Algebra Lineare e Geometria

Algebra Lineare

e Geometria

Appunti del corso di Algebra Lineare e Geometria,

completi di esercizi stile esame e formulario

Padova 2020

Lorenzo Iori

Indice

1 Strutture Algebriche e Numeri Complessi 3

1.1 Strutture algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Numeri Complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Combinazioni Lineari e Spazi Vettoriali 4

2.1 Combinazioni Lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Def. Spazi Vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Def. Sottospazio vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Piano Cartesiano e Spazi Vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

hSi

2.5 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Vettori dipendenti ed indipendenti 8

3.1 Equazioni Lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2 Basi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.3 Lemma dello Scambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.4 Formula di Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Matrici 15

4.1 Elementi e opeprazioni elementari per le matrici . . . . . . . . . . . . 15

4.2 Matrici particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.3 Determinante di una matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5 Applicazioni Lineari 22

5.1 Elementi di base delle Applicazioni Lineari . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.2 Isomorfismi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.3 Teorema della nullità + rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.4 Matrice Associata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.5 Omomorfismi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.6 Endomorfismi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.7 Autovalori ed Autospazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.8 Diagonalizzabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6 Spazi Euclidei 37

6.1 Spazi Euclidei, Prodotto Scalare, Angoli . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.2 Ortonormalizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.3 Simmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.4 Isomerie e matrici ortogonalmente diagonalizzabili . . . . . . . . . . . 44

7 Spazi Affini 47

7.1 Spazi e Sottospazi Affini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7.2 Sistemi di riferimento e Sottovalori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

8 Spazi Affini Euclidei 51

8.1 Definizione e S.D.R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

8.2 Distanze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

8.3 Prodotto vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

8.4 Prodotto misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

8.5 Basi Orientate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

9 Esercizi 62

10 Formulario 66

1

1 Strutture Algebriche e Numeri Complessi

1.1 Strutture algebriche

Def. Struttura algebrica Insieme non vuoto dotato di almeno 1 operazione

(G, ?). (G, ?), µ ĝ

Def. Gruppo Struttura algebrica con elemento neutro e elemento

?

?

inverso; gode di proprietà associativa. (G, ?) ?

Gruppo Commutativo/Abeliano Struttura algebrica è gruppo e

gode di proprietà commutativa. ·)

(G, +,

Campo Struttura algebrica

(G, +)

1. è gruppo commutativo

? ?

− {elemento ·)

= G +}, (G ,

G neutro per gruppo commutativo.

2.

3. Vale la proprietà distributiva

1.2 Numeri Complessi

Rappresentazioni di numeri complessi

( =(z))

z = (<(z), = (a, b)

Cartesiana

<, = = (1)

<(z)

z = + i=(z) = a + ib

Algebrica

( θi

z = ρe

Esponenziale

|z|,

ρ = θ = Arg(z) (2)

z = ρ(cosθ + isenθ)

Trigonometrica

( <(z) = ρcosθ (3)

=(z) = ρsenθ

−1

z : z

Inverso di (EXP) 1 −θi

−1

θi e

z = ρe z = ρ

1

−1 −θi

θi

· ·

z z = ρe e = 1 (4)

ρ

Potenze n θi n n nθi

z = (ρe ) = ρ e (5)

Radici

√ √ 2kπ i

· −

m z = ρ e k = 0, 1, . . . , m 1(Ho m radici distine) (6)

m m 2

z z

Def. Complesso coniugato complesso coniugato di

−b)

z = (a, b), z = (a,

Cart. −

z = a + ib, z = a ib

Alg. −θi

θi

z = ρe , z̄ = ρe

Exp. −

z = ρ(cosθ + isenθ), z̄ = ρ(cosθ isenθ)

Trig.

Def. Modulo di z √ p p

2 2 2 2

· <(z) =(z)

z z = a + b = +

ρ = (7)

PROPRIETA’:

z + z = z + z

1. 1 2 1 2

· ·

z z = z z

2. 1 2 1 2

|z · | |z | · |z |

z =

3. 1 2 1 2

|z | ≤ |z | |z |

+ z +

4. 1 2 1 2

√ ·

|z| z z̄

=

5. z̄ = z

6.

Def. Inverso di un numero complesso

z̄

−1

z = (8)

·

z z̄

2 Combinazioni Lineari e Spazi Vettoriali

2.1 Combinazioni Lineari

Def. Combinazione Lineare Si dice COMBINAZIONE LINEARE a coeffi-

K E , E , ..., E

cienti reali nel campo degli elementi ogni SOMMA FORMALE

1 2 N

c E + ... + c E + ... c E c K j

dei prodotti formali con in per ogni

1 1 N N j j j

z

Def. Polinomio Si dice POLINOMIO nella variabile a coeff.reali nel campo

n

K K z, z

ogni combinazione lineare a coeff. in delle potenze di cioè con

∈ ∪

n N 0 e tale che soltanto un numero finito di coeff. siano non nulli.

α z

Def. Radice di un polinomio Ogni valore che sostituisco a nell’espresi-

P (z) 0

sone del polinomio restituisce un’espressione che somma a si dice radice

P (z).

di

Teorema 1 - Teorema fondamentale dell’algebra Ogni polinomio non

C[z] C,

costante (grado >0) in ammette almeno una radice in quindi si scompone

in fattori di primo grado (in modo unico a meno di fattori costanti).

DIMOSTRAZIONE: − ⇒

P (z) = (z α )P (z) RU F F IN I (9)

1 1

Deg(P ) < DegP

Tale che: 1 3 ∈

P (z) R[z]

Teorema 2 - Radice di un polinomio Sia .

α

α P (z), lo è.

Se è radice di allora anche

DIMOSTRAZIONE: n

P (z) = a 1 + a α + ... + a α =

0 1 n n

a 1 + a α + ... + a α =

0 1 n n

a 1 + a α + ... + a α (10)

0 1 n

∈ ⇒

a R a = a

Osservazione: se j j j

Quindi: n

P (α) = a + a α + ... + a α = 0̄ = 0 (11)

0 1 n ∈

P (z) R(z)

Teorema 3 - Radici complesse Ogni polinomio si scompone in

R[z] in fattori di primo e secondo grado irriducibili. I fattori di secondo grado

hanno radici complesse coniugate. Ogni polinomio di grado dispari ammette

almeno una soluzione reale.

DIMOSTRAZIONE:

C[z]

In il polinomio si scompone in fattori di I grado (per il Teorema fondamen-

−

(z α ), k = 1, ..., N

tale dell’algebra) del tipo .

k

∈

α R k,

Se per ogni vale la tesi.

k ∈

α R

Altrimenti sia k0 α è

Per il teorema precedente (vd. Teorema 2 - Combinazioni Lineari) anche k0

radice.

Allora ho un prodotto nella scomposizione della forma

2 2 2

− − |α | ∈

− − α ) = z z(α + α ) + α α = z 2z<(α ) + R[z].

(z α )(z

k0 k0 k0 k0 k0 k0 k0 k0 (12)

2.2 Def. Spazi Vettoriali K V

Uno SPAZIO VETTORIALE sul campo è un insieme non vuoto tale che:

• V (V, +)

E’ definita un’operazione binaria su tale che è GRUPPO COM-

MUTATIVO.

• E’ definita una funzione detta "moltiplicazione per uno scalare" che associa

∈ ∗

(λ, v) K V V λv

ad ogni coppia un elemento di denotato

• Valgono le seguenti proprietà di compatibilità: ∀v ∈

1v = v V

– Quando moltiplico per 1 non riscalo nulla:

∈ ∈

λ , λ K v V : (λ + λ )v = λ v + λ v

– per e

1 2 1 2 1 2

∈ ∈

λ K v , v V : λ(v + v ) = λv + λv

– per e 1 2 1 2 1 2

∀λ ∈ ∀v ∈

, λ K V : λ (λ v) = (λ λ )v

– e

1 2 1 2 1 2 6 ∈

V K. λ = λ λ , λ K.

Proposizione 1 Sia spazio vettoriale su Se con

1 2 1 2

6 ∀v ∈ 6

λ v = λ v, V, v = 0

Allora 1 2 v

DIMOSTRAZIONE:

∃v 6 6

= 0 λ v = λ v, λ = λ λ v−λ v λ v−λ v = 0

Suppongo | con . = .

v 1 2 1 2 1 2 2 2 v

1 → 6

− → 0 = 0 v = 0

(λ λ )v = 0 v = contraddice

v v v

1 2 v −λ

λ

1 2 4 7→

+ ∆ + ∆ ∆

Proposizione 2 {∆}, Definisco con Soddisfa le proprietà di

{∆} →

V = ∆ = 0 . (0 , + )

gruppo. è GRUPPO ABELIANO.

v v ∆

0 è K-SPAZIO VETTORIALE BANALE

v ∃v ∈ 6

P V v = 0

Proposizione 3 (conseguenza di ) Supponiamo con e che

2 v

V sia R-spazio vettoriale.

∀n ∈ ∈ 6 6

N, nv V n = n n v = n v.

Allora e per ho

1 2 1 2

|V | ∞

V = =

Quindi la cardinalità di

Quindi l’unico spazio vettoriale con un numero finito di elementi è il K-spazio

vettoriale banale.

2.3 Def. Sottospazio vettoriale

V V

Un sottospazio vettoriale di (sia un K-spazio vettoriale) è un sottoinsieme

⊆

W V tale che le operazioni di somma e moltiplicazione per uno scalare ristrette

W

a lo rendano spazio vettoriale. W V

Proposizione 4 Un sottoinsieme di un K-spazio vettoriale è sottospazio

vettoriale se e solo se:

∀λ ∈ ∀w ∈ ∈

K W λw W

1. e si ha

∀w ∈ ∈

, w W w + w W

2. si ha

1 2 1 2

DIMOSTRAZIONE:

=⇒ W +

" " (2) Se è sp.vettoriale allora (W, ) è Gr. abeliano, in part. è chiuso

v

rispetto alle somme. × →

K W W

(1) è vero poichè moltiplicazione

∈

w + w W =⇒ (W, +)

"⇐=" è gruppo abeliano perchè + è COMM e

1 2 V W

ASSOC. all’interno di e quindi anche in .

W V

Proposizione 5 Un sottoinsieme di un K-spazio vettoriale è sottospazio

V W

vettoriale di se e solo se è CHIUSO rispetto a COMBINAZIONI LINEARI

a coeff. in K.

∈ ∈ ∈

λ K, j = 1, ..., N w W λ w + λ w + ... + λ w W

Ossia per e per si ha

j j 1 1 2 2 N N

DIMOSTRAZIONE:

” =⇒ ” W sia sottosp.vettoriale.

∈ ∈ ∀λ ∈ ∈

λw W w + w W K w , w W

Allora e e .

1 2 1 2

∈ ∈

λ w W j = 1, ..., N w + w W

Ma allora per ogni e di conseguenza per

j j 1 2

∈

λ w + ... + λ w W

anche 1 1 N N 6 → ∈

λ = λ w = w λ = 0 j = 1 w W

"⇐=" Scelgo e e per .

1 1 j → ∈

λ = λ = 1 λ = 0 j > 2 w + w W

Scelgo e per .

1 2 j 1 2

W V 0 V

Teorema 4 (Tutti i sottospazi vettoriali di contengono ). Siano un

v

∈

W V 0 W

K-sp.vett. e sottosp.vetto. di . Allora .

v

DIMOSTRAZIONE:

∈

w W.W

Sia è chiuso rispetto alla moltiplicazione per uno scalare. Allora

∈ ∀v ∈ ∈

w W V v = 0 w = 0 0 W

. Ma si ha . Allora e .

v w w

5

2.4 Piano Cartesiano e Spazi Vettoriali

V

Teorema 5 - Intersezione di sottospazi Sia K-spazio vettoriale. Sia

⊆ {W |i ∈

I N I} V

un insieme di indici. Sia una famiglia di sottospazi di .

i

T W V

Allora è sottospazio vettoriale di .

i

i∈I

DIMOSTRAZIONE: ∈

W i I

Ogni elemento dell’intersezione appartiene a tutti i sottospazi , per che

i

sono chiusi per combinazioni lineari.

Presa una qualunque combinazione lineare nell’intersezione, essa deve stare in

W

tutti i .

i T W

Ma allora appartiene all’intersezione ,la quale risulta chiusa per combi-

i

i∈I

nazioni lineari, e quindi per il criterio 2 è sottospazio. W W

Teorema 6 - Unione di sottospazi vettoriali Dati e sottospazi di

1 2

∪

V W W V

K-spazio vettoriale si ha che è sottospazio di se e solo se:

1 2

⊆

W W , oppure

1 2

⊆

W W .

2 1

DIMOSTRAZIONE:

⊆ ∪ ⊆

W W W W = W W W

"⇐=" Se allora (è sottospazio vettoriale) Se

1 2 1 2 2 2 1

∪

W W = W

allora (è sottospazio vettoriale).

1 2 1

∪W ∈ ∈ ∈ ∪W

=⇒ W w W , w W , w +w W

" " è sottospazio vettoriale,

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2

∈ − ∈ ⊆

w + w W w + w w = w W (W W )

Se allora

1 2 1 1 2 1 2 1 2 1

∈ − ∈ ⊆

w + w W w + w w = w W (W W ).

Se allora

1 2 2 1 2 2 1 2 1 2

hSi

2.5 Definizione

S V

Dato un sottoinsieme di un K-spazio vettoriale , si dice sottospazio generato

hSi

S V S

da il più piccolo sottospazio di che contiene e si indica con

hSi ⊆

V S V

Teorema 7 - Sia K-spazio vettoriale e sia .

hSi

Allora è l’insieme delle combinazioni lineari finire a coefficienti in K degli

S.

elementi di N

P

hSi { |N ∈ ∈ ∈ ∀i}

λ v N, λ K, v S = C(S).

Ossia = i i i i

i=1

DIMOSTRAZIONE:

⊆ hSi"

"C(S) ⊆ hSi

S

Poichè allora, visto chehSi è un sottospazio, quindi è chiuso per com-

N

P

{ } ∈ hSi ∀N ∈ ∈ ∈

λ v N, λ K, v

binazini lineari dei propri elementi, si ha i i i i

i=1

S.

Concludo che tutti gli elementi di C(S) appartengono allo spazio generato.

⊆ C(S)"

"hSi hSi ⇒

S

Sappiamo che è contenuto in tutti i sottospazi che contengono C(S)

hSi.

contiene

"C(S) sottospazio"

N N

P P

∀λ ∈ } { } ∈

Kλ{ λ v = λλ v C(S) (chiuso rispetto a molt. per scalare)

i i i i

i=1 i=1

N N N

P P P

{ } { } { } ∈

λ v + σ v = (λ + σ )v C(S) (chiuso rispetto a somme di

i i i i i i i

i=1 i=1 i=1

scalari) 6

hSi ⊆ ⊆ hSi. hSi

C(S), C(S) =

Allora C(S) è sottospazio e Concludiamo che

C(S) hW ∪ i hW i {w |w ∈ ∈ }.

W W + W = + W = + w W , w W

Def. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2

hW ∪ ∪ i

... W W , .., W

Def. Dati sottospazi vettoriali di V poniamo:

1 N 1 N

hW i.

W + ... + W = + ... + W

1 N ! N {w |w ∈ }

W + ... + W = + ... + w W , i = 1, ..., N

Proposizione 6 1 N 1 N i i

DIMOSTRAZIONE:

{w |w ∈ }.

Σ = + ... + w W , i = 1, ..., N

Chiamiamo 1 N i i

Σ W + ... + W w + ... + w

è contenuto in perchè sono comb.lineari.

1 N 1 N

⊆

+ ... + W Σ"

"W 1 N

⊆

W Σ i = 1, ..., n

per

i i ∈ ∈

w W w = 0 + 0 + ... + w + ... + 0 Σ

Dato si ha

i i i i

∪ ∪ ⊆

W ... W Σ

Allora 1 N hW ∪ ∪ i ⊆

Σ ... W Σ.

è sottosp.vettoriale, quindi

1 1 N

W , ..., W V

Def.Somma Diretta Dati sottospazi di K-spazio vettoriale, se

1 N

W , ..., W

gli elementi di so scrivono in modo unico come somme di elementi

1 N

appartenenti ciascuno ad un diverso sottospazio si dice che la SOMMA è DI-

RETTA. ⊕ ⊕

W ... W

Si scrive come .

1 N W , W

Teorema 8 - Somma diretta per 2 sottospazi Dati sottospazi di

1 2

∩ {0}

V W , W W W =

, si ha che la somma di è DIRETTA se e solo se

1 2 1 2

DIMOSTRAZIONE: ∩ {0}

W W =

"⇐=" Assumiamo 1 2 0 0

w + w w + w

Se avessi due scritture e del medesimo elemento otterrei:

1 2 1 2

0 0 0 0

− −

w + w = w + w =⇒ w w = w w .

2

1 2 1

1 2 1 2

0 0

3 − − ∈

W w w = w w W

Ma: .

1 1 2 2

1 2

0 0

− ∈ ∪ {0 }, − ∈ ∪ {0 }.

w w W W = w w W W =

Quindi: 1 1 2 v 2 1 2 v

1 2

0 0 0 0

− −

w w = 0, w w = 0 =⇒ w = w , w = w

Allora: .

1 2 1 2

1 2 1 2

=⇒

" Suppongo che ogni vettore nella somma si scriva in modo unico come

w + w .

1 2 − −

w + w = (w v) + (w v).

Prendo 1 2 1 2

0 0

− −

w = w v, w = w v.

Pongo 1 2

1 2 0

∀w ∈ −

W w v = w .

Per l’unicità della scrittura ho che si ha

1 1 1 1

v = 0

Questo implica che .

v

3 Vettori dipendenti ed indipendenti

3.1 Equazioni Lineari N

Def. Equazioni lineari Un’equazione lineare omogenea con incognite nel

K N λ , ..., λ K

campo corrisponde al problema di trovare scalari in tali che:

1 n

λ v + ... + λ v = 0 v , ..., v V

con vettori di K-spazio vettoriale.

1 1 n n v 1 n 7 N

Prop