Algebra Lineare - Fondamenti

Esercizi svolti e teoria con dimostrazioni di Algebra Lineare per l'esame del professor Gavarini. Argomenti trattati: Spazi vettoriali, Cambiamenti di base, Matrici e operatori, funzioni lineari, determinanti, sviluppi di Laplace per righe-colonne, regola di Sarrus, Teorema di Binet, Teorema di Cramer, Teorema degli orlati, riduzione a scala di Gauss, autovalori e autovettori, endomorfismi, diagonalizzazione, prodotto scalare, spazio vettoriale metrico, forme bilineari

Esame Geometria e algebra lineare

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Gavarini Fabio

Università Università degli Studi di Roma Tor Vergata

Publisher 19fra91

A.A. 2011-2012

114 pagine

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ESERCIZI

1) V spazio vett. dim (V) = 2

B = {b₁, b₂} , B' = {b₁', b₂'}. b₂ di V , v = 1b₁ + 2b₂

Le coordinate di b₁' rispetto a B sono (2, 3) , di b₂' (1, 4)

(a) Calcola la matrice C = C_B→B' del cambiamento di base da B a B'
(b) le coordinate di b₁ e di b₂ rispetto a B'
(c) Calcola '' '' di v rispetto a B'

Sol (a)

C = (2 1 / 3 4) = (C_B→B')

(b)

le coordinate di B rispetto a B' sono le colonne della matrice C_B→B3 del cambiamento di base da B a B'

so che C_B3→B' = C_B→B'C^-1 = (4/5 -1/5 / -3/5 2/5)

( C I₂) → ( I₂ C^-1 )

( 2 1 1 0 / 3 4 0 1) → ( 1 0 4/5 -1/5 / 0 1 -3/5 2/5)

p.E.G. (2 , 1 / 0 , 5/2) E.G (2 0 / 0 5/2)

PROVA:

CC^-1 = ( 2 1 / 3 4 ) (4/5 -1/5 / -3/5 2/5) = ( 1 0 / 0 1)

_{COORDINAT IN / COORDINAT b₁ b₂'}

b₁ = ⁴/₅ b₁' + (-³/₅)b₂'

b₂ = (-1/₅) b₁' + (2/₅) b₂'

(1)

V = x₁b₁ + x₂b₂ con X = (X₁, X₂) = (¹/₁, ¹/₂)

X’ = (¹/₁, ¹/₂) tale che V = x₁b₁ + x₂b₂

So Che

C_B→B’ = C_{B’→ B}^-1 X

(X₁’,X₂’)=C^-1 (⁴/₅ ^-1/₅ ²/₅ ²/₅) (¹/₁ ¹/₂) =²/₅/₁

V = ²/₅ b₁¹/₅b₂

(2)

V=R³ B=

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Scienze matematiche e informatiche MAT/03 Geometria

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher 19fra91 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Geometria e algebra lineare e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Roma Tor Vergata o del prof Gavarini Fabio.

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