Altre derivate

Altre derivate

Funzione potenza a esponente intero

d (xⁿ) / dx = n x^n-1

Si dimostra per induzione con passo base n=1. Da ciò si ricava anche la derivata di polinomi.

Derivata del logaritmo

d (log_ax) / dx

Si dimostra con il rapporto incrementale e introducendo una nuova variabile tale che si ottenga il limite. Con a=e si avrà solo 1/x.

Si osserva che la derivata del logaritmo del modulo è sempre uguale a 1/x. Si dimostra con la derivata di funzione composta oppure scomponendo in due parti il grafico. La formula è uguale per la derivata destra e sinistra, ma dipendendo dal segno di x, le tangenti saranno opposte.

d (e^x) / dx = e^x

Si può dimostrare come derivata di funzione inversa oppure con rapporto incrementale. Qualora e=a si avrebbe:

x^{x log a}=e^a

E quindi si dimostrerebbe come derivata di funzione composta e si avrebbe:

d (x^x) / dx = a^a log a

Derivata di potenza a esponente reale si dimostra allo stesso modo.

Funzioni trigonometriche

d (sin x) / dx

Si dimostra con rapporto incrementale. Stessa cosa il coseno.