Riassunto algebra

Matrici

Δ_{m x n} = (colonne) (colonna)

[a_i,j] = righe altre

(a_1,1, a_1,2, ..., a_1,m) (a_m,1, a_m,2, ..., a_m,m)

Operazioni tra Matrici

• Somma

[A+B]_i,j = [A]_i,j + [B]_i,j

Proprietà:

• Commutativa
• Associativa
• Esistenza elemento neutro
• Opposto

A+0_m,n = A -A (matrice opposta)

• Prodotto per scalare

[αA]_i,j = α [A]_i,j

Proprietà:

• α(A+B) = αA + αB
• (α+β)A = αA + βA
• α(βA) = (βα)A
• -ΔA = A

• Prodotto tra Matrici

A ∈ M_m,n B ∈ M_n,p

(colonna) (righe) devono essere uguali

A⋅B ∈ M_m,p

Σ [AB]_i,j = [A]_i,k[B]_k,j, k=1

Proprietà:

• Non è sempre commutativo!

Trasposizione

A^T

Si ottiene scambiando le righe con le colonne

Proprietà:

• (A^T)^T = A
• (A⋅B)^T = B^T⋅A^T , (dA)^T = dA^T
• Se A=C* ∈ moltiplicabile, anche C^TA^T∈, (AC)^T = C^TA^T

Determinante

Associato a matrice quadrate det(A) oppure |A| Se m=n=2   A=(^a b_c d) --> det(A)= ad-bc

Se m≥n  det_i(A) = ∑ⁿ_i=1(-1)²⁺ⁱa_i,jdet(A_i,j)

Operazioni elementari (ERO)

E riduzione

Si trasforma una matrice in un'altra con stesse dimensioni

ERO

I Tipo: Aggiungendo a una riga a volte un'altra

II Tipo: Scambiando due righe

III Tipo: Moltiplicando per a una riga

Data matrice A, quella che ottengo con ERO, B  → A → B

(Si possono riferire anche alle colonne)

N.B. Per il calcolo del det conviene sceglere una riga o una colonna che presenta degli zeri Se A,B ∈ H_m, det(AB)= det(A)det(B) formula di Binet Se A∈E^m det(A^T) = det(A) - det(BA)

Matrici a scala

ϵ normalizzata se i pivot sono 1

Teorema di riduzione:

Ogni matrice non nulla A ∈ ℍ_m,n è equivalente per righe a un’unica matrice a scala ridotta normalizzata, indicata con SRN

Rango A ⩽ min(m, n), se non è nulla, il rango di A, r_2(A) è il numero dei pivot della SRN

Matrici invertibili

L’un matrice è invertibile se il suo determinante è ≠ da 0!

1° metodo:

• [A | A⁻¹]
• det(A⁻¹) = 1/det(A)

2° metodo:

• Nei calcoli coi ero è considerata come una sola matrice per tramite ero deve diventare I_m

Proprietà:

• (A⁻¹)⁻¹ = A
• AA⁻¹ = I_m
• (AB)⁻¹ = B⁻¹ A⁻¹
• det(A⁻¹) = 1/det(A)

Determinante tramite riduzione

• Le ero hanno degli effetti sul determinante
• Scambio tra righe → cambio segno del determinante
• Moltiplicazione per scalare K = K determinante (K ≠ 0)

N.B.

• Se A ∈ ℍ_m è matrice a colla
• Se r < m, | det(A) = 0
• Se r = m, | determinante = prodotto pivot

Sistemi lineari

Un può avere 3 tipi di soluzione:

• Sol(∅) = ∅ se impossibile
• Sol(s) è formata da uno solo elemento → s è determinato
• Sol(s) è ∞ infiniti elementi → s è indeterminato

Per risolverlo il sistema lo risolvo sotto forma di matrice, vengono usati principalmente 3 metodi:

• Sostituzione (quella classica), è più lunga da utilizzare
• Metodo di Gauss (riduzione tramite ero)
• Regola di Cramer (per sistemi quadrati)

ENDOMORFISMO

ϕ: V → V applicazione lineare, se V=W, è un endomorfismo

ϕ: V → V_i è un endomorfismo semplice se esiste una base di V formata da autovettori di ϕ e se la matrice associata è diagonalizzabile

ALGORITMO DI GRAM-SCHMIDT

Serve per costruire una famiglia di vettori ortogonali partendo da una famiglia di vettori linearmente indipendenti e una base qualunque e una ortogonale e una ortonormale

Partiamo da un I. spazio vettoriale:

• Contruire {W₁, W₂, ..., W_m}
• W₂ = V₂ - (V₂ • W₁) / (W₁) W₁
• W_i = V_i - Σ_i W_i-1 / W_i-1 = i=a,..,m
• → La base ortonormale di V

BASE ORTOGONALE

• Dati X₁, X₂ non nulli, sono ortogonali (X₁⊥X₂)
• se X₁ • X₂ = 0 → non sono L. I.
• Lo prodotto scalare

BASE ORTONORMALE

• Sono ortogonali
• Ha norma = 1