Algebra Lineare V-VIII

Geometria V (29/07/2021)

• Forma trigonometrica di un numero complesso Sia Z = X + iY un numero complesso di modulo |Z| = P definiamo forma trigonometrica di Z una forma del tipo: Z = P(cosθ + i sinθ) La coppia (p, θ) individua univocamente Z, questi valori sono detti coordinate polari

• Re(z) = p cosθ   Im(z) = p sinθ Dato z = x + iy è possibile individuare univocamente p, θ invece solo nell'intervallo [0, 2π] p = √(x² + y²)   cosθ = x/p   sinθ = y/p

• Se z≠0 definiamo argomento principale di z (arg(z))

• Uso della forma trigonometrica per la moltiplicazione z₁ = p₁ (cosθ₁ + i sinθ₁) z₂ = p₂ (cosθ₂ + i sinθ₂) z₁z₂ = p₁p₂[(cosθ₁ + i sinθ₁)(cosθ₂ + i sinθ₂)] = = p₁p₂[cosθ₁ cosθ₂ − sinθ₁ sinθ₂ + i (cosθ₁ sinθ₂ + sinθ₁ cosθ₂)] = = p₁p₂[cos(θ₁ + θ₂) + i sin(θ₁ + θ₂)]

• Potenze di un numero complesso con la formula di De Moivre Sia α = p (cosθ + i sinθ) allora αⁿ = pⁿ (cos(mθ) + i sin(mθ))

• Dimostrazione per induzione Per m=1 αⁿ = α

• zⁿ * ŷ = zⁿ * z = pⁿ (cos(mθ) + i sin(mθ)) * p (cosθ + i sinθ) = = pⁿ⁺¹ (cos((m+1)θ) + i sin((m+1)θ))

• Forma esponenziale di un numero complesso Siano f(θ₁) = cosθ₁ + i sinθ₁ e f(θ₂) = cosθ₂ + i sinθ₂ f(θ₁) f(θ₂) = [cosθ₁ + i sinθ₁][cosθ₂ + i sinθ₂] = f(θ₁ + θ₂) F si comporta come le esponenziali (eˣ * eʸ = e^(x+y))

Geometria V (29/07/2021)

• Forma trigonometrica di un numero complesso

Sia Z = X + iY un numero complesso di modulo |Z| = ρ

Definiamo forma trigonometrica di Z una forma del tipo:

Z = ρ (cos θ + i sin θ)

La coppia (ρ, θ) individua univocamente Z, questi valori sono detti coordinate polari

Re(Z) = ρ cos θ Im(Z) = ρ sin θ

Dato Z = X + iY è possibile individuare univocamente ρ, invece θ solo nell’intervallo [0, 2π]

ρ = √(x² + y²) cos θ = X/ρ sin θ = Y/ρ

Se Z ≠ O definiamo argomento principale di Z (arg(Z))

• Uso della forma trigonometrica per la moltiplicazione

Z₁ = ρ₁ (cos θ₁ + i sin θ₁) Z₂ = ρ₂ (cos θ₂ + i sin θ₂)

Z₁ * Z₂ = ρ₁ ρ₂ [(cos θ₁ + i sin θ₁)(cos θ₂ + i sin θ₂)] =

= ρ₁ ρ₂ [cos θ₁ cos θ₂ − sin θ₁ sin θ₂ + i (cos θ₁ sin θ₂ + sin θ₁ cos θ₂)] =

= ρ₁ ρ₂ [cos (θ₁ + θ₂) + i sin (θ₁ + θ₂)]

• Potenze di un numero complesso con la formula di De Moivre

Sia α = ρ (cos θ + i sin θ) allora α^m = ρ^m (cos(mθ) + i sin(mθ))

Dimostrazione per induzione

Per m = 1 α^m = α

Z^{m + 1} = Z^m * Z = ρ^m (cos(mθ) + i sin(mθ)) * ρ (cos θ + i sin θ) =

= ρ^m+1 (cos ((m+1)θ) + i sin ((m+1)θ))

• Forma esponenziale di un numero complesso

Siano f(θ₁) = cos θ₁ + i sin θ₁ e f(θ₂) = cos θ₂ + i sin θ₂

f(θ₁) * f(θ₂) = [cos θ₁ + i sin θ₁][cos θ₂ + i sin θ₂] = f(θ₁ + θ₂)

f si comporta come esponenziante (^ex = ^{ex + y})

Quindi definiamo di un numero complesso la seguente scrittura:

Z = p eⁱ

• Radici di un numero complesso con la forma esponenziale
• Sia m ℕ e z un elemento e una radice m-esima di se:
• z =
• Preso ℂ con ≠ 0, ha m radici m-esime distinte in ℂ
• _k = √^p(cos ( +2kπ) / m) + i sin ( +2kπ) / m)

• Radici dei polinomi
• Sia dato il polinomio P a coefficienti reali
• P: = a_mx^m + a_m-1x^m-1+ ... + a₁x + a₀
• Sia una radice di P tale che ℂ, ciò implica che
• a_m^m + a_m-1^m-1+ ... + a₁ + a₀= 0
• Prendiamo ora complessi coniugati
• a_mm + a_m-1^m-1+ ... + a₀= 0
• Ma siccome coefficienti sono reali,