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Analisi I
24/09/18
Insiemi numerici
- Operazioni insiemistiche
- intersezione: \(A \cap B = \{x \mid x \in A \land x \in B\}\)
- unione: \(A \cup B = \{x \mid x \in A \lor x \in B\}\)
- differenza: \(A - B = \{x \mid x \in A \land x \notin B\}\)
- prodotto cartesiano: \(A \times B = \{(a, b) \mid a \in A, b \in B\}\)
Proprietà di ℚ e ℝ
- Proprietà algebriche di somma e prodotto
- P. commutativa
- P. associativa
- Esistono gli elementi neutri
- Esistono gli elementi opposti
- P. distributiva
- Proprietà di ordinamento
- In ℝ e ℚ è definita una relazione d'ordine "≤". È sempre possibile confrontare due elementi (ordine totale).
Rappresentazione geometrica
\(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\) è indecifrato non è in corrispondenza biunivoca con la retta euclidea.
Assioma di continuità o di completezza in ℝ
- sì, X ≠ ∅, X ⊆ ℝ. Sia E ⊂ X, E è limitato superiormente se \(\exists M \mid \forall x \in E, x \leq M\)
- E ammette massimo se \(\sup E\)
- Il maggiorante più piccolo è detto estremo superiore di E. \( \sup E \)
Analisi 1 3/10/18
E è limitato inferiormente se → ∃ m∈X | m≤x, ∀x∈E
E ammette minimo se ∃!m∈E
Estremo inferiore l. inf E
Osservazioni:
- Se E ammette massimo, è unico e coincide con l'estremo superiore.
- Si applica anche con il minimo.
Definizioni:
Un insieme X soddisfa la proprietà dell'estremo superiore se ogni insieme non vuoto superiormente ammette estremo superiore in X (ℝ non soddisfa questa proprietà)
Definizione assiomatica di ℝ:
ℝ è un insieme con +, · che soddisfano le proprietà algebraiche e ≡ un ordinamento ≤ già visto e che soddisfa la proprietà dell'estremo superiore.
Rappresentazione geometrica di ℝ:
Si intuisce che l'assenza dell'estremo superiore è determinata fino che ogni sezione di ℝ ammette un unico elemento separatore.
Partizione:
- A = {x∈ℝ | x<a}
- B = {x∈ℝ | x≥a}
- A ∪ B ≠ ∅, A ∩ B = ∅
- A ∈ B (digrammi):
- a ∈ ℝ \ B, x ∈ A ∪ B
- A strett. B ↔ ∀a ∈ A, ∃ b ∈ B x < x b
Es: D0, D3 [3, √2]贸+1
Perciò ℝ si rappresenta con la retta euclidea.
Radici n-esime aritmetiche
Conseguenza dell'assioma di continuità:
Teorema:
Sia a∈ℝ, ∀k∈ℕ ∃!n≥1 → ∃!1 a
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