Riassunto algebra

Matrici

A_m×n = Aij (i righe, j colonne)

Operazioni tra matrici

• Somma
  • [A+B]_i,j = [A]_i,j + [B]_i,j

Proprietà:

• Commutativa
• Associativa
• Esistenza elemento neutro opposto

• Prodotto per scalare
  • [αA]_i,j = α[A]_i,j

Proprietà:

• α(A+B) = αA + αB
• (α + β)A = αA + βA
• α(βA) = (αβ)A
• -1A = A

• Prodotto tra matrici

A ∈ M_m,n B ∈ M_n,p

(devono essere uguali)

Proprietà:

• Non è sempre commutativo!

Trasposizione

A^T - si ottiene scambiando le righe con le colonne

Proprietà:

• (A^T)^T = A
• (A + B)^T = A^T + B^T
• (αA)^T = αA^T

• Se A·C è moltiplicabile, anche C^TA^T, (AC)^{T = CTAT}

Determinante

Associato a matrice quadrata

det(A) oppure |A|

Operazioni elementari (ERO) e Riduzione

Trasformano una matrice in un'altra con stesse dimensioni

• ERO

I Tipo: Aggiungendo a una riga a voi un'altra

II Tipo: Scambiando due righe

III Tipo: Moltiplicando per α una riga (si possono riferire anche alle colonne)

Data matrice A, quella che ottengo con ERO, B A∼B

N.B.

• Per il calcolo del det conviene scegliere una riga o una colonna che presenta degli zeri
• Se A, B ∈ H_m, det(AB) = det(A)det(B)
• Formula di Binet: det(BA)
• Se A ∈ E_m det(A⁻¹) = det(A)

Matrici

A_m×m = _colonne ^righe

A =(a_1,1, a_1,2, ..., a_1,m... a_m,1, a_m,2, ..., a_m,m)

Operazioni tra matrici

• Somma

[A+B]_i,j = [A]_i,j + [B]_i,j

Proprietà:

• Commutativa
• Associativa
• Esistenza elemento neutro

  Opposto

A + 0_m,m = A-A (matrice opposta)

• Prodotto per scalare

[αA]_i,j = α[A]_i,j

Proprietà:

• α(A + B) = αA + αB
• (α + β)A = αA + βA
• α(βA) = (αβ)A
• -1A = -A

• Prodotto tra matrici

A ∈ M_m,n^(righe) B ∈ M_n,p^(column)

Devono essere uguali

A · B ∈ M_m,p

[ΣAB]_i,j = Σ k=1 m ([A]_i,k [B]_k,j)

Proprietà:

• Non è sempre commutativo!

Trasposizione

A^T - Si ottiene scambiando le righe con le colonne

Proprietà:

• (A^T)^T = A
• (A+B)^T = A^T + B^T
• (αA)^T = αA^T
• Se A·C è moltiplicabile, anche C^TA^T ,(AC)^T = C^TA^T

Determinante

Associato a matrici quadrate det(A) oppure |A|

se n = 2 A=[a b][c d]

-> det(A) = ad - bc

se n > 2 det_i(A) = Σⁿ_j=1(-1)^i+j a_i,jdet(A_i,j)

N.B.

• Per il calcolo del det conviene scegliere una riga o una colonna che presenta degli zeri
• Se A, B ∈ H, det(AB) = det(A)det(B)
• Formula di Binet: -det(BA)
• Se A ∈ H^m
• det(A^T) = det(A)

Operazioni Elementari (ERO) e Riduzione

Trasformiamo una matrice in un'altra con stesse dimensioni

ERO

I Tipo: Aggiungendo a una riga a volte un'altra

II Tipo: Scambiando due righe

III Tipo: Moltiplicando per α una riga

Data matrice A, quella che ottengo con ERO = B ______ A ~ B

Si possono riferire anche alle colonne

MATRICI A SCALA

... è normalizzata se i pivot sono 1

TEOREMA DI RIDUZIONE:

Ogni matrice non nulla A ∈ ℜ_m,n è equivalente per righe a un’unica matrice a scala ridotta normalizzata, indicata con A_SRN

RANGO:

A ∈ ℜ_m,n, se non è nulla, il rango di A, rℱ(A) è il numero dei pivot della A_SRN

MATRICI INVERTIBILI

Una matrice è invertibile se e il suo determinante è ≠ da 0!

1. 1^o metodo: [A^-1]_i,j = (-1)^i+j dℱ(A_j,i) / dℱ(A)

1. 2^o metodo: (A | I_m)_{ER calcoli con ER e codisiderata come unica matrice} tramite ERO deve diventare I_m

Proprietà:

(A^-1)^-1 = A

A A^-1 = I_m

(AB)^-1 = B^-1 A^-1

det(A^-1) = 1 / det(A)

DETERMINANTE TRAMITE RIDUZIONE

• Le ero hanno degli effetti sul determinante
• SCAMBIO TRA RIGHE = cambio segno del determinante
• MOLTIPLICAZIONE PER SCALARE K = K • determinante (K ≠ 0)

Se A ∈ ℜ_m e matrice a colla

• se r < m, det(A) =0
• se r = m, determinante = prodotto pivot

SISTEMI LINEARI

Può avere 3 tipi di soluzione:

1. S≠Ø(S) = se impossibile
2. S=Ø(S) = formata da un solo elemento, sé determinato
3. S=Ø(S) = formata da molti elementi, sé indeterminato

Per risolverlo è intorno lo risolvo sotto forma di matrice, vengono usati principalmente 3 metodi:

• SOSTITUZIONE (quello classico), è più lungo da utilizzare
• METODO DI GAUSS (riduco tramite ero)
• REGOLA DI CRAMER (per sistemi quadrati)

RISOLUZIONE SISTEMA CON:

METODO DI GAUSS

• Scrivo la matrice completa _incognite
• Riduco tramite zero in una matrice a scala
• Se una o più righe sono (00...01k) con k ≠ 0 - il sistema è impossibile, altrimenti ha soluzioni! ∞ ^m-z soluz.

Metodo di cramer

• Vale per le matrici quadrate!
• Se det(A) ≠ 0

Stabilire se un sistema ammette soluzioni senza risolverlo mediante il

Teorema di Rouche - Capelli

• Se r(A) < r(A|b) - impossibile - No soluzioni!
• Se r(A) = r(A|b) - ammette soluzioni!

Spazi Vettoriali

Concetto di campo K:

• Si possono svolgere 4 operazioni (+,−,×,÷) → in realtà sono solo (+ e ×)
• Devono avere queste proprietà:
  • Associativa (somma), (prodotto)
  • Commutativa (somma), (prodotto)
  • Elemento neutro ( ), ( )
  • Opposto, inverso ( ), ( )

Spazio Vettoriale

• Somma di vettori
• Prodotto per uno scalare (è elemento di K)

Sottospazi Vettoriali:

• Dato V spazio vettoriale:
  • W è sottospazio se svolgono proprietà spazio vettoriale
  • Vettore nullo deve appartenere a sottospazio

Generatori:

• Dato V: V₁, V₂ sono un sistema di generatori se ogni vettore di V si può ottenere come combinazione lineare di V₁, V₂, ..., Vₘ, ovvero se V= L (V₁, V₂, ..., Vₘ)

Basi

• Con basi si possono creare ... tutti gli elementi dello spazio

Basi canoniche:

• Cₘ ={e₁, e₂, ..., eₘ}
• Matrici
  • ^{(1 0)} _{(0 1)}, ^{(0 0)} _{(0 1)}
• Polinomi
  • Δ⟨x⟩, x, x ^{dim Rn⟩=m+1}

Autovalore:

- λ

È riferito solo a matrici quadrate

(A - λI)v = 0 ⟷ det(A - λIm)

Autovettore:

(A - λiI)v = 0

Molteplicità algebrica:

mult(λ)

è il numero di volte in cui l'autovalore (λ) annulla

il numero delle molt. algebriche degli autovalori non può mai superare

l'ordine della matrice (m).

Molteplicità geometrica:

mg(λ) = m - Z (A - λiI)

1 ≤ mg(λ) ≤ mult(λ) ≤ m

Matrice Diagonalizzabile

A = matrice a mandata

P = AP

P = matrice che ha come colonne autovettori associati a ogni autovalore → BASIS

D = sulla diagonale gli elementi degli autovalori di A

Condizioni necessarie e sufficienti per diagonalizzabilità:

• il numero degli autovalori di A appartaene a K e sommati tra loro la mult = m
• mg(λi) (∀i) ogni autovalore = mult(λi) → mg(λ1) = mult(λ1)

È diagonalizzabile se:

• è simmetrica
• è quadrata e ammette n autovalori distinti

Matrice Ortonale

A ortogonale A^TA = AA^T = I_m

(A deve essere quadrata.)

• è una matrice quadrata invertibile, la cui matrice inversa coincide con
• la trasposta
• anche A^T è ortogonale
• det(A) ±1 oppure -1

Matrice Simmetrica

A quadrata A = A^T

Matrice Antisimmetrica

A quadrata A^T = -A

- la sua diagonale ha tutti 0.