Algebra Lineare V-VIII

Geometria V

Forma trigonometrica di un numero complesso

Sia Z = x + iy un numero complesso di modulo |Z| = ρ

Definiamo forma trigonometrica di Z una forma del tipo:

• Z = ρ(cosθ + i sinθ)

La coppia (ρ, θ) individua univocamente Z, questi valori sono detti coordinate polari

• Re(Z) = ρcosθ
• Im(Z) = ρsinθ

Dato Z = x + iy è possibile individuare univocamente ρ, θ invece solo nell'intervallo [0, 2π[

ρ = √(x² + y²) cosθ = x/ρ sinθ = y/ρ

Se z ≠ 0 definamo argomento principale di Z (arg(Z))

Uso della forma trigonometrica per la moltiplicazione

• Z₁ = ρ₁(cosθ₁ + i sinθ₁)
• Z₂ = ρ₂(cosθ₂ + i sinθ₂)

Z₁ Z₂ = ρ₁ ρ₂ [(cosθ₁ + i sinθ₁)(cosθ₂ + i sinθ₂)]

= ρ₁ ρ₂[cosθ₁ cosθ₂ - sinθ₁ sinθ₂ + i (cosθ₁ sinθ₂ + sinθ₁ cosθ₂)]

= ρ₁ ρ₂[cos(θ₁ + θ₂) + i sin(θ₁ + θ₂)]

Potenze di un numero complesso con la formula di De Moivre

• Sia α = ρ(cosθ + i sinθ) allora α^m = ρ^m(cos(mθ) + i sin(mθ))

Dimostrazione per induzione

Per m = 1 α^m = α

z^m+1 = z^m·z = ρ^m(cos(mθ) + i sin(mθ)) · ρ(cosθ + i sinθ)

= ρ^m+1(cos((m+1)θ) + i sin((m+1)θ))

Forma esponenziale di un numero complesso

Siano f(θ) = cosθ + i sinθ allora f(θ) = cosθ + i sinθ

f(θ₁)•f(θ₂) = [cosθ₁ + i sin(θ₁)][cosθ₂ + i sin(θ₂)] = f(θ₁ + θ₂)

f si comporta come l'esponenziante e^x·e^y = e^(x+y)

Quindi definiamo forma esponenziale di un numero complesso la seguente scrittura:

Z = ρ e^iθ

- Radici di un numero complesso con la forma esponenzialesia n ∈ N ed _c un _z e una _m-esima di _c se: Z = _c

preso ^α e con Z = Zṗ α ha m radici m-esime distinte in ℂuk = √ρ (cos (θ + 2kπ) + i sin (θ + 2kπ)) k ∈ {0, 1, … m-1}

- Radici dei polinomisia dato il polinomio P a coefficienti reali (p ∈ ℝ[x])

P: = a_mx^m + a_m-1x^m-1 + … + a₁x + a₀

sia _c una radice di P tale che ∉ ℝ, ciò implica che

a_m (α) ^m + t + … + a₀ = 0prendiamo ora i complessi coniugati

a_m (α̅)^m + … t + … + a₀ = 0

Ma siccome i coefficienti sono reali, allora:

a_m(α) ^m-1 + … t + a₀ = 0

Quindi le radici si presentano sempre a coppie (_c ⇔ _c̅).

Ne consegue che se m è dispari, in almeno una coppia si verificache _c = _c̅ il che è possibile solo se _c ∈ ℝ

Quindi un polinomio in ℝ[x] di grado dispari ha sempre almeno una radice reale

METODO ALTERNATIVO

Z³ = (Z - 1) ⇒ (Z/Z - 1)₃

W = Z/Z - 1

LE RADICI CUBICHE DI 1 SONO:

• W = 1
• W₂ = -¹⁄₂ + ^√3⁄₂i
• W₃ = -¹⁄₂ - ^√3⁄₂i

W = Z =⇒ (Z/Z - 1)W = Z ⇒ WkZ = (Wk - 1)Z

Z = Z/Wk

k ∈ {1,2}

ESERCIZIO 9

TROVARE LE RADICI QUADRATE DI Z ∈ ℂ |Z| = √2Z

IMPONIAMO ALL' EQ. LE 2 SOLUZIONI DI x²b = a - 2(a ± b)

Z/ab ∈ ࠷

VALE A b = ∧ OBBRICO TOBULRE Č

∑x² ± 2a + (1.2b)a ± bc

b = ¹⁄₂ | a = ¹⁄_√2

<1

Z = -^√3⁄₆ + ^√2

ESERCIZIO 10

4ƵŽ + ƵŽ|Z| = 0 ⇒ 4ƵŽ - Z|Z| = 0

|Z| = 1.2 - Z ⇒ 2Ƶ - Z|Z| = ƵŽ³

√Z|Z/0 →⇒ |Ž|Z| |¹⁄₂

4 = Z | - Ž |Z|1 ⇒ 2|Z|Z = |Z|³

°3 = ⇓

4 Z|Z2 ⟹ 2 ⟹ - 8√2 ⇒|Z| =

SIAN b :

4 | - Z + Z | ⟹ 6

¹⁄₂ | ⟹ | ⇒ Z : C

|Z| = ẑ

ESEMPIO

SCAMBIAMO II E III

N. SOLUZIONI

PARAMETRO LIBERO

3 - 2

2

UNA SOLUZIONE PARTICOLARE

SOLUZIONI DEL SISTEMA OMOGENEO ASSOCIATO

IN UN SISTEMA NON OMOGENEO LE SOLUZIONI SONO DATE DA UNA SOLUZIONE PARTICOLARE PIÙ LA SOLUZIONE DEL SISTEMA OMOGENEO ASSOCIATO