0}

a^q = a^m/n = (a^m)^1/n = (a^1/n)^m

x E R. Definiamo a^x. Sapendo che x = x₀, x₁, x₂, x₃, ... a infinite cifre non periodiche.

Consideriamo x₀, x₀, x₁, x₀, x₂, x₀, x₁, x₂, x₃, ... creando numeri razionali e le potenze

a^x₀, a^x₀x₁, a^x₀x₁x₂, a^{x₀x₁x₂x₃}, ... L'insieme formato da queste potenze è limitato superiormente. Definiamo l'estremo superiore a^x.

Se a < 1 definiamo a^x = (a^-1)^-x che si riconduce al caso precedente.

Con questa costruzione sono soddisfatte le proprietà delle potenze:

1. a⁰ = 1 per a > 0
2. a^x+y = a^xa^y per a > 0, per x,y E R
3. (a b)^x = a^xb^x per a,b > 0, per x E R
4. (a^x)^y = a^xy per a > 0, per x,y E R
5. a^x > 0 per a > 0, per x E R

Valore assolu