Algebra lineare, i numeri complessi

Appunti algebra lineare: i numeri complessi

Numeri immaginari

Definizione unità immaginaria
Si chiama unità immaginaria, e si indica con il simbolo i, un numero il cui quadrato è -1.
i² = -1    (-i)² = -1

Sono numeri immaginari i seguenti:

• 3i
• -5i
• ²⁄₃i
• √5i
• -i

Proprietà:

• La somma o la differenza di due numeri immaginari è un numero immaginario:
  ai ± bi = (a ± b)i
• Il prodotto o il quoziente di due numeri immaginari è un numero reale:
  ai · bi = abi² = -ab   (ai) : (bi) = a : b
• Il quadrato di un numero immaginario è un numero reale negativo:
  (bi)² = -b²

Infatti, l'uguaglianza ai ± bi = (a ± b)i è giustificata dalla proprietà distributiva. Si ha ai · bi = abi² per la proprietà commutativa della moltiplicazione e abi² = -ab perché per definizione i² = -1. Per la proprietà invariante della divisione, dividendo sia il divisore sia il dividendo per i si ottiene (ai) : (bi) = a : b. Per le proprietà delle potenze è (bi)² = b²i² = b²(-1) = -b².

Esempi

• 8i + 6i = 14i
• -5i + 9i = 4i
• 21i - 7i = 14i
• 4i . (-2i) = 8
• 12i : (6i) = 2
• √2i . ¹/₂ ²√2 i² = √2 . ^√6∕₃ = √2
• (4i)² = 42i² = 16 . (-1) = -16
• (-4i)² = (-4)²i² = 16 . (-1) = -16

Numeri complessi

Definizione numero complesso
Un numero complesso è la somma di un numero reale con un numero immaginario, rappresentato come a + ib con a, b ∈ ℝ. Il numero a è detto parte reale del numero complesso, ib è la parte immaginaria, b è il coefficiente dell'immaginario.

Se a = 0, il numero complesso a + ib coincide con il numero immaginario ib. Se b = 0, il numero complesso a + ib coincide con il numero reale a. Se a = b = 0, il numero complesso 0 + i0 è lo zero complesso e coincide con lo zero reale.

L'insieme C ha come suoi sottoinsiemi:

• L'insieme I
• L'insieme R

Due numeri complessi sono uguali quando hanno rispettivamente uguali le parti reali e i coefficienti dell'immaginario: a + ib = c + id ⟶ a = c ^ b = d. In particolare, un numero complesso è uguale a zero se, e soltanto se, sono uguali a zero sia la parte reale sia il coefficiente dell'immaginario.

Due numeri complessi si dicono coniugati se hanno la stessa parte reale e opposti i coefficienti dell'immaginario. I due numeri a + ib e a - ib sono complessi coniugati. Il coniugato del numero complesso −2 + 5i è −2 − 5i. 6 − √2i e 6 + √2i sono due numeri complessi coniugati. Il coniugato di un dato numero complesso z si indica con z̅.

Operazioni con i numeri complessi

■ Somma di due numeri complessi: La somma di due numeri complessi è il numero complesso che ha per parte reale la somma delle parti reali degli addendi e per coefficiente della parte immaginaria la somma dei coefficienti delle parti immaginarie:
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)

■ Differenza di due numeri complessi: La differenza di due numeri complessi è la somma del primo con l'opposto del secondo:
(a + ib) − (c + id) = (a + ib) + (−c − id) = [a − c] + i[b − (−d)]
→→ (a + ib) − (c + id) = (a − c) + i(b − d)

Esempi

• (3 + 2i) + (5 + 6i) = (3 + 5) + i(2 + 6) = 8 + 8i
• (1 − 5i) + (−4 + 6i) = [1 + (−4)] + i(−5 + 6) = −3 + i = −3 + i
• −(2 − 3i) = −2 + 3i
• (2 + i) − (3 − 2i) = (2 − 3) + i(1 − (−2)) = −1 + 3i

■ Prodotto tra due numeri complessi: Si esegue come il prodotto di due binomi in base alla proprietà distributiva, che vogliamo valga anche in C; tenendo presente che i² = −1, si ha:
(a + ib) · (c + id) = ac + ibc + adi + bdi² = ac + ibc + iad + bd(−1) == (ac − bd) + i(bc + ad)
(a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(bc + ad)

Esempi

• (3 + 2i)(1 + 4i) = 3 + 2i + 12i + 8i² = 3 + 14i + 8(−1) = −5 + 14i
• (2 + 5i)(2 − 5i) = 4 + 25 = 29

Due numeri complessi si dicono reciproci se il loro prodotto è 1.