Algebra Lineare - Fondamenti

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Esercizi svolti e teoria con dimostrazioni di Algebra Lineare per l'esame del professor Gavarini. Argomenti trattati: Spazi vettoriali, Cambiamenti di base, Matrici e operatori, funzioni …

Esame Geometria e algebra lineare

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Gavarini Fabio

Università Università degli Studi di Roma Tor Vergata

A.A. 2011-2012

114 pagine

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Estratto del documento

Esercizio su cambiamento di base

Definizione del problema

^V è uno spazio vettoriale con dimensione 2.

B = {b₁, b₂} è una base di ^V.

B' = {b₁', b₂'} è un'altra base di ^V.

v = 1 b₁ + 2 b₂ è un vettore in ^V.

Le coordinate di b₁' rispetto a B sono (2, 3).

Le coordinate di b₂' rispetto a B sono (1, 4).

Calcola la matrice C = C_{B - B'} del cambiamento di base da B a B'.
Calcola le coordinate di b₁ e di b₂ rispetto a B'.
Calcola le coordinate di v rispetto a B'.

Soluzioni

(a) Calcolo della matrice di cambiamento di base

C = (2 1)

(3 4) = C_{B - B'}

(b) Coordinate rispetto a B'

Le coordinate di B' rispetto a B sono le colonne della matrice C_{B - B'}.

Si calcola C_{B' - B} = C_{B - B'}^-1 = C^-1 = (4/5 -1/5)

(3/5 2/5)

Coordinati b₂ rispetto a B

Coordinati in colonna dei vettori b_i rispetto a B'

(C|I₂) -> (I₂|C^-1)

(2 1|1 0)

(3 4|0 1)

Es. (1 0|4/5 -1/5)

(0 1|-3/5 2/5)

b₁ = ⁴/₅ b₁' + (³/₅) b₂'

b₂ = -¹/₅ b₁' + (²/₅) b₂'

Prova

C C^-1 = (2 1)

(3 4)(⁴/₅ -¹/₅)

(³/₅ ²/₅) = (1 0)

(0 1)

Esercizio 1

Definizione del problema

V è uno spazio vettoriale con dimensione 2.

B = {b₁, b₂} , B' = {b₁', b₂'} base di V.

v = 1b₁ + 2b₂

Le coordinate di b₁' rispetto a B sono (2, 3).

Le coordinate di b₂' rispetto a B sono (1, 9).

Calcola la matrice C = C_{B -> B'} del cambiamento di base da B a B'.
Calcola le coordinate di b₁ e di b₂ rispetto a B'.
Calcola le coordinate di V rispetto a B'.

Soluzioni

(a) Calcolo della matrice di cambiamento di base

C = ^{2 1}⁄_{3 4} = (C_{B -> B'})

(b) Coordinate rispetto a B'

Le coordinate di B rispetto a B' sono le colonne della matrice C_{B -> B'}.

C^-1_{B -> B} = C_{B -> B'}^-1 = (C^-1) = ( ^{4/5 -1/5}⁄_{3/5 2/5} )

⁄_{<I₂ C^-1>}

( ^{2 1 1 0}⁄_{3 4 0 1} ) -> ( ^{1 0 4/5 -1/5}⁄_{0 1 -3/5 2/5} )

Per es. ^{2 0}⁄_{0 5/2}

Prova

CC^-1 = ( ^{2 1}⁄_{3 4} ) x ( ^{4/5 -1/5}⁄_{3/5 2/5} ) = ( ^{1 0}⁄_{0 1} )

Calcolo delle coordinate

(2) V = x₁ b₁ + x₂ b₂ con X = (X₁, X₂) = tale che X' =

so che X = C_B->B X X' = C_B->B^-1 X(X'1 X'2) = C^-1 (X1 X2) = = = (2/5 1/5)

V = 2/5 b₁ + 1/5 b₂

Base canonica e matrice

(2) V = R³ B = {e1, e2, e3}

Trovare la base B' di V tale che le coordinate rispetto a B' r2 = 1 b₁ + 0 b₂ + 1 b₃

Soluzione: C_B->B' = _B->B' b₁ = b₁ coordinale di b₁ rispetto a B'

b₂ = (b₃¹, b₃¹, b₃¹) coordinate di b₂ rispetto a B

Masce una convenzione di base

(A | I₃) → (I₃ | A^-1)

(¹ 1 0 | 1 0 0

2 0 1 | 0 1 0

1 1 3 | 0 0 1)

Calcolo di A^-1

→ (¹ 0 1 | 1 0 0

0 -2 1 | -2 1 0

0 2 3 | 1 0 1)

→ (¹ 0 1 | 1 0 0

0 0 1 | 4 -1 1

0 0 4 | 1 0 -1)

→ (¹ 0 0 | 0 1 0

0 1 0 | 7/8 3/8 1/8

0 0 1 | 1/4 0 1) DIVISO 4:

A^-1 = (l₁ l₂ l₃ b₁¹ b₂¹ b₃¹)

Prova

x = C* x → Matrice cannon dello

V = R³B₁ = { ( ¹ 0² 10 2 )

B₂ = { ( ^-2 01 -20 1 )

Calcolo della matrice C

(Dom. di V Calcolare la matrice C = C_B₃→B₂ del cambiamento di base da B₃ a B₂ So che C_B₃→B₂ = C_{B₃→B_E} * C_{B_E→B₂} = C₁ * CB_E = base canonica = { l₁, l₂, l₃ }

C_B₂→B₂ = (^-2 01 1 ) = C₂

(C_{B₂→B_E} è nota, la sa, ma so = C_{B_E→B₁}^-1 = (1 02 11 2 ) C₁^-1

Calcolo di C₁^-1

→ Gauss → (( C₁ | I₃) → (I | C₁^-1) | (C₁^-1 C₂) → ( I )

(1)_eq1⎡1 0 1 | 1 0 0 -1 0 0⎤

⎢2 1 2 | 0 1 0 -2 -2 1⎥

⎣-1 2 0 0 | 1 1 1⎦

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