Riassunto algebra

Matrici

A_m×n = Aij (i righe, j colonne) | a₁,₁ a₁,₂ ... a₁,m || ... ... ... || aₘ,₁ aₘ,₂ ... aₘ,ₘ |

Operazioni tra matrici

Somma: [A+B]_i,j = [A]_i,j + [B]_i,j

Proprietà:

• Commutativa
• Associativa
• Esistenza elemento neutro opposto A + 0_m,m = A - A (matrice opposta)

Prodotto per scalare: [αA]_i,j = α[A]_i,j

Proprietà:

• α(A+B) = αA + αB
• (α + β)A = αA + βA
• α(βA) = (αβ)A
• -1A = A

Prodotto tra matrici: A ∈ M_m,n, B ∈ M_n,p (devono essere uguali).

[A·B]_i,j = [⌊A⌋]_i,k [⌊B⌋]_k,j

Proprietà:

Non è sempre commutativo!

Trasposizione

A^T - Si ottiene scambiando le righe con le colonne.

Proprietà:

• (A^T)^T = A
• (A + B)^T = A^T + B^T
• (αA)^T = αA^T
• Se A·C è moltiplicabile, anche C^TA^T, (AC)^T = C^TA^T

Determinante

Associato a matrice quadrata: det(A) oppure |A|.

Se m = 2: A = ( a b ) ( c d ) -> det(A) = ad - bc.

Se m > 2: det_i,j(A) = Σ (-1)^i+j a_i,j det (A_i,j).

Operazioni elementari (ERO) e riduzione

Trasformano una matrice in un'altra con stesse dimensioni.

ERO:

• Tipo I: Aggiungendo a una riga a voi un'altra
• Tipo II: Scambiando due righe
• Tipo III: Moltiplicando per α una riga (si possono riferire anche alle colonne)

Data matrice A, quella che ottengo con ERO, B: A ∼ B.

N.B. Per il calcolo del det conviene scegliere una riga o una colonna che presenta degli zeri.

Se A, B ∈ H_m, det(AB) = det(A)det(B).

Formula di Binet: det(BA).

Se A ∈ E_m det(A⁻¹) = det(A).

Matrici

A_m×m = _colonne ^righe A = (a_1,1, a_1,2, ..., a_1,m... a_m,1, a_m,2, ..., a_m,m).

Operazioni tra matrici

Somma: [A+B]_i,j = [A]_i,j + [B]_i,j.

Proprietà:

• Commutativa
• Associativa
• Esistenza elemento neutro
• Opposto A + 0_m,m = A - A (matrice opposta)

Prodotto per scalare: [αA]_i,j = α[A]_i,j.

Proprietà:

• α(A + B) = αA + αB
• (α + β)A = αA + βA
• α(βA) = (αβ)A
• -1A = -A

Prodotto tra matrici: A ∈ M_m,n^(righe), B ∈ M_n,p^(column).

Devono essere uguali.

A · B ∈ M_m,p.

[ΣAB]_i,j = Σ k=1 m ([A]_i,k [B]_k,j).

Proprietà:

Non è sempre commutativo!

Trasposizione

A^T - Si ottiene scambiando le righe con le colonne.

Proprietà:

• (A^T)^T = A
• (A+B)^T = A^T + B^T
• (αA)^T = αA^T
• Se A·C è moltiplicabile, anche C^TA^T, (AC)^T = C^TA^T

Determinante

Associato a matrici quadrate: det(A) oppure |A|.

Se n = 2: A = [a b][c d] -> det(A) = ad - bc.

Se n > 2: det_i(A) = Σⁿ_j=1(-1)^i+j a_i,jdet(A_i,j).

N.B. Per il calcolo del det conviene scegliere una riga o una colonna che presenta degli zeri.

Se A, B ∈ H, det(AB) = det(A)det(B).

Formula di Binet: -det(BA).

Se A ∈ H^m det(A^T) = det(A).

Operazioni elementari (ERO) e riduzione

Trasformiamo una matrice in un'altra con stesse dimensioni.

ERO:

• Tipo I: Aggiungendo a una riga a volte un'altra
• Tipo II: Scambiando due righe
• Tipo III: Moltiplicando per α una riga

Data matrice A, quella che ottengo con ERO = B ______ A ~ B.

Si possono riferire anche alle colonne.

Matrici a scala

È normalizzata se i pivot sono 1.

Teorema di riduzione: Ogni matrice non nulla A ∈ ℜ_m,n è equivalente per righe a un’unica matrice a scala ridotta normalizzata, indicata con A_SRN.

Rango: A ∈ ℜ_m,n, se non è nulla, il rango di A, rℱ(A), è il numero dei pivot della A_SRN.

Matrici invertibili

Una matrice è invertibile se e il suo determinante è ≠ da 0!

1. Metodo: [A^-1]_i,j = (-1)^i+j dℱ(A_j,i) / dℱ(A)
2. Metodo: (A | I_m)_{ER calcoli con ER e considerata come unica matrice} tramite ERO deve diventare I_m

Proprietà:

• (A^-1)^-1 = A
• A A^-1 = I_m
• (AB)^-1 = B^-1 A^-1
• det(A^-1) = 1 / det(A)

Determinante tramite riduzione

Le ERO hanno degli effetti sul determinante.

• Scambio tra righe = cambio segno del determinante
• Moltiplicazione per scalare K = K • determinante (K ≠ 0)

Se A ∈ ℜ_m è matrice a scala, se r = m, determinante = prodotto pivot.

Sistemi lineari

Può avere 3 tipi di soluzione:

• S≠Ø(S) = se impossibile
• S=Ø(S) = formata da un solo elemento, sé determinato
• S=Ø(S) = formata da molti elementi, sé indeterminato

Per risolverlo è intorno lo risolvo sotto forma di matrice, vengono usati principalmente 3 metodi:

• Sostituzione (quello classico), è più lungo da utilizzare
• Metodo di Gauss (riduco tramite ERO)
• Regola di Cramer (per sistemi quadrati)

Risoluzione sistema con metodo di Gauss

• Scrivo la matrice completa _incognite
• Riduco tramite zero in una matrice a scala
• Se una o più righe sono (00...01k) con k ≠ 0 - il sistema è impossibile, altrimenti ha soluzioni! ∞^m-z soluz.

Metodo di Cramer

Vale per le matrici quadrate!

Se det(A) ≠ 0.

Teorema di Rouché - Capelli

Stabilire se un sistema ammette soluzioni senza risolverlo mediante il Teorema di Rouché - Capelli.

• Se r(A) < r(A|b) - impossibile - No soluzioni!
• Se r(A) = r(A|b) - ammette soluzioni!

Spazi vettoriali

Concetto di campo K:

• Si possono svolgere 4 operazioni (+, −, ×, ÷) → in realtà sono solo (+ e ×)
• Devono avere queste proprietà:
• Associativa (somma), (prodotto)
• Commutativa (somma), (prodotto)
• Elemento neutro ( ), ( )
• Opposto, inverso ( ), ( )

Spazio vettoriale: Somma di vettori, prodotto per uno scalare (è elemento di K).

Sottospazi vettoriali

Dato V spazio vettoriale:

• W è sottospazio se svolgono proprietà spazio vettoriale
• Vettore nullo deve appartenere a sottospazio
• Generatori: Dato V: V₁, V₂ sono un sistema di generatori se ogni vettore di V si può ottenere come combinazione lineare di V₁, V₂, ..., Vₘ, ovvero se V = L (V₁, V₂, ..., Vₘ)

Basi

Con basi si possono creare ... tutti gli elementi dello spazio.

Basi canoniche: Cₘ = {e₁, e₂, ..., eₘ}.

Matrici: ^{(1 0)} _{(0 1)}, ^{(0 0)} _{(0 1)}.

Polinomi: Δ⟨x⟩, x, x ^{dim Rn⟩ = m+1}.

Autovalore

- λ È riferito solo a matrici quadrate.

(A - λI)v = 0 ⟷ det(A - λIm).

Autovettore

(A - λiI)v = 0.

Molteplicità algebrica

mult(λ) è il numero di volte in cui l'autovalore (λ) annulla il numero delle molt. algebriche degli autovalori non può mai superare l'ordine della matrice (m).

Molteplicità geometrica

mg(λ) = m - Z (A - λiI).

1 ≤ mg(λ) ≤ mult(λ) ≤ m.

Matrice diagonalizzabile

A = matrice a mandata.

P = AP.

P = matrice che ha come colonne autovettori associati a ogni autovalore → BASIS.

D = sulla diagonale gli elementi degli autovalori di A.

Condizioni necessarie e sufficienti per diagonalizzabilità:

Il numero degli autovalori di A appartiene a K e sommati tra loro la mult = m.

mg(λi) (∀i) ogni autovalore = mult(λi) → mg(λ1) = mult(λ1).

È diagonalizzabile se:

• È simmetrica
• È quadrata e ammette n autovalori distinti

Matrice ortogonale

A ortogonale: A^TA = AA^T = I_m.

(A deve essere quadrata.)

È una matrice quadrata invertibile, la cui matrice inversa coincide con la trasposta.

Anche A^T è ortogonale.

det(A) ±1 oppure -1.

Matrice simmetrica

A quadrata A = A^T.

Matrice antisimmetrica

A quadrata A^T = -A - la sua diagonale ha tutti 0.