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Matrici invertibili
Sia nA invertibile: ⇒ rk(A) = n ⇒ A con op. elementari sulle righe di si ottiene I .n ∈) M (K)
In questo caso, con op. elementari sulle righe di (A|I si ottienen n,2n-1|A ∈) M (K).(I n n,2n -1 =
Osservazione: La matrice è invertibile e .I I In nn∙ Σ : A
Proposizione 4: b un sistema lineare di n equazioni e nSia xK.incognite a coeff. inAllora: ∈A M (K)
- NA Σ = n) Sol(Σ) =
- Se è invertibile allora il sistema è determinato (rk(A) e-1 ∙A b ∈A, B M (K).
Def. Matrici simili A B: Siano Diciamo che è silile a sen∈H M (K),esiste una matrice invertbile tale che:n -1 ∙ ∙B = H A H (34)
Osservazioni:
- Ogni matrice è simile a sè stessa: -1 ∙ ∙A = A (H = )I I In nnA B, B A.
- Se è simile a allora è simile ad=⇒ A Bsimile-1 ∙ ∙=⇒ B = H A H-1
-1TA = AT se è invertibile Osservazione: La matrice è simmetrica e ortogonale. N ∈ A, B ∈ M(K) Proposizione 7: Siano A e B matrici ortogonali. 1. A-1 è ortogonale 2. AB è ortogonale DIMOSTRAZIONE: 1. A-1 è ortogonale A-1T = (AT)-1 ⇒ ATA = I A è invertibile se ATA = I A-1 = (AT)-1 ⇒ A-1A = I A-1 è invertibile e (A-1)-1 = AT ⇒ A-1 è ortogonale 2. AB è ortogonale ABT = BTAT = (AB)T ⇒ AB è ortogonale N.B. A, B ∈ M(K). Def. Matrici ortogonalmente simili: Siano A e B matrici. Diciamo che A è ortogonalmente simile a B se esiste una matrice ortogonale H tale che: B = HAH-1 (35) Proprietà matrici ortogonalmente simili: Essere ortogonalmente simili è una relazione di equivalenza. N.B. A ∈ M(K). Def. Sottomatrice e Minore: Sia A una matrice m x n.ASottomatrice: sottomatriceSi dice di una matrice che si ottiene daeliminando alcune righe e/o alcune colonne. A.Minore: minoreUn è una sottomatrice quadrata di A M (K). rk(A) =massimoProposizione 8 Sia Allora ordine di un m,nA.minore invertibile di ∈(A) A M (K), Def.M Se indichiamo con:ij n M (A) (36)ijAminoreil di ottenuto cancellando la riga i-esima e la colonna j-esima di A. 4.3 Determinante di una matrice Def. Determinante determinanteIl è una funzione, →detM (K) K (37)n7→A detA (38)• ∈A M (K) → A = (a ) → detA = aSe 1 11 11a a• ∈ · − −11 12A M (K) → A = ( ) → detA = (a a ) (a a )Se 2 11 22 12 21a a21 2219• ∈A M (K) a , a , . . . , a ASe e sia l’i-esima riga din i1 i2 inallora: Σ i+k · ·detA = (−1) a detM (39)ik ikk=1r+s(−1) =Osservazione• r + s1 se è pari• r + s−1 se è dispari AFormula di Laplace per il calcolo del
determinante Sia una matrice
�� �� ��
a b c
d e f
g h i
A = quadrata, allora:
�� �� ��
�� �� ��
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det(A) = a det
b det + c det
h i g i g h
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- · ·det(A B) = det(A) det(B) (41)
- ∈A M (K)Corollario 1-Teorema di Binet Se è invertibile, allora:n1−1detA = (42)detADIMOSTRAZIONE:·A A = I−1 n −1·=⇒ det(A A ) = detI = 1n=⇒ per il teorema di Binet−1·=⇒ detA detA = 1−1 1=⇒ detA = detA 20∈A M (K), AProposizione 11 Se allora è invertibile:n⇐⇒ rkA = n)(ricorda⇐⇒ 6detA = 0Conseguenza della Proposizione 11⇐⇒ 6 ⇐⇒A rk(A) = n det(A) = 01. Le righe di non sono L.I. T⇐⇒ ⇐⇒A A2. Le colonne di non sono L.I. Le righe di non sono L.I.T ⇐⇒detA = 0 det(A) = 0 ∈A M (K)Def. Rango per Colonne Il rango per colonne di una matrice m,nA.è il numero di colonne L.I. diProposizione 12 rango per righe = rango per colonneCalcolo del determinante Formula del determinante di matrici 3×3a b c · · · · · · − ·
- · − · · − · ·d e f = a e i + b f g + c d h c e g b d i a f h
- ∈A M (K)
Proposizione 13
Sia n∈B M (K) A
- Se si ottiene moltiplicando una riga di α per uno scalare non nullo allora 1 det(B)det(A) = α∈B M (K) A
- Se si ottiene sommando alla riga i-esima di α alla riga j-esima moltiplicata per uno scalare allora il det(A) = det(B)∈B M (K) A
- Se si ottiene scambiando due righe di − allora −det(B)det(A) =∈ ∈A M (K) λ K
Osservazione 1
Se en n det(λA) = λ det(A)
Applicazioni Lineari
Elementi di base delle Applicazioni Lineari
Idea di fondo applicazioni lineari map-L’idea di fondo delle consiste nel pare sottospazi vettoriali in sottospazi vettoriali.
( ⇒C Cf : 7→z 0C21f manda sottospazi in sottospazi?
Si, è un’applicazione lineare (in particolare è l’applicazione nulla).
Non posso espandere sottospazi vettoriali in nessun caso
mediante applicazionilineari. →V W f : V WDef. Applicazione Lineare Siano V e W K-spazi vettoriali e sia f lineareuna funzione. Diciamo che è un’applicazione se valgono le seguentiproprietà di linearità: ∈(v , v ) V1. Per ogni coppia 1 2 f (v + v ) = f (v ) + f (v ) (43)1 2 ∈ ∈f (v + v ) V, f (v ) + f (v ) WNota che .1 2 ∈ ∈v V λ K2. Per ogni e si ha:f (λv) = λf (v) (44)0Osservazione 1: v · ∈ ∀v ∈f (0 ) = f (0 v) = 0 f (v) = 0 W, Vv K WmappatoIl vettor nullo del dominio viene sempre nel vettor nullo del coodo-minio.Osservazione 2: -v −f (−v) + f (v) = f (v v) =⇒ =⇒ f (0 ) = 01per v W−f (−v) = (v) Wdefinizione di opposto in f gOsservazione 3: Composizione di applicazioni lineari Date eapplicazioni lineari, con: → →f : V X g : X We◦ →g f : V W 1)Al
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